面向在軌靠泊加注的管路力學(xué)分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)

孫志成，李世鵬，宋曉東，黃奕勇，張 歡，閆明政

(1. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081; 2. 飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081；3. 軍事科學(xué)院國防科技創(chuàng)新研究院，北京 100071)

0 引 言

隨著航天探索的不斷深化，航天器推進(jìn)劑在軌補(bǔ)給技術(shù)的重要性已逐漸凸顯。一方面，越來越多的航天器因推進(jìn)劑耗盡而成為失效航天器，不但占據(jù)了寶貴的軌道資源，而且迫使人類發(fā)射相同功能的航天器替代它們，利用在軌補(bǔ)給技術(shù)則可以節(jié)約軌道資源與地球資源；另一方面，人類已不滿足于地球周邊的太空活動(dòng)，并逐步開展對火星等行星的深空探測活動(dòng)，這也需要該技術(shù)的支持。

推進(jìn)劑在軌補(bǔ)給方式可分為直接加注、更換推進(jìn)模塊和增加推進(jìn)模塊三種，直接加注方式憑借其易操作性而被廣泛應(yīng)用。對于直接加注，服務(wù)航天器和客戶航天器之間需要先進(jìn)行連接，再進(jìn)行加注。連接方式可分為碰撞連接與靠泊連接兩種。碰撞連接為漂浮式連接，碰撞力較大且存在失敗風(fēng)險(xiǎn)；靠泊連接為抓取式連接，兩航天器之間依靠機(jī)械臂連接成為一個(gè)相對穩(wěn)定的整體，之后再由機(jī)械臂將航天器拉回或者由航天器伸出一個(gè)對接機(jī)構(gòu)進(jìn)行連接，碰撞力較小且成功概率大。由于伸出對接機(jī)構(gòu)的靠泊連接方式(簡稱伸出式靠泊連接)具有運(yùn)動(dòng)質(zhì)量小的特性，使得其碰撞力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他連接方式，有助于延長航天器的服役壽命，其連接過程如圖1所示。因此，對于需要連接的在軌任務(wù)(例如推進(jìn)劑的在軌直接加注)，伸出式靠泊連接擁有良好的應(yīng)用前景。

圖1 伸出式在軌靠泊連接過程Fig.1 Joining process of on-orbit stretching berthing

對于伸出式靠泊連接在軌直接加注任務(wù)，其加注管路會(huì)隨對接機(jī)構(gòu)同步外伸，如圖2所示。考慮到推進(jìn)劑與加注管路的相容性以及推進(jìn)劑的高壓性，加注管路的材料多采用鈦合金或者鋁合金等硬質(zhì)金屬。因此，加注管路的拉伸勢必會(huì)產(chǎn)生附加力，使對接機(jī)構(gòu)造成額外功耗甚至影響對接。因此，對加注管路的力學(xué)特性進(jìn)行分析，并根據(jù)分析結(jié)果設(shè)計(jì)加注管路構(gòu)型從而降低管路附加力具有重要的研究意義。

圖2 伸出式在軌靠泊加注任務(wù)加注管路狀態(tài)Fig.2 Refueling pipeline status in the on-orbit stretching berthing task

針對沿單一方向進(jìn)行拉壓的管路，類彈簧的螺旋線構(gòu)型因其軸向剛度低的優(yōu)勢而成為一種合適的選擇。同時(shí)，考慮到在軌機(jī)構(gòu)的緊湊性，加注管路的設(shè)計(jì)空間多是有限且非規(guī)則的空間。在這種情況下，偏置拉壓橢圓螺旋管路的單圈長度相比于中心拉壓的圓螺旋管路更長，從而具有更小的軸向剛度(附加力)。因此，需要研究偏置拉壓橢圓螺旋管路的軸向剛度問題。

目前國內(nèi)外還沒有關(guān)于橢圓螺旋結(jié)構(gòu)軸向剛度的相關(guān)研究，但圓螺旋結(jié)構(gòu)的類似研究已較為深入。劉鴻文采用能量法與微元法推導(dǎo)得到圓螺旋彈簧的經(jīng)典剛度公式，但沒有考慮剪切作用。駱振興等則考慮了剪切作用、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及螺旋升角對彈簧剛度的影響，并計(jì)算得出當(dāng)螺旋升角小于5°時(shí)，彈簧旋繞比越小傳統(tǒng)剛度計(jì)算公式的誤差越小的結(jié)論。Dym考慮了拉伸與扭轉(zhuǎn)的耦合效應(yīng)，利用最小總勢能原理推導(dǎo)得到彈簧剛度的表達(dá)式。張健等以幾何精確梁方法對圓截面螺旋彈簧進(jìn)行建模，推導(dǎo)得到彈簧的變形虛功率方程，并分析了彈簧剛度的非線性特性。以上均是關(guān)于圓螺旋結(jié)構(gòu)的研究，對于橢圓螺旋結(jié)構(gòu)的研究還有待深入。

在軌加注管路的設(shè)計(jì)需要在有限且不規(guī)則的設(shè)計(jì)空間內(nèi)得到附加力最小的構(gòu)型(包括位置參數(shù)和構(gòu)型參數(shù))，這是一個(gè)典型的多維非線性約束工程優(yōu)化問題。目前，針對該類問題，代理模型被廣泛應(yīng)用以提高計(jì)算效率。主流的代理模型包括：多項(xiàng)式響應(yīng)面、徑向基函數(shù)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及克里金代理模型(KRG)。其中，KRG的綜合性能相比于其他幾種代理模型具有顯著優(yōu)勢。近年來，基于代理模型的進(jìn)化算法也在不斷發(fā)展。該方法通過進(jìn)化獲得后代種群，通過代理模型預(yù)測后代種群，在種群進(jìn)化的同時(shí)更新代理模型，極大地提升了計(jì)算效率。對于約束優(yōu)化問題，Wang等提出了一種基于進(jìn)化采樣與罰函數(shù)的優(yōu)化算法，但該方法對罰函數(shù)的選取有極高要求，會(huì)出現(xiàn)結(jié)果不收斂的情況。為避免罰函數(shù)選取不當(dāng)?shù)膯栴}，Wang等提出了一種基于全局與局部代理模型的差分進(jìn)化算法，但該方法需要反復(fù)調(diào)用原分析模型，導(dǎo)致計(jì)算效率不高。Long等提出了一種基于知識轉(zhuǎn)移采樣的代理輔助差分進(jìn)化算法，該方法將知識轉(zhuǎn)移采樣方法與基于克里金代理模型的約束差分進(jìn)化算法(Kriging assisted constrained differential evolu-tion, KRG-CDE)相結(jié)合，細(xì)化了初始樣本點(diǎn)，提高了優(yōu)化問題的結(jié)果收斂性和計(jì)算效率。

本文面向伸出式靠泊加注任務(wù)，提出了一種偏置橢圓螺旋加注管路構(gòu)型。首先，基于能量法-微元法與第三強(qiáng)度理論推導(dǎo)了該類管路的軸向剛度表達(dá)式與應(yīng)力數(shù)學(xué)表達(dá)式。之后，對軸向剛度及應(yīng)力進(jìn)行了仿真校驗(yàn)，對軸向剛度進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)校驗(yàn)。最后，以非規(guī)則設(shè)計(jì)空間邊界、工作應(yīng)力、對接行程和偏置力矩為約束條件，軸向剛度最小為優(yōu)化目標(biāo)，采用KRG-CDE對某在軌加注對接機(jī)構(gòu)非規(guī)則設(shè)計(jì)空間下的偏置橢圓螺旋管路進(jìn)行了構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)，形成了一套完整的在軌加注橢圓螺旋管路設(shè)計(jì)方法，并將偏置橢圓螺旋管路同無偏圓、無偏橢圓以及偏置圓螺旋管路的最優(yōu)構(gòu)型進(jìn)行對比，驗(yàn)證了偏置橢圓螺旋加注管路附加力更小的優(yōu)越性。

1 偏置橢圓螺旋管路力學(xué)特性分析

伸出式靠泊加注對接任務(wù)主要可分為抓取和對接兩個(gè)過程。在對接過程中，加注管路隨對接機(jī)構(gòu)沿對接方向同步外伸，所形成的管路附加力將造成額外功耗甚至影響對接。同時(shí)，在軌機(jī)構(gòu)的緊湊性又決定了加注管路的設(shè)計(jì)空間是有限且不規(guī)則的，故需要在有限的設(shè)計(jì)空間內(nèi)設(shè)計(jì)加注管路，以降低管路拉壓所形成的附加力。

1.1 管路力學(xué)建模

基于加注管路單方向拉壓與設(shè)計(jì)空間不規(guī)則的特性，本文提出了一種偏置橢圓螺旋加注管路構(gòu)型，如圖3(a)所示，圖中：為管路承載點(diǎn)；為管路固定點(diǎn)；為管路中心點(diǎn)；為管路在點(diǎn)受到的軸向外力。為了降低管路附加力，管路被設(shè)計(jì)成初始為壓縮態(tài)，終止為拉伸態(tài)，且拉壓變形量相同，此種設(shè)計(jì)可使管路的拉壓極限附加力相等且最小,如圖3(b)所示，圖中：為管路對接行程；為管路螺距；為管路外徑；為管路螺旋升角；為管路自由態(tài)長度；為管路有效圈數(shù)。

圖3 偏置橢圓螺旋加注管路Fig.3 A bias-loading elliptical-helical refueling pipeline

由于在軌機(jī)構(gòu)的緊湊性，加注管路的設(shè)計(jì)空間和結(jié)構(gòu)都必然緊湊，螺旋升角一般都小于5°，故可忽略螺旋升角的影響，從而將三維問題轉(zhuǎn)變?yōu)槎S問題。圖4為偏置橢圓螺旋管路的俯視平面關(guān)系簡圖，圖中為橢圓管路的任意螺旋截面。

圖4 橢圓螺旋管路平面幾何關(guān)系Fig.4 Geometrical relations of an elliptical-helical pipeline

如圖4所示，橢圓管路方程為

(1)

式中：為橢圓管路長半軸；為橢圓管路短半軸；為橢圓管路參數(shù)方程參數(shù)。

根據(jù)式(1)和圖4，可得橢圓管路任意螺旋截面切線的垂線和橢圓管路承載點(diǎn)與橢圓管路任意螺旋截面的連線的夾角∠，記為：

(2)

式中：(,)為橢圓管路承載點(diǎn)的坐標(biāo)。

橢圓管路任意螺旋截面切線的垂線和橢圓管路中心與橢圓管路任意螺旋截面的連線的夾角∠，記為：

(3)

橢圓管路在承載點(diǎn)受到軸向外力作用的情況下，任意螺旋截面所受彎矩和扭矩為

=|sin|

(4)

=|cos|

(5)

橢圓管路在中心點(diǎn)受到軸向外力作用的情況下，任意螺旋截面所受彎矩和扭矩為

=|sin|

(6)

=|cos|

(7)

1.2 管路軸向剛度

剛度作為一種固有屬性，在螺旋結(jié)構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)與材料都確定后，其數(shù)值不會(huì)隨外力大小和位置的不同而改變，外力只會(huì)影響螺旋結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布。因此，本文所研究的偏置拉壓橢圓螺旋管路軸向剛度問題可等效為中心拉壓橢圓螺旋管路軸向剛度問題，而偏置拉壓的條件可在下節(jié)推導(dǎo)管路應(yīng)力數(shù)學(xué)表達(dá)式時(shí)再引入。

本文采用能量法與微元法對橢圓螺旋管路軸向剛度的表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)。螺旋管路在進(jìn)行拉壓時(shí)，功能轉(zhuǎn)換關(guān)系可表示為

(8)

式中：為螺旋管路在軸向外力作用下的軸向變形長度；和分別為螺旋管路在軸向外力作用下的扭應(yīng)變能和彎應(yīng)變能。

采用微元法推導(dǎo)T和B。其中，對于扭應(yīng)變能T：

(9)

式中：為螺旋管路有效圈數(shù)；為螺旋管路單圈體積；為扭應(yīng)變能密度；d為扭微元體積。

扭應(yīng)變能密度可由材料力學(xué)推得：

(10)

式中：為材料的切變模量；為微元距管路截面圓心的距離；為管路內(nèi)徑。

圖5所示為管路螺旋截面微元示意圖。對于扭微元體積d，結(jié)合圖4和圖5可得到以下關(guān)系：

圖5 管路螺旋截面微元Fig.5 Infinitesimal of the helical section of an helical pipeline

(11)

式中：d為微元面積；d為微元長度；d為微元夾角；d為扭微元寬度。

聯(lián)立式(1)和(9)～(11)，扭應(yīng)變能T可表示為

(12)

利用三角函數(shù)關(guān)系

(13)

與函數(shù)的對稱性，對式(12)進(jìn)行化簡，得到扭應(yīng)變能T的簡化表達(dá)式：

(14)

式中：E為第一類完全橢圓積分函數(shù)。

同理，對于彎應(yīng)變能B：

(15)

式中：為彎應(yīng)變能密度；d為彎微元體積。

彎應(yīng)變能密度可由材料力學(xué)推得：

(16)

式中：為材料的彈性模量；為管路螺旋截面上任意弦距截面圓心的距離。

對于彎微元體積d，結(jié)合圖4和圖5可得到以下關(guān)系：

(17)

式中：d為彎微元寬度；為微元弦長；為管路半徑，其中：為管路內(nèi)半徑，為管路外半徑。

聯(lián)立式(1)和(15)～(17)，彎應(yīng)變能B可表示為

(18)

式中：

(19)

(20)

對式(19)進(jìn)行化簡，令=cos，化簡結(jié)果如下：

(21)

對式(20)進(jìn)行化簡，化簡策略同式(12)～(14)，化簡結(jié)果如下：

(22)

之后，結(jié)合分部積分法和直接化簡法兩種方法對式(22)進(jìn)行進(jìn)一步化簡，最終可表示為

(23)

式中：E為第二類完全橢圓積分函數(shù)。

將式(21)和式(23)代入式(18)，得到橢圓螺旋管路彎應(yīng)變能：

(24)

將式(14)和式(24)代入式(8)，得到橢圓螺旋管路軸向剛度：

(25)

式中：為橢圓螺旋管路的單圈軸向剛度。

當(dāng)管路為圓形包絡(luò)即==時(shí)，式(25)退化為

=(-)(64)

(26)

式中：為管路俯視平面圓形包絡(luò)的中徑半徑。

1.3 管路應(yīng)力校核

采用第三強(qiáng)度理論推導(dǎo)偏置橢圓管路的應(yīng)力數(shù)學(xué)表達(dá)式，用于校核管路的最大應(yīng)力，避免塑性變形與斷裂。第三強(qiáng)度理論如下式所示：

(27)

式中：為抗彎截面系數(shù)；[σ]為材料的許用應(yīng)力。

將式(4)和式(5)代入式(27)，化簡應(yīng)力校核關(guān)系：

(28)

當(dāng)管路的構(gòu)型參數(shù)及軸向剛度確定后，只有的距離為變量。因此，管路的應(yīng)力校核問題被轉(zhuǎn)變?yōu)榍笞畲笾?)的問題，即：

(29)

聯(lián)立式(1)和，對()進(jìn)行求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0：

(30)

即可得到()對應(yīng)的點(diǎn)(,)。

將(,)代入得到()，再將()代回式(29)，即可完成管路的應(yīng)力校核。

2 仿真與實(shí)驗(yàn)校驗(yàn)

本節(jié)通過仿真與實(shí)驗(yàn)兩種方式對偏置橢圓螺旋管路的軸向剛度數(shù)學(xué)表達(dá)式(式(25))及應(yīng)力數(shù)學(xué)表達(dá)式(式(29))進(jìn)行校驗(yàn)，管路參數(shù)見表1。

表1 偏置橢圓螺旋管路參數(shù)Table 1 Parameters of the numerical validation model of the bias-loading elliptical-helical pipeline

管路材料采用鈦合金TC4，坐標(biāo)系定義如圖4所示。

將表1參數(shù)分別代入式(25)和式(29)，得到該管路軸向剛度與最大應(yīng)力的數(shù)學(xué)結(jié)果：

(31)

式中：σ為管路在軸向外力作用下的最大應(yīng)力；下標(biāo)t表示數(shù)學(xué)結(jié)果。

2.1 仿真校驗(yàn)軸向剛度及最大應(yīng)力

通過有限元仿真校驗(yàn)管路軸向剛度及最大應(yīng)力數(shù)學(xué)結(jié)果即式(31)的準(zhǔn)確性。

根據(jù)表1參數(shù)在三維建模軟件INVENTOR中創(chuàng)建管路的三維模型，之后將模型導(dǎo)入有限元分析軟件ABAQUS中構(gòu)建管路的有限元模型，分析管路的軸向變形(剛度)和最大應(yīng)力，如圖6所示。其中，管路的尾端點(diǎn)施加固定約束，前端偏置承載點(diǎn)處受到一個(gè)方向沿、大小為49 N的拉力。

圖6 管路有限元模型Fig.6 Finite element model of the pipeline

對仿真模型進(jìn)行網(wǎng)格無關(guān)性分析：當(dāng)有限元數(shù)量為最初的24159時(shí)，管路軸向剛度=37.4 mm，最大應(yīng)力=118.2 MPa。之后逐步增加有限元數(shù)量，仿真結(jié)果會(huì)向某一定值逼近。當(dāng)有限元數(shù)量增加至167334時(shí)，仿真結(jié)果已經(jīng)趨于穩(wěn)定，由有限元數(shù)量帶來的結(jié)果誤差已可以忽略不計(jì)，所得結(jié)果即可視為仿真真值，如下式所示：

(32)

其中,下標(biāo)s表示仿真結(jié)果。

2.2 實(shí)驗(yàn)校驗(yàn)軸向剛度

通過實(shí)驗(yàn)校驗(yàn)管路軸向剛度數(shù)學(xué)結(jié)果即式(31)與仿真結(jié)果即式(32)的準(zhǔn)確性。

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)主要由加注管路、砝碼、氣浮直線導(dǎo)軌及基座組成，如圖7所示。基座固定在實(shí)驗(yàn)臺上，管路的尾端固定在基座上，管路的承載點(diǎn)與氣浮直線導(dǎo)軌通過連接件固定，砝碼加載在管路承載點(diǎn)處，通過測量管路軸向變形來得到管路軸向剛度的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。其中，氣浮直線導(dǎo)軌中“直線導(dǎo)軌”的作用是提供運(yùn)動(dòng)約束及抵抗偏置管路在拉伸過程中所產(chǎn)生的橫向力，從而使管路沿管路軸線方向運(yùn)動(dòng)；“氣浮”的作用是降低由橫向力產(chǎn)生的摩擦力，盡可能地將原理誤差降到最低。實(shí)驗(yàn)管路的參數(shù)同數(shù)學(xué)及仿真管路的參數(shù)一致，具體見表1。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：

圖7 管路軸向剛度實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.7 Experiment system for testing axial stiffness of the pipeline

=02579 N/mm

(33)

其中,下標(biāo)e表示實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

將數(shù)學(xué)結(jié)果、仿真結(jié)果及實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行匯總，具體見表2。其中，相對誤差定義如下：

表2 偏置橢圓管路的數(shù)學(xué)、仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table 2 Theoretical, simulation and experimental results of the bias-loading elliptical-helical pipeline

由表2可見,偏置橢圓螺旋管路軸向剛度的相對誤差小于4.6%，最大應(yīng)力相對誤差小于0.6%，驗(yàn)證了軸向剛度數(shù)學(xué)表達(dá)式(式(25))和應(yīng)力數(shù)學(xué)表達(dá)式(式(29))的準(zhǔn)確性，可作為該類管路的理論設(shè)計(jì)工具。

3 在軌加注管路構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)

針對在軌加注管路設(shè)計(jì)空間的緊湊性和附加力問題，偏置橢圓螺旋管路構(gòu)型有著進(jìn)一步降低附加力的潛力。本節(jié)將以某在軌加注對接機(jī)構(gòu)為例，對非規(guī)則設(shè)計(jì)空間下的偏置橢圓螺旋管路進(jìn)行構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)，以形成一套完整的在軌加注橢圓螺旋管路設(shè)計(jì)方法；并將偏置橢圓螺旋管路同無偏圓、無偏橢圓以及偏置圓螺旋管路的最優(yōu)構(gòu)型進(jìn)行對比，以驗(yàn)證偏置橢圓螺旋加注管路的優(yōu)越性。

3.1 設(shè)計(jì)空間

對于在軌加注對接機(jī)構(gòu)，無論加注管路的設(shè)計(jì)空間是否規(guī)則，都可簡化為由兩個(gè)矩形區(qū)域組成的組合區(qū)域。以本文作者設(shè)計(jì)的一種在軌加注對接機(jī)構(gòu)為例，管路設(shè)計(jì)空間及相關(guān)定義如圖8所示。其中，五角星點(diǎn)為管路前端承載點(diǎn)，圓點(diǎn)為管路中心點(diǎn)，虛線為管路設(shè)計(jì)空間邊界，承載點(diǎn)是基于對接機(jī)構(gòu)主體部分的設(shè)計(jì)而被動(dòng)決定的已知點(diǎn)，設(shè)計(jì)空間被橫豎兩條點(diǎn)劃線劃分為,以及三個(gè)區(qū)域，加注管路的設(shè)計(jì)需要在設(shè)計(jì)空間內(nèi)進(jìn)行。絕對坐標(biāo)系建立在設(shè)計(jì)空間上，局部坐標(biāo)系建立在管路上。對于絕對坐標(biāo)系：點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)；管路前端承載點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)；管路中心點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)；為橢圓長半軸與軸的夾角。對于局部坐標(biāo)系：點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)；管路前端承載點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)，即管路承載點(diǎn)與中心點(diǎn)的偏置量。

圖8 某在軌對接加注機(jī)構(gòu)的加注管路設(shè)計(jì)空間Fig.8 Design space of the refueling pipeline for an on-orbit docking refueling mechanism

3.2 優(yōu)化模型

本文的優(yōu)化問題旨在對偏置橢圓螺旋加注管路的構(gòu)型及位置參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。首先，根據(jù)管路極限壓縮狀態(tài)與原長狀態(tài)下的幾何約束關(guān)系，優(yōu)化得到管路有效圈數(shù)的最大值；之后，在滿足管路包絡(luò)包含于設(shè)計(jì)空間內(nèi)、工作狀態(tài)下管路最大應(yīng)力小于材料許用應(yīng)力以及偏置管路附加力矩小于許用設(shè)計(jì)力矩的約束條件下，優(yōu)化得到軸向剛度最小的管路參數(shù)。優(yōu)化模型如下：

(34)

式中：為設(shè)計(jì)變量，其取值范圍如圖3和圖8所示；為管路包絡(luò)；為管路設(shè)計(jì)空間；為偏航方向許用設(shè)計(jì)力矩；為俯仰方向許用設(shè)計(jì)力矩。

之后，將優(yōu)化結(jié)果代入式(35)計(jì)算得到管路的螺旋升角，從而得到管路的全部設(shè)計(jì)參數(shù)。

(35)

3.3 約束條件

對于(+1)·≤-2和+·=的約束條件，即管路幾何關(guān)系，可由圖3(b)得到；對于≤[]的約束條件，即管路應(yīng)力校核關(guān)系，可由式(29)得到；對于·2·|()-()|≤()的約束條件，即管路附加力矩關(guān)系，可由圖8(b)得到。

對于∈的約束條件，即管路包絡(luò)需包含于設(shè)計(jì)空間內(nèi)，其判斷策略如下：

通過計(jì)算管路包絡(luò)與各邊界的交點(diǎn)數(shù)量來約束優(yōu)化。最優(yōu)的管路構(gòu)型需同時(shí)滿足以下條件：

(1) 不能與軸有交點(diǎn)；

(2) 不能與軸有交點(diǎn)；

(3) 不能與=，即上邊界有交點(diǎn)；

(4) 不能與=，即右邊界有交點(diǎn)；

(5) 必須與=有交點(diǎn)，即必須與=相切(1個(gè)交點(diǎn))或者橫跨區(qū)域或區(qū)域(2個(gè)交點(diǎn))，且交點(diǎn)縱坐標(biāo)和均位于區(qū)域。

(6) 必須與=有交點(diǎn)，即必須與=相切(1個(gè)交點(diǎn))或者橫跨區(qū)域或區(qū)域(2個(gè)交點(diǎn))，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)和均位于區(qū)域。

橢圓管路的一般方程可表示為

+++++=0

(36)

式中：,,,,,均為橢圓方程參數(shù)。

(37)

結(jié)合圖8和式(36)，條件①～⑥可表示為

(38)

3.4 優(yōu)化算法

對于本文的六維非線性約束工程優(yōu)化問題，KRG-CDE是解決該類問題較為先進(jìn)的算法。基于上述算法，本文所研究的在軌加注橢圓螺旋管路的構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)流程如圖9所示：首先采用序列二次規(guī)劃算法(Sequential quadratic programming, SQP)對管路的有效圈數(shù)進(jìn)行最大值優(yōu)化；再基于有效圈數(shù)的優(yōu)化結(jié)果采用KRG-CDE對加注管路的軸向剛度進(jìn)行最小值優(yōu)化。

圖9 加注管路優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖Fig.9 Flowchart of optimal design for refueling pipeline

KRG-CDE是一種基于克里金代理模型的全局進(jìn)化算法。對于復(fù)雜工程問題，引入代理模型可以大大提高優(yōu)化效率。KRG-CDE所采用的克里金代理模型的綜合性能和其他代理模型相比具有明顯優(yōu)勢。同時(shí)，進(jìn)化算法可以充分探索設(shè)計(jì)空間，在不需要目標(biāo)函數(shù)梯度信息的條件下快速高效的求解優(yōu)化問題。KRG-CDE分為全局搜索與局部搜索兩個(gè)階段：在全局探索階段，通過代理模型提供的預(yù)測方差，建立基于約束改善度與最優(yōu)適應(yīng)度的可行準(zhǔn)則，引導(dǎo)種群向樣本較為稀疏的可能存在最優(yōu)解的區(qū)域進(jìn)化。在局部搜索階段，采用徑向基函數(shù)構(gòu)造局部優(yōu)化模型并結(jié)合SQP求解，平衡了代理模型的魯棒性、近似精度與構(gòu)造效率，提高了算法的收斂速度。算法的具體細(xì)節(jié)可參見文獻(xiàn)[24]。

3.5 優(yōu)化結(jié)果與討論

本節(jié)將結(jié)合圖8(b)和式(34)～(38)，基于優(yōu)化流程圖9對某在軌加注對接機(jī)構(gòu)的加注管路進(jìn)行構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)，相關(guān)參數(shù)見表1和表3。

表3 優(yōu)化算例相關(guān)參數(shù)Table 3 Relevant parameters of the optimization example

在同一設(shè)計(jì)空間下，對無偏圓螺旋管路、偏置圓螺旋管路、無偏橢圓螺旋管路和偏置橢圓螺旋管路這四種管路分別進(jìn)行優(yōu)化，得到各自的最優(yōu)構(gòu)型(軸向剛度最小)。優(yōu)化結(jié)果如表4和圖10所示：

圖10 四種加注管路的最優(yōu)構(gòu)型Fig.10 Optimal configurations of four types of refueling pipelines

表4 優(yōu)化算例結(jié)果Table 4 Results of the optimization example

由表4可見,同一設(shè)計(jì)空間下，偏置橢圓螺旋管路的最優(yōu)構(gòu)型擁有最小的軸向剛度和最大應(yīng)力。與常規(guī)無偏圓螺旋管路的最優(yōu)構(gòu)型相比，偏置橢圓螺旋管路的附加力降低了83.5%，最大應(yīng)力降低了47.1%，并且也都優(yōu)于另兩種衍生構(gòu)型，滿足在軌加注對接機(jī)構(gòu)對于加注管路附加力更小的設(shè)計(jì)需求。

4 結(jié) 論

本文針對在軌伸出式靠泊加注任務(wù)對接過程中加注管路因同步外伸而產(chǎn)生附加力的問題，提出了一種偏置橢圓螺旋構(gòu)型的加注管路。首先基于能量法-微元法和第三強(qiáng)度理論推導(dǎo)了偏置拉壓橢圓螺旋加注管路的軸向剛度與應(yīng)力數(shù)學(xué)表達(dá)式。之后通過仿真與實(shí)驗(yàn)校驗(yàn)了數(shù)學(xué)表達(dá)式的準(zhǔn)確性，相對誤差均小于5%，可作為該類管路的理論設(shè)計(jì)工具。最后形成了一種在軌加注橢圓螺旋管路設(shè)計(jì)方法，并以某在軌加注對接機(jī)構(gòu)為例，基于KRG-CDE對四種潛在的最優(yōu)加注管路構(gòu)型進(jìn)行了最小軸向剛度優(yōu)化設(shè)計(jì)。結(jié)果表明：偏置橢圓螺旋管路與常規(guī)無偏圓螺旋管路相比，其附加力降低了83.5%，最大應(yīng)力降低了47.1%，更適用于伸出式靠泊加注任務(wù)。