螺紋樁截面幾何特性研究

李 佳，丁選明，王競州，周 航

(重慶大學 土木工程學院，重慶 400045)

樁基礎承載力高、沉降小，能夠較好地解決場地的承載問題，樁基已成為最廣泛的地基加固處理技術[1]，是巖土工程中的熱門研究課題，其中對單樁[2]和群樁[3]的研究尤為突出。基樁的種類繁多，除了傳統的圓樁和方樁，異形截面樁也廣泛應用于工程中，如：X形樁[4-6]、Y形樁[7]、螺紋樁等。螺紋樁是一種新型的地基處理樁型，其樁側摩阻力較大，極大地提高了樁基的豎向承載力[8]。在相同樁徑和樁長條件下，兩段式螺紋樁的單樁復合地基極限承載力相比于普通光滑樁可以提高67%[9]。螺紋樁與其他樁型相比，樁的承載力高，適應性強，樁身質量可靠，經濟效益顯著。

螺紋樁最初是由樁身帶有螺旋葉片的螺旋樁發(fā)展而來，螺旋樁目前已得到廣泛應用[10]，眾多學者對螺旋樁承載性能進行研究，有現場試驗方法研究[11-12]、有限元方法研究[13]等。日本首先應用全螺旋預制樁，隨后由 Fukuei Kosan公司研發(fā)了預制鋼纖維混凝土螺旋樁，但主要是通過現場載荷試驗確定其極限承載力。國內對螺紋樁承載特性的研究起步較晚，吳敏等[14]指出螺紋樁的承載機理相較于普通圓樁是有差別的，他們的關系就像日常生活中的螺絲釘和釘子。李成巍等[15]通過將室內模型試驗與數值模擬的結果進行分析，提出灌注螺紋樁的承載能力取決于土體的抗剪強度。通過室內模型試驗，孟振等[16]指出螺紋樁的極限承載力是與其內徑相同的普通圓樁的3～4倍，與其外徑相同的普通圓樁的1～2倍。周楊等[17]對變截面螺紋樁與螺紋直樁進行了分析。馬文杰等[18]通過對螺紋樁的研究，提出了螺紋樁豎向承載力計算公式，并對螺紋樁的樁身結構參數對螺紋樁承載力的影響進行了研究。

螺紋樁是在圓樁的外側增加凸起的螺紋，也就是螺紋樁的螺牙部分，其橫截面為不規(guī)則形狀，如圖1所示，有些類似于圓截面，但也存在差異性。到目前為止，關于螺紋樁的截面積和周長的計算公式尚未見報道，也少有對其結構幾何特性進行理論分析。然而，要在工程應用中推廣螺紋樁，對其結構進行理論計算是必不可少的。文中對螺紋樁的截面進行幾何解析，從理論上推導出截面的面積、周長、形心以及慣性矩的理論公式，采用控制變量的方法討論了螺紋樁螺牙結構參數的影響，為螺紋樁受豎向和水平向荷載作用的力學特性進行數值分析提供了理論。

圖1 螺紋樁截及橫截面Fig. 1 Screw pile and cross-section of screw pile

1 螺紋樁截面幾何特性計算方法

螺牙相同的螺紋直樁和變直徑的螺釘樁的截面形狀是相同的，不同的是螺釘樁不同高度處截面的內徑不同。根據《螺紋樁技術規(guī)程 JGJ/T 379—2016》[19]中尺寸表可見，螺牙的內側厚度大于外側厚度，常用螺紋樁軸向剖面的螺牙輪廓是直線，可以認為，螺紋樁截面與機械中常用的阿基米德蝸桿(ZA蝸桿)[20]的齒輪部分是相似的，也就是說螺紋樁橫截面輪廓線包含阿基米德螺線[21]。阿基米德螺線是指一個點勻速離開一個固定點的同時又以固定的角速度繞該固定點轉動而產生的軌跡，其極坐標方程式可表示為

r(θ)=a+bθ，

(1)

其中：a表示螺線起點與圓心點的距離；b表示螺旋線每增加單位角度r隨之對應增加的數值，a和b的值均為實數。

螺紋樁截面的4個控制變量為螺紋樁內半徑r1、螺牙間距s、螺牙高度h以及螺牙厚度t，但是螺牙內外側厚度不同。在《螺紋樁技術規(guī)程JGJ/T 379—2016》的常用螺紋樁尺寸表中顯示螺牙內側厚度為外側厚度的2倍或是接近于2倍，為了減少變量，文中默認螺牙內側厚度是外側的2倍。

螺紋樁的任意截面形狀是由2條鏡面対稱的阿基米德螺線以及直徑為樁內徑和外徑的2條圓弧線的部分段組成的不規(guī)則形狀，可以將其拆分為多個規(guī)則形狀的組合，如圖2所示。根據圖2中A、B、C和D4點的關系可以得到：

圖2 螺紋樁截面示意圖Fig. 2 Section diagram of screw pile

(2)

(3)

(4)

將式(2)、式(3)、式(4)代入式(1)，并結合圖2中的坐標系，可得到阿基米德螺線的AC段的極坐標方程：

(5)

1.1 面積

螺紋樁截面面積按照劃分的A1、A2、A3、A44個區(qū)域進行計算，其中，A1和A2為2個包含阿基米德螺線的邊界且鏡面対稱的部分，A3是半徑為(r1+h)、角度為θ2的扇形，而A4是半徑為r1、角度為(π-θ1)的扇形。A1部分的面積是根據阿基米德螺線的極坐標方程進行積分運算得到。故A1區(qū)域的面積A1為

(6)

螺紋樁截面總面積A為

(7)

1.2 周長

螺紋樁截面周長同樣是根據4個區(qū)域的組合進行計算的，包括阿基米德螺線長度和圓弧長度。根據阿基米德螺線極坐標方程，通過積分可得阿基米德螺線AC的長度l為

(8)

則螺紋樁截面的周長C為

(9)

1.3 形心和慣性矩

由圖2可知，螺紋樁截面為對稱圖形，其對稱軸為過形心的Y軸，僅有1條，故Y軸即為截面的1條形心主軸。螺紋樁截面的另一條形心主軸即為過圖形形心且垂直于Y軸、平行于X軸的X0軸。

設形心坐標為(0，yc)，可得：

(10)

其中，螺紋樁截面在圖2坐標系中的面積矩可分為內圓面和內圓外螺牙截面2個部分進行計算，而內圓面的面積矩為0，故截面面積矩為

(11)

聯立式(7)、式(10)、式(11)即可解得：

(12)

對于樁截面的慣性矩計算，在進行受力分析中關注的是截面的主慣性矩。螺紋樁截面有2條形心主軸，其主慣性矩計算公式如下：

螺紋樁截面相對于對稱軸Y軸的主慣性矩Iyc為

(13)

螺紋樁截面相對于過形心垂直于對稱軸的X0軸的主慣性矩Ixc為

Ix=Ixc+m2A，

(14)

式中，m表示X軸與X0軸的距離。

(15)

2 螺紋樁截面幾何特性分析

為了討論螺紋樁截面螺紋樁內半徑r1、螺牙間距s、螺牙高度h、螺牙厚度t4個控制變量對截面幾何特性的影響，根據工程應用中螺紋樁結構尺寸范圍取值，分別在s、h(s=0.4 m，h=0.1 m)一定和t、r1(t=0.12 m，r1=0.3 m)一定2種情況下，采用Mathematica軟件繪制三維圖形，其中r1從0.2 m變化到0.5 m，t從0.05 m變化到0.2 m，s從0.3 m變化到0.5 m，h從0.03 m變化到0.11 m，并對截面的幾何特性進行分析。

2.1 截面面積

圖3和圖4中分別表示了螺紋樁截面面積在2種情況下的變化規(guī)律，給出了s、h、t和r14個控制變量對截面面積的影響。螺紋樁截面面積隨著內半徑、螺牙厚度和高度的增大而增大，隨著螺牙間距的增大而減小。在s、h一定時，t取0.12 m，在r1的變化范圍內，截面面積從0.16 m2增大到0.86 m2；r1取0.3 m，在t的變化范圍內，截面面積由0.30 m2增大到0.36 m2。在t、r1一定時，h取0.1 m，在s的變化范圍內，截面面積從0.35 m2減小到0.32 m2；s取0.4 m，在h的變化范圍內，截面面積由0.30 m2增大到0.34 m2。內半徑對截面面積的影響最為明顯，內半徑由0.2 m變化到0.5 m，面積增大了4.4倍。4個變量中，根據實際工程的合理性考慮，s和t的是相互影響的，t始終小于s。

圖3 t、r1對截面面積的影響Fig. 3 The influence of t and r1 on cross-sectional area

圖4 s、h對截面面積的影響Fig. 4 The influence of s and h on cross-sectional area

2.2 截面周長

圖5和圖6分別表示了螺紋樁截面的周長在2種情況下的變化規(guī)律。螺紋樁截面周長隨著內半徑、螺牙厚度和高度的增大而增大，隨著螺牙間距的增大而減小。在s、h一定時，t取0.12 m，在r1的變化范圍內，截面周長從1.47 m增大到3.32 m；r1取0.3 m時，在t的變化范圍內，截面周長從2.05 m增大到2.15 m。在t、r1一定時，h取0.1 m，在s的變化范圍內，截面周長從2.12 m減小到2.07 m；s取0.4 m時，在h的變化范圍內，截面周長從1.93 m增大到2.11 m。內半徑對截面周長的影響最為顯著，內半徑由0.2 m變化到0.5 m，周長增大了1.3倍。

圖5 t、r1對截面周長的影響Fig. 5 The influence of t and r1 on cross-sectional circumference

圖6 s、h對截面周長的影響Fig. 6 The influence of s and h on cross-sectional circumference

2.3 截面周長與面積的比

螺紋樁截面周長與面積的比λ的計算公式如下：

(16)

截面周長與截面積的比值實質上就是樁側表面積與樁身體積的比值，從樁側摩阻力的角度考慮，反映了螺紋樁樁身材料的利用效率情況，是工程應用中評價螺紋樁經濟效益的重要指標。

圖7、圖8分別表示了螺紋樁截面周長與面積之比λ的變化規(guī)律。螺紋樁截面周長與面積比λ隨著內半徑、螺牙厚度和高度的增大而減小，隨著螺牙間距的增大而增大。在s、h一定時，t取0.12 m，在r1的變化范圍內，截面周長與面積比λ從9.19減小到3.85；r1取0.3 m時，在t的變化范圍內，截面周長與面積比λ從6.76減小到5.92。在t、r1一定時，h取0.1 m，在s的變化范圍內，截面周長與面積比λ從6.09增大到6.42；s取0.4 m時，在h的變化范圍內，截面周長與面積比λ從6.53減小到6.25。在4個控制變量的影響下，周長與面積的比λ與面積和周長的變化規(guī)律相反，因為4個控制變量對截面面積的影響要大于周長。

圖8 s、h對λ的影響Fig. 8 The influence of s and h on λ

2.4 相同截面面積的螺紋樁與圓樁的周長比

相同截面積的螺紋樁與圓樁周長比η的計算公式如下：

(17)

從圖9、圖10可以發(fā)現，在相同的截面面積的情況下，螺紋樁與圓樁截面周長比η隨著內半徑和螺牙厚度的增大而減小，隨著螺牙高度和間距的增大而增大。在s、h一定時，t取0.12 m，在r1的變化范圍內，截面周長比η從1.04減小到1.01；r1取0.3 m時，在t的變化范圍內，截面周長比η從1.05減小到1.01。在t、r1一定時，h取0.1 m，在s的變化范圍內，截面周長比η從1.01增大到1.03；s取0.4 m時，在h的變化范圍內，截面周長比η從1.00增大到1.02。可以看出，在相同截面面積情況下，螺紋樁的截面周長比圓樁大1%～5%，所以相同混凝土用量下，螺紋樁周長略大于圓樁。

圖9 t、r1對η的影響Fig. 9 The influence of t and r1 on η

圖10 s、h對η的影響Fig. 10 The influence of s and h on η

2.5 相同截面周長的螺紋樁與圓樁的面積比

相同截面周長的螺紋樁與圓樁的面積比γ的計算公式如下：

(18)

在截面周長相等的情況下，螺紋樁與圓樁的面積比γ的變化規(guī)律，如圖11和圖12所示。螺紋樁與圓樁截面面積比γ隨著內半徑和螺牙厚度的增大而增大，隨著間距和螺牙高度的增大而減小。在s、h一定時，t取0.12 m，在r1的變化范圍內，截面面積比γ從0.93增大到0.98；r1取0.3 m時，在t的變化范圍內，截面面積比γ從0.91增大到0.98。在t、r1一定時，h取0.1m，在s的變化范圍內，截面面積比γ從0.97減小到0.95；s取0.4 m時，在h的變化范圍內，截面面積比γ從0.99減小到0.95。可以看出，在相同截面周長情況下，螺紋樁的截面面積比圓樁小1%～9%。

圖11 t、r1對γ的影響Fig. 11 The influence of t and r1 on γ

圖12 s、h對γ的影響Fig. 12 The influence of s and h on γ

3 螺紋樁截面慣性矩分析

在螺紋柱結構4個控制變量的影響下，研究了截面形心的位置變化，分析了螺紋樁截面慣性矩的變化規(guī)律，并將螺紋樁與圓樁的慣性矩進行了對比分析。

3.1 截面形心

螺紋樁的縱截面為非對稱圖形，在任意高度處的橫截面形狀是相同的。螺紋樁是由其橫截面圖形在高度范圍內不停地繞著其內圓的圓心O勻速旋轉，在高度方向勻速運動而形成的柱體結構。如圖13所示，O1點是螺紋樁橫截面的形心位置。根據螺紋樁的柱體結構形成過程可知，螺紋樁所有橫截面的形心O1在其柱體結構內的軌跡是一條以d為半徑，s為間距的螺旋線，且O1的軌跡在截面平面內的投影為以d為半徑的圓。

圖13 形心軌跡示意圖Fig. 13 Diagram of centroid trajectory

從式(12)可以看出，截面形心的位置受螺紋樁結構的4個控制變量的影響。通過分析圖14和圖15可以發(fā)現，螺紋樁橫截面形心位置與內圓圓心的距離d隨著螺牙厚度和高度的增大而增大，隨著內半徑和螺紋間距的增大而減小。

圖14 t、r1對d的影響Fig. 14 The influence of t and r1 on d

圖15 s、h對d的影響Fig. 15 The influence of s and h on d

3.2 截面主慣性矩

螺紋樁截面不同于普通的圓樁、方樁以及X型樁等，2個主慣性矩Iyc、Ixc的數值大小不同，其中Ixc總是大于Iyc。在文中分析的參數范圍內，Ixc比Iyc高13%～72%。相較于圓樁，主慣性矩Iyc較小，主慣性矩Ixc較大。從圖16～圖19可以看出，螺紋樁主慣性矩隨著內半徑、螺牙厚度和高度的增大而增大，隨著螺牙間距的增大而減小。

由圖16可知，螺紋樁和圓樁的主慣性矩隨著內半徑的增大呈指數型增大。相同截面積和相同截面周長的圓樁慣性矩在內半徑的影響下變化規(guī)律相近，數值大小始終在螺紋樁兩主慣性矩值之間。當內半徑在0.2～0.5 m范圍內時，主慣性矩Ixc比主慣性矩Iyc高27%～72%，Ixc比相同截面面積圓樁高13%～33%，比相同截面周長圓樁高9%～14%。

圖16 螺紋樁與圓樁主慣性矩受內半徑影響的變化規(guī)律Fig. 16 The changes of the main inertia moment of screw pile and circular pile affected by the radius of screw pile

由圖17可知，在螺牙厚度的影響下，螺紋樁主慣性矩Ixc隨螺牙厚度的增大速率減小，而主慣性矩Iyc隨螺牙厚度的增大速率增大。所以，存在1個螺牙厚度的較小值和1個較大值使主慣性矩Ixc與主慣性矩Iyc相等。此時，相當于是沒有螺牙結構的圓樁，螺紋樁主慣性矩Ixc、螺紋樁主慣性矩Iyc和相同截面積圓樁這3條曲線相交于這兩點。其中，相同截面周長的圓樁慣性矩與螺紋樁主慣性矩Ixc對比發(fā)現，當螺牙厚度較大時，螺紋樁主慣性矩Ixc較大，此時螺紋樁截面積的分布距主軸較遠而占優(yōu)勢；當螺牙厚度較小時，螺紋樁截面中因螺牙產生的異形區(qū)域面積減小而逐漸趨于圓形截面，而且相同截面周長圓樁的面積比螺紋樁大，此時截面積較大的圓樁慣性矩較大，在螺牙厚度t=0.06 m附近兩者相等。

圖17 螺紋樁與圓樁主慣性矩受螺牙厚度影響的變化規(guī)律Fig. 17 The changes of the main inertia moment of screw pile and circular pile affected by the thickness of screw thread

由圖18可知，螺紋樁主慣性矩Ixc、相同截面周長圓樁的慣性矩、相同截面積圓樁的慣性矩和螺紋樁主慣性矩Iyc，均隨螺牙高度的增大線性增大，其線性斜率依次減小。由圖19可知，隨著螺牙間距的變化，螺紋樁和圓樁慣性矩的變化情況幾乎一致，呈線性減小的趨勢，其線性變化斜率較小。可以發(fā)現，在螺牙高度和間距分別影響下，圓樁慣性矩始終介于螺紋樁兩主慣性矩之間。

圖18 螺紋樁與圓樁主慣性矩受螺牙高度影響的變化規(guī)律Fig. 18 The changes of the main inertia moment of screw pile and circular pile affected by the height of screw thread

圖19 螺紋樁與圓樁主慣性矩受螺牙間距影響的變化規(guī)律Fig. 19 The changes of the main inertia moment of screw pile and circular pile affected by the screw pitch

4 結 論

文中通過理論推導，建立了螺紋樁截面面積、周長、慣性矩等計算公式，探討了截面參數對幾何特性的影響規(guī)律，得到如下結論：

1)螺紋樁截面面積和周長都隨內半徑、螺牙的厚度和高度的增大而增大，隨螺牙間距的增大而減小。其中，內半徑對截面面積和周長的影響最為明顯。當內半徑由0.2 m變化到0.5 m，面積增大了4.4倍，周長增大了1.3倍。

2)螺紋樁截面周長與面積的比值λ隨內半徑、螺牙的厚度和高度的增大而減小，隨螺牙間距的增大而增大，與面積和周長的變化規(guī)律相反，因為4個控制變量對截面面積的影響大于周長。在內半徑范圍，比值λ從9.19減小到3.8；在厚度范圍，比值λ從6.76減小到5.92；在間距范圍，比值λ從6.09增大到6.42；在高度范圍，比值λ從6.53減小到6.25。

3)螺紋樁與圓樁相比，在各個控制變量的單一影響下，相同截面面積時的周長比為1.00～1.05，相同截面周長時的面積比為0.91～0.99。所以，在相同樁截面周長和樁長時，螺紋樁的混凝土用量比圓樁少1%～9%。

4)螺紋樁截面存在2個大小不同的主慣性矩Iyc和Ixc，Ixc總是大于Iyc，在文中分析的參數范圍內，Ixc比Iyc高13%～72%。2主慣性矩隨螺紋樁內半徑指數增大，隨螺牙厚度以相反趨勢增大，隨螺牙高度線性增大，隨螺牙間距線性減小。相較于圓樁，主慣性矩Iyc較小，主慣性矩Ixc較大，但當螺牙厚度小于0.06 m時主慣性矩Ixc小于相同截面周長圓樁慣性矩。