考慮感染因子的公共場所人員調度優(yōu)化研究
——以圖書館為例

王芳，白云，龍建宇，曾波

（1.重慶工商大學 管理科學與工程學院，重慶 400067；2.東莞理工學院 機械工程學院，廣東 東莞 523808）

0 引 言

2019年新冠肺炎病毒被發(fā)現以來，迅速席卷各地并延續(xù)至今，給我國社會生活、經濟發(fā)展和人民群眾的生命和財產安全造成了巨大的影響和干擾，被世界衛(wèi)生組織列為國際關注的突發(fā)公共衛(wèi)生事件，嚴重威脅社會公眾的日常生活工作。經過艱苦抗疫，我國進行入了疫情防控常態(tài)化階段，疫情防控與經濟復蘇同步推進。但是自2022年3月以來，全國各地再次爆發(fā)了不同程度的疫情，多個高校和地區(qū)深受其影響，必須實行“非必要”不出門、公共場所暫不開放等防疫政策。

公共服務是現代政府的基本職能，服務型政府建設是我國行政管理體制改革的重要目標之一，公共服務體系是政府部門為居民提供公共產品與公共服務的一整套體系。在新冠肺炎疫情應對中，人民群眾的生產生活需求發(fā)生重大變化，公共服務的供給必須既要保障基本民生需求也要考慮疫情控制需要。隨著進入后疫情時代，為滿足人民群眾的各項需求，公共場所逐漸對外開放，開始正常運營。公共場所是面向社會大眾開放的，人員密集、流動量較大等使得公共場所成為疫情防控工作體系重要的環(huán)節(jié)之一。由于新冠病毒傳播存在復雜性和不確定性，在新形態(tài)危機下保障人民群眾的生命安全，公共場所管理尤其是公共場所的人員調度問題面臨著前所未有的挑戰(zhàn)。

以高校圖書館為例，因其服務功能和定位，使得其具有人群密集程度高、流動性大、場館相對封閉、書籍資料等全面消毒難度大等特點，所以圖書館極易成為疫情感染的場所。在疫情發(fā)生前，其可面向全社會各個階層讀者免費開放，具有社會性，與社會發(fā)展現狀緊密聯(lián)系；在疫情發(fā)生后其是面向全校師生免費開放，提供查詢、借閱及相關服務，開展社會教育的公共文化設施。因此，后疫情時期需要圖書館在新形態(tài)危機下積極應對，保障學生、館員等人員的生命安全，故提出在考慮新冠病毒感染風險的條件下，針對圖書館員工排班、學生進館流量控制等工作，需要不斷完善圖書館的管理制度的要求。

近年來，由于運籌優(yōu)化算法的發(fā)展和計算機技術的應用，關于任務指派和人員調度問題的研究得到了進一步的拓展。現有的關于公共場所的員工調度的研究主要集中在交通、制造業(yè)、呼叫中心、醫(yī)療衛(wèi)生等系統(tǒng)中，李建斌將“巡檢路線排班最佳”轉化為TSP 動態(tài)規(guī)劃問題，用貪婪算法分析每班每人近似最佳路線，考慮錯時交班得出遍歷圖，應用Mathematica 編輯對路線進行模擬分析。在新冠肺炎疫情蔓延期間，考慮到病毒傳播的因素，國內外對人員調度優(yōu)化的研究主要集中在醫(yī)療系統(tǒng)中。Mehmet等人研究了新冠肺炎流行期間土耳其一家醫(yī)院醫(yī)生輪班表的準備工作，提出了一個混合整數規(guī)劃模型并將其轉化為一個決策支持系統(tǒng)，在減少病毒傳染的風險下，維持了所有部門的醫(yī)療保健服務。Kosasih Bai Asmita等人在疫情爆發(fā)期間對雅加達一家公立醫(yī)院的急診室護士調度進行了研究，在保證急診室護士和患者的比例保持在1：4 的最低比例的前提下，通過改進的Tribrewala、Phillipe 和Browne（TPB）算法對輪班模式進行了優(yōu)化。劉亞蘭等人研究了新型冠狀病毒性肺炎疫情期間基于多目標整數規(guī)劃模型的護理人員排班，在滿足不同班型人數需求及患者救治所需的前提下，以最大限度減少護理人力資源和防護用品的消耗為目標，確立目標函數、約束條件及相應的參數，通過MATLAB 軟件建立多目標整數規(guī)劃模型并運用CPLEX 求解器求解。Giorgio Zucchi等人研究了在新冠肺炎疫情蔓延背景下，意大利一家大型藥品配送倉庫人員調度問題，他為降低病毒感染的風險將員工分成相互排斥的組進行工作。Selman Aslan等人通過使用多目標遺傳算法和資源受限的項目調度技術，使用COVID-19 感染率建模來解決建設項目案例的項目工期、大流行風險和項目成本。

傳統(tǒng)的研究方法可以解決員工的排班問題，但是目前新冠病毒的傳播仍具有復雜性和不可確定性，以上對新冠肺炎期間的人員調度研究大多集中在醫(yī)療系統(tǒng)，其他系統(tǒng)的員工排班研究也必須提上日程。所以在疫情常態(tài)化階段，人員調度問題的研究需要結合防控要求，盡量減少人員的流動性，從而減少感染風險。結合以上研究，本文根據研究問題的特征結合后疫情防疫要求建立了混合整數線性規(guī)劃模型，用于解決后疫情時期公共場所的人員調度問題，將員工分成互相排斥的小組，通過感染因子來衡量排班后員工感染病毒的風險，使用數學規(guī)劃求解器GUROBI 在短時間內獲得問題的最優(yōu)解，不僅可以對提高員工滿意度和服務對象滿意度，而且對圖書館的運營效率和成本也有著顯著影響。

1 問題模型構建

1.1 模型假設

模型的假設條件為：（1）所有的員工，對各部門的工作內容與業(yè)務流程都熟悉，即任意員工都可勝任任意部門的工作；（2）默認周天為所有員工的休息日，圖書館閉館不進行開放。

1.2 模型參數及變量定義

1.2.1 參數與集合

計劃周的排班方案，一周24 個班次，則作出以下定義：

：班次的集合，其中∈｛1，2，…，24}；

：員工的集合，其中∈｛1，2，…，}；

：部門的集合，其中∈｛1，2，3}；

e：第∈班次的開始時間；

l：第∈班次的結束時間；

d：第∈班次中需要辦理業(yè)務的學生人數；

P：員工∈辦理業(yè)務的效率（單位小時內能夠服務的學生人數）；

C：單位最大最小工時差成本；

C：平均人力成本。

1.2.2 決策變量

：所有員工中最大的總工作時數；

：所有員工中最小的總工作時數；

x：員工∈若在部門∈的班次∈中工作，則x=1，否則為0；

y：員工∈若在部門∈中工作，則y=1，否則為0。

1.3 模型目標函數及約束條件

考慮到公共場所人員調度問題是一個復雜的問題，由于服務質量、人力成本和學生滿意度是影響排班的主要因素，而且服務質量和人力成本存在二律背反的關系，所以在建立模型時，將總成本分為排班出現怠工現象導致的人力成本和不能達到服務水平要求的懲罰成本，以總成本最小為目標，以各班次中學生到館辦理業(yè)務的數量等作為輸入參數，以員工在某一部門的某一班次中工作等作為決策變量，建立排班優(yōu)化模型，目標函數為：

周一至周六為工作日，三個部門的各班次必須有員工上班，故需滿足以下約束條件：

在沒有疫情時，圖書館排班制度允許員工串部門輪班，但在后疫情時期，為配合疫情防控工作從而降低病毒感染的風險，要求員工始終在某一部門工作，不進行串部門輪班，故需滿足：

為提升員工的工作積極性與工作效率，要求員工不允許連上兩個班次，且上晚班的員工次日不再安排早班，保證員工有充足的休息時間，故需滿足：

決策變量x與決策變量y的耦合關系應滿足以下關系：

x≤y?，∈，∈

為平衡員工之間的工作時長，提升員工的滿意度，故要求所有員工∈在部門中的最大總工作時數U 與最小總工作時數V 之間的差越小越好，即員工之間的工作量達到均衡，故員工中的最大總工作時數U 與最小總工作時數V可表示為：

不僅如此，還要盡量滿足學生辦理業(yè)務的需求，即員工排班既要避免出現怠工的現象，又要在規(guī)定的上班時間內避免因工作效率低下而未達到學生期望的服務水平。

2 實驗設置

2.1 案例數據收集與處理

本文所有測試是在3.40 GHz CPU 計算機上進行，使用Python 和9.1.2 版本的GUROBI 優(yōu)化軟件，平均求解時間為15.062 s。以圖書館信息服務部為例，利用實際數據對模型進行驗證。

2.1.1 部門數

圖書館信息服務部分為3 個部門，包括信息服務中心，負責辦理相關一卡通業(yè)務，如一卡通掛失、補卡等；服務管理臺1，負責檢查監(jiān)督學生入館、前臺咨詢和逾期圖書繳費等其他圖書館前臺管理工作；服務管理臺2 歸還圖書的分類和歸放等工作，故=1,2,3。

2.1.2 員工數及效率

三個部門總共需要8 個員工，故={1,2,…,8}，每個員工辦理業(yè)務的效率如表1所示，其中辦理業(yè)務的效率為單位小時內辦理的業(yè)務數量。

表1 員工編號及效率

2.1.3 班次

通過對辦理業(yè)務的學生數量進行過統(tǒng)計和分析，發(fā)現原有的輪班制度不僅存在未將疫情防控要求考慮在內的缺陷，而且排班方案也不合理。故對班次做出調整，一天分為早班、中班、下午班以及晚班4 個班次，一周共有24 個班次，具體的上班時間如表2所示。

表2 上班時間表

2.1.4 辦理業(yè)務學生數

對原始數據處理后，本文測試的各班次辦理業(yè)務學生數是從實際統(tǒng)計數據中隨機生成的。一周24 個班次辦理業(yè)務的學生數如表3所示。

表3 24 個班次辦理業(yè)務的學生數

2.2 模型效果評價

高校圖書館根據學生的各項需求，成立了信息服務中心、服務管理臺等部門。但在后疫情時期，病毒傳染路徑存在復雜性和差異性，傳統(tǒng)的排班會使得感染風險大大增加。因此，通過描繪各部門員工的網絡圖，基于圖的平均頂點度，計算感染因子值以衡量感染病毒的風險，并將此作為該模型的效果評價指標。

員工網絡圖的頂點代表員工，邊代表員工在同一部門至少在一起工作過一次。其中，G是第周的部門∈的網絡圖，每個圖都有頂點集（G）和邊集（G），設（）為網絡圖的每個頂點∈對應的度，R為部門∈在第周的感染因子，R為部門∈的感染因子值，部門∈在第周的感染因子計算公式為：

部門∈的感染因子值計算公式為：

3 結果分析

3.1 數據分析

首先對一周24 個班次、8 個員工的算例進行測試，測試結果如圖1所示。與優(yōu)化前的排班方案如圖2所示進行比較，優(yōu)化后的最大工作時長為54 h，最小工作時長為37 h，最優(yōu)目標值為166，大大降低了總成本。

圖1 優(yōu)化后的排班方案

圖2 優(yōu)化前的排班方案

以一周的優(yōu)化結果為例進行分析，優(yōu)化后的排班方案的總成本比優(yōu)化前明顯降低，如表4所示。最大最小工時差（-）代表員工工作量分配是否均衡，浪費的人力成本代表員工有怠工的現象，懲罰成本是對未按時完成業(yè)務辦理使得學生滿意度降低的成本。

表4 優(yōu)化前后成本對比

然后對連續(xù)兩周48 個班次進行排班，可以得出如圖3所示的排班方案，驗證了該模型的有效性。

圖3 優(yōu)化后的兩周排班方案

在優(yōu)化前的排班中，員工可串部門輪班，不考慮交叉感染的風險，所以各部門的感染風險值相同。在優(yōu)化后的排班中，為降低員工之間感染的風險則不允許員工串部門輪班，所以各部門的感染風險值不同。根據圖4所示的員工網絡圖，計算出在優(yōu)化前后各部門的感染因子值，如表5所示，優(yōu)化后的各部門感染因子值小于優(yōu)化前的感染因子值，說明優(yōu)化后的排班方案不僅降低了成本，還降低了員工之間感染的風險。

圖4 員工網絡圖

表5 優(yōu)化前后各部門感染風險值

3.2 靈敏度分析

3.2.1 員工數量對目標函數的影響

根據圖書館的規(guī)定，3 個部門最多招錄共10 名員工，最少招錄共8 人。在最少員工數為8 人的基礎上，分別增加1 名員工和2 名員工，以原有8 位員工的平均工作效率作為增加員工的工作效率，得到了如表6所示的數據。結果顯示當員工數量為9 人的時候，總成本最小。

表6 不同員工數量下的總成本

3.2.2 工作時長對目標函數的影響

在優(yōu)化前的排班中，每個班次以4 h 為單位進行輪班。結合實際需要辦理業(yè)務的數量與員工工作的靈活性，優(yōu)化后的班次以4.5 h 和3.5 h 進行輪班，結果顯示，優(yōu)化后的班次使得總成本最小。如表7所示。

表7 不同工作時長下的總成本

4 結 論

（1）針對疫情常態(tài)化階段的公共場所人員調度的問題，將感染因子作為模型的效果評價指標，來衡量員工之間感染病毒的風險，構建了以排班出現怠工現象導致的人力成本與不能達到服務水平要求的懲罰成本之和最小化為目標的人員調度優(yōu)化模型，并用數學規(guī)劃求解器GUROBI 進行求解。

（2）算例結果表明，本模型可解決圖書館工作人員的排班問題，能夠實現在降低感染風險的同時還能使圖書館正常開放，驗證了該模型的有效性。對影響目標值的兩個因素（員工數量和工作時長）進行分析，得出了在員工數量為9時目標值最優(yōu)的結論，同時驗證了當前模型的工作時長更符合現實情況，使得總成本最低。

（3）GUROBI 求解器可在短時間內求解出該模型的最優(yōu)解，但是在求解大規(guī)模案例（員工數量、班次數量等較多）時，求解時間過長。因此，在以后的研究中，考慮將求解器與智能優(yōu)化算法相結合，提高大規(guī)模案例的求解效率。