最大熵原理在潤滑油光譜數(shù)據(jù)界限值確定方法中的應(yīng)用

鄭遠(yuǎn)春

(92571部隊(duì)，海南 三亞 572021)

隨著設(shè)備現(xiàn)代管理要求的日益提高，運(yùn)用多種技術(shù)手段，跟蹤設(shè)備運(yùn)行狀態(tài)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)故障隱患，實(shí)施基于狀態(tài)的維修策略，是當(dāng)今設(shè)備管理的通行做法。對于具有摩擦副的油液潤滑設(shè)備而言，油液分析技術(shù)是十分有效的手段。原子發(fā)射光譜作為最常用的油液分析技術(shù)，能直觀準(zhǔn)確地獲得潤滑油中所含各種金屬磨損產(chǎn)物的化學(xué)成分和含量，應(yīng)用范圍十分廣泛。

原子發(fā)射光譜技術(shù)用于監(jiān)測設(shè)備磨損狀態(tài)時(shí)，首先需要確定各磨損元素的界限值。界限值的確定常用經(jīng)典的三線值法，這是一種基于統(tǒng)計(jì)學(xué)原理進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的方法，它假定觀測數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，以數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征來表征機(jī)械設(shè)備的磨損狀態(tài)，認(rèn)為設(shè)備磨損狀態(tài)的危險(xiǎn)程度與數(shù)據(jù)偏離一階矩值的大小成正比，據(jù)此確定數(shù)據(jù)分析的參考準(zhǔn)則。對數(shù)據(jù)樣本量小、先驗(yàn)概率分布未知的情況，以三線值法確定潤滑油光譜檢測數(shù)據(jù)的界限值，用來評價(jià)的機(jī)器設(shè)備磨損狀態(tài)將不準(zhǔn)確。最大熵概率分布估計(jì)作為一種優(yōu)秀的統(tǒng)計(jì)理論工具，能求出給定信息條件下數(shù)據(jù)最無偏、最一致的概率分布，具有廣闊的應(yīng)用前景。本文將最大熵理論應(yīng)用到油液光譜數(shù)據(jù)處理中，通過求解磨損元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)的概率密度函數(shù)，分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，將制定的最大熵診斷準(zhǔn)則應(yīng)用于某型船用軸系支點(diǎn)軸承潤滑油的光譜檢測數(shù)據(jù)分析，以鐵元素為例求出界限值。

1 基于最大熵原理的界限值確定

1.1 最大熵原理

最大信息熵原理就是在給定所有滿足約束條件的概率密度函數(shù)中，將信息熵最大的概率密度函數(shù)為最佳的概率密度函數(shù)。在概率論中，熵的定義為：

(1)

式中，S為熵；f(x)為概率密度函數(shù)。

若x為一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)f(x)滿足以下條件：

(2)

(3)

式中，Mi為x的i階原點(diǎn)矩，經(jīng)樣本計(jì)算得到。

最大熵法轉(zhuǎn)化為在式(2)、式(3)約束下求式(1)最大值問題，其中z0(x)、zi(x)為約束條件中間變量。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x)，如式(4)、式(5)所示:

(4)

(5)

式中，β0，β1，β2，…，βn為拉格朗日乘子。

(6)

最大熵概率密度函數(shù)求解問題轉(zhuǎn)化為求拉格朗日乘子βi(i=0，1，2，…，n)。

建立殘差模型如式(7)。

(7)

1.2 數(shù)據(jù)分析模型

油液光譜數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)模型主要有質(zhì)量分?jǐn)?shù)模型、梯度模型。質(zhì)量分?jǐn)?shù)模型是根據(jù)檢測元素的質(zhì)量分?jǐn)?shù)對設(shè)備磨損狀態(tài)進(jìn)行評價(jià)；梯度模型是依據(jù)單位時(shí)間的油液中檢測元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)的增長量來反映設(shè)備磨損程度和變化趨勢。

在機(jī)械設(shè)備的使用過程中，潤滑油因油品變質(zhì)或磨粒過多，必然采取換油措施，使得油液中各元素的質(zhì)量分?jǐn)?shù)大幅度下降，與此同時(shí)，換油使得磨粒質(zhì)量分?jǐn)?shù)梯度變成負(fù)值，而無實(shí)際意義，需要以換油時(shí)間點(diǎn)為起點(diǎn)重新計(jì)算磨損元素的梯度值。因此，在對光譜檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的時(shí)候，應(yīng)該盡可能用幾種模型分別確定界限值，發(fā)現(xiàn)任何模型的界限值超標(biāo)，就應(yīng)該發(fā)出警報(bào)，采取相應(yīng)的響應(yīng)措施。

1.3 界限值確定方法

用最大熵概率密度法確定未知分布規(guī)律的觀測數(shù)據(jù)界限值具有實(shí)用性。在制定數(shù)據(jù)概率劃分準(zhǔn)則的時(shí)候，無論數(shù)據(jù)處于何種分布，與異常事件相對應(yīng)的狀態(tài)異常概率劃分準(zhǔn)則與三線值法相同，數(shù)據(jù)的正常、警告和危險(xiǎn)界限值控制區(qū)間所對應(yīng)的發(fā)生概率也保持一致。借鑒三線值法中的狀態(tài)劃分方法，建立適用于任意概率分布的最大熵準(zhǔn)則。設(shè)y為檢測數(shù)據(jù)測量值，f(x)為經(jīng)過最大熵原理求解得到的概率密度函數(shù)，由光譜數(shù)據(jù)非負(fù)性x≥0，得出數(shù)據(jù)落在區(qū)間[0,y]的概率p(y)為：

(8)

對已經(jīng)求解出來的概率密度函數(shù)f(x)，進(jìn)行數(shù)值積分，結(jié)合狀態(tài)分級評價(jià)準(zhǔn)則可求得正常、警告和危險(xiǎn)3個(gè)狀態(tài)分界點(diǎn)，分成4個(gè)狀態(tài)區(qū)間[2]，狀態(tài)評價(jià)區(qū)間見表1。

表1 狀態(tài)評價(jià)區(qū)間

p(y)≤0.841 3時(shí)，y小于正常界限值，機(jī)械設(shè)備磨損處于正常狀態(tài)；0.841 30.998 7時(shí)，y大于危險(xiǎn)界限值，機(jī)械設(shè)備磨損處于危險(xiǎn)狀態(tài)。

2 最大熵方法應(yīng)用

在制定油液光譜數(shù)據(jù)界限值的時(shí)候，要考慮到有梯度正常而質(zhì)量分?jǐn)?shù)異常、質(zhì)量分?jǐn)?shù)正常而梯度異常、質(zhì)量分?jǐn)?shù)和梯度同時(shí)異常的幾種可能情況出現(xiàn)，因此，本文以某型船舶軸系支點(diǎn)軸承潤滑油近兩年的鐵元素光譜數(shù)據(jù)為分析對象，應(yīng)用最大熵概率密度法，針對質(zhì)量分?jǐn)?shù)模型、梯度模型求出鐵元素的概率密度函數(shù)，分別確定2種模型的正常、警告和危險(xiǎn)狀態(tài)界限值。其他光譜元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)和梯度界限值用相同方法計(jì)算確定。

應(yīng)用matlab分析軟件編寫最大熵概率密度函數(shù)求解程序，分別求出四階矩約束條件下鐵元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)的概率密度函數(shù)為：

f(x)=exp(-3.585 3+14.528 7x-32.113 2x2+13.913 9x3+3.012 5x4) 。

(9)

鐵元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)梯度的概率密度函數(shù)為：

f(x)=exp(-0.070 5+3.766 9x-9.151 3x2+0.486 8x3+2.151 7x4)。

(10)

根據(jù)前面介紹的界限值求解方法，分別確定鐵元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)和梯度的正常分界點(diǎn)、警告分界點(diǎn)、危險(xiǎn)分界點(diǎn)，油液光譜鐵元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)和梯度分界點(diǎn)見表2。鐵元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)最大熵概率密度函數(shù)和概率分布如圖1、圖2所示，鐵元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)梯度的最大熵概率密度函數(shù)和概率分布圖分別如圖3、圖4所示。

表2 油液光譜鐵元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)和梯度分界點(diǎn)

圖1 鐵元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)最大熵概率密度函數(shù)圖

圖2 鐵元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)概率分布圖

圖3 鐵元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)梯度最大熵概率密度函數(shù)圖

圖4 鐵元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)梯度概率分布圖

機(jī)械設(shè)備摩擦副的磨損是漸進(jìn)性變化的過程，當(dāng)通過界限值發(fā)現(xiàn)異常征兆時(shí)，需要縮短時(shí)間間隔進(jìn)行一次加密取樣，對異常狀態(tài)進(jìn)行確認(rèn)，若數(shù)據(jù)降到正常范圍，設(shè)備保持繼續(xù)運(yùn)行，加強(qiáng)跟蹤監(jiān)測。反之，如果加密取樣分析后，確認(rèn)了異常狀態(tài)，則要立即停機(jī)檢查，進(jìn)行視情維修。在確定油液光譜數(shù)據(jù)界限值的時(shí)候，需要注意幾個(gè)方面的問題。①不同設(shè)備的油液樣本應(yīng)該基于不同元素建立光譜數(shù)據(jù)界限值；②在數(shù)據(jù)樣本足夠的情況下，不同工況的同型設(shè)備的油液光譜各個(gè)元素界限值要根據(jù)各自樣本數(shù)據(jù)分別確定；③在設(shè)備使用過程中，隨著檢測數(shù)據(jù)的不斷積累，應(yīng)及時(shí)將相應(yīng)的界限值進(jìn)行修正。

3 結(jié)束語

1)通過最大熵方法確定的光譜分析元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)模型、梯度模型界限值，能夠用于判斷機(jī)械設(shè)備的磨損狀態(tài)，后續(xù)需要用其他方法加以驗(yàn)證。

2)應(yīng)用最大熵原理確定的油液光譜數(shù)據(jù)判斷準(zhǔn)則可適用于其他元素的界限值確定。