最大熵原理在潤滑油光譜數據界限值確定方法中的應用

鄭遠春

(92571部隊，海南 三亞 572021)

隨著設備現代管理要求的日益提高，運用多種技術手段，跟蹤設備運行狀態，及時發現故障隱患，實施基于狀態的維修策略，是當今設備管理的通行做法。對于具有摩擦副的油液潤滑設備而言，油液分析技術是十分有效的手段。原子發射光譜作為最常用的油液分析技術，能直觀準確地獲得潤滑油中所含各種金屬磨損產物的化學成分和含量，應用范圍十分廣泛。

原子發射光譜技術用于監測設備磨損狀態時，首先需要確定各磨損元素的界限值。界限值的確定常用經典的三線值法，這是一種基于統計學原理進行數據處理的方法，它假定觀測數據服從正態分布，以數據的統計特征來表征機械設備的磨損狀態，認為設備磨損狀態的危險程度與數據偏離一階矩值的大小成正比，據此確定數據分析的參考準則。對數據樣本量小、先驗概率分布未知的情況，以三線值法確定潤滑油光譜檢測數據的界限值，用來評價的機器設備磨損狀態將不準確。最大熵概率分布估計作為一種優秀的統計理論工具，能求出給定信息條件下數據最無偏、最一致的概率分布，具有廣闊的應用前景。本文將最大熵理論應用到油液光譜數據處理中，通過求解磨損元素質量分數的概率密度函數，分析數據的統計規律，將制定的最大熵診斷準則應用于某型船用軸系支點軸承潤滑油的光譜檢測數據分析，以鐵元素為例求出界限值。

1 基于最大熵原理的界限值確定

1.1 最大熵原理

最大信息熵原理就是在給定所有滿足約束條件的概率密度函數中，將信息熵最大的概率密度函數為最佳的概率密度函數。在概率論中，熵的定義為：

(1)

式中，S為熵；f(x)為概率密度函數。

若x為一個連續型隨機變量，其概率密度函數f(x)滿足以下條件：

(2)

(3)

式中，Mi為x的i階原點矩，經樣本計算得到。

最大熵法轉化為在式(2)、式(3)約束下求式(1)最大值問題，其中z0(x)、zi(x)為約束條件中間變量。構造拉格朗日函數L(x)，如式(4)、式(5)所示:

(4)

(5)

式中，β0，β1，β2，…，βn為拉格朗日乘子。

(6)

最大熵概率密度函數求解問題轉化為求拉格朗日乘子βi(i=0，1，2，…，n)。

建立殘差模型如式(7)。

(7)

1.2 數據分析模型

油液光譜數據分析的數學模型主要有質量分數模型、梯度模型。質量分數模型是根據檢測元素的質量分數對設備磨損狀態進行評價；梯度模型是依據單位時間的油液中檢測元素質量分數的增長量來反映設備磨損程度和變化趨勢。

在機械設備的使用過程中，潤滑油因油品變質或磨粒過多，必然采取換油措施，使得油液中各元素的質量分數大幅度下降，與此同時，換油使得磨粒質量分數梯度變成負值，而無實際意義，需要以換油時間點為起點重新計算磨損元素的梯度值。因此，在對光譜檢測數據進行分析的時候，應該盡可能用幾種模型分別確定界限值，發現任何模型的界限值超標，就應該發出警報，采取相應的響應措施。

1.3 界限值確定方法

用最大熵概率密度法確定未知分布規律的觀測數據界限值具有實用性。在制定數據概率劃分準則的時候，無論數據處于何種分布，與異常事件相對應的狀態異常概率劃分準則與三線值法相同，數據的正常、警告和危險界限值控制區間所對應的發生概率也保持一致。借鑒三線值法中的狀態劃分方法，建立適用于任意概率分布的最大熵準則。設y為檢測數據測量值，f(x)為經過最大熵原理求解得到的概率密度函數，由光譜數據非負性x≥0，得出數據落在區間[0,y]的概率p(y)為：

(8)

對已經求解出來的概率密度函數f(x)，進行數值積分，結合狀態分級評價準則可求得正常、警告和危險3個狀態分界點，分成4個狀態區間[2]，狀態評價區間見表1。

表1 狀態評價區間

p(y)≤0.841 3時，y小于正常界限值，機械設備磨損處于正常狀態；0.841 30.998 7時，y大于危險界限值，機械設備磨損處于危險狀態。

2 最大熵方法應用

在制定油液光譜數據界限值的時候，要考慮到有梯度正常而質量分數異常、質量分數正常而梯度異常、質量分數和梯度同時異常的幾種可能情況出現，因此，本文以某型船舶軸系支點軸承潤滑油近兩年的鐵元素光譜數據為分析對象，應用最大熵概率密度法，針對質量分數模型、梯度模型求出鐵元素的概率密度函數，分別確定2種模型的正常、警告和危險狀態界限值。其他光譜元素質量分數和梯度界限值用相同方法計算確定。

應用matlab分析軟件編寫最大熵概率密度函數求解程序，分別求出四階矩約束條件下鐵元素質量分數的概率密度函數為：

f(x)=exp(-3.585 3+14.528 7x-32.113 2x2+13.913 9x3+3.012 5x4) 。

(9)

鐵元素質量分數梯度的概率密度函數為：

f(x)=exp(-0.070 5+3.766 9x-9.151 3x2+0.486 8x3+2.151 7x4)。

(10)

根據前面介紹的界限值求解方法，分別確定鐵元素質量分數和梯度的正常分界點、警告分界點、危險分界點，油液光譜鐵元素質量分數和梯度分界點見表2。鐵元素質量分數最大熵概率密度函數和概率分布如圖1、圖2所示，鐵元素質量分數梯度的最大熵概率密度函數和概率分布圖分別如圖3、圖4所示。

表2 油液光譜鐵元素質量分數和梯度分界點

圖1 鐵元素質量分數最大熵概率密度函數圖

圖2 鐵元素質量分數概率分布圖

圖3 鐵元素質量分數梯度最大熵概率密度函數圖

圖4 鐵元素質量分數梯度概率分布圖

機械設備摩擦副的磨損是漸進性變化的過程，當通過界限值發現異常征兆時，需要縮短時間間隔進行一次加密取樣，對異常狀態進行確認，若數據降到正常范圍，設備保持繼續運行，加強跟蹤監測。反之，如果加密取樣分析后，確認了異常狀態，則要立即停機檢查，進行視情維修。在確定油液光譜數據界限值的時候，需要注意幾個方面的問題。①不同設備的油液樣本應該基于不同元素建立光譜數據界限值；②在數據樣本足夠的情況下，不同工況的同型設備的油液光譜各個元素界限值要根據各自樣本數據分別確定；③在設備使用過程中，隨著檢測數據的不斷積累，應及時將相應的界限值進行修正。

3 結束語

1)通過最大熵方法確定的光譜分析元素質量分數模型、梯度模型界限值，能夠用于判斷機械設備的磨損狀態，后續需要用其他方法加以驗證。

2)應用最大熵原理確定的油液光譜數據判斷準則可適用于其他元素的界限值確定。