偶數重連續覆蓋的Walker星座設計方法

龔宇鵬，張世杰

(1. 哈爾濱工業大學航天學院衛星技術研究所，哈爾濱 150080; 2. 鵬城實驗室數學與理論部, 深圳 518055)

0 引 言

Walker星座是由軌道高度和傾角相同的圓軌道衛星組成的規則同構星座，星座中各軌道面沿赤道均勻分布，各軌道所含衛星數量相同且沿軌道均勻分布，具有構型穩定性強、覆蓋性能分布均勻、可以靈活調整覆蓋緯度范圍等特點,被廣泛應用于Telesat, Starlink, Kuiper等低軌巨型星座系統的設計。然而當前Walker星座構型設計仍主要依賴于參數枚舉、經驗公式或智能搜索方法，并未形成通用的設計流程和方法。鑒于偶數與奇數重覆蓋Walker星座的覆蓋特性存在差異，本文將首先解決偶數重覆蓋星座的構型設計問題，并在未來補充研究奇數重覆蓋星座的設計方法。

如何使用最少的衛星數量滿足星座對地連續覆蓋需求是構型設計考慮的首要問題。當衛星數量較少時，可以通過枚舉構型并分析覆蓋性能獲得最優的構型結果，但此類方法難以滿足未來衛星數量日益增加的設計需求。覆蓋帶(Street of coverage, SoC)法是一種通過拼接衛星的覆蓋區域解析計算同構星座中衛星的球面距離，進而求解星座構型的設計方法。這種方法不需要預設衛星數量，適用于任意數量規模的星座設計，但由于傳統覆蓋帶方法僅考慮帶內衛星位于同一軌道的情況，而Walker星座傾角選擇靈活，不同緯度存在多個軌道面交點，難以判定拼接關系，因此并未廣泛采用覆蓋帶方法設計。盡管如此，文獻[12]中已經證明，覆蓋帶存在仍是星座連續覆蓋的必要條件。通過分析異軌道面衛星組成覆蓋帶的特征寬度和拼接關系，就能將覆蓋帶方法應用于Walker星座設計。

由于Walker星座中不同衛星的升交點經度和緯度幅角相位差不隨星座運行而發生變化，因此在(,)相平面內計算星地或星間距離關系可以降低距離求解和覆蓋判定的難度。Ulybyshev基于(,)相平面(也稱為二維圖)分別提出了連續和非連續覆蓋Walker星座的構型設計方法。孟少飛等在其基礎上提出了一種四重覆蓋星座的構型設計方法。然而這些方法并未采用合理的覆蓋判定準則，因此所得構型的衛星數量將顯著高于實際需求。李翠蘭等在星座構型設計時進一步考慮了衛星碰撞風險，對不同(,)分布下的星座碰撞概率估計方法進行了研究。文獻[17]中針對相平面內覆蓋的判定問題進行了分析，指出當任意緯度目標的可視相位范圍在相平面內無縫密鋪時，就表示星座可以連續覆蓋該目標緯度;結合異軌覆蓋帶相平面映射的特征寬度，就能判定星座在不同緯度處的覆蓋重數，從而計算滿足覆蓋需求所需的衛星數量和星座構型。

本文將基于覆蓋帶理論提出一種Walker星座的設計方法。參考Walker星座的構型特點，在(,)相平面內分析覆蓋帶拼接結果與構型參數的關系，重點解決覆蓋重數需求為偶數重時的構型設計問題，旨在為低軌星座系統建設提供參考。

1 同軌覆蓋帶星座設計

1.1 問題描述

在設定軌道高度和傾角后，Walker星座的空間構型可以由衛星總數，軌道面個數以及相位參數三個特征參數表示，其中表征相鄰軌道上兩衛星相位之差與2π/的倍數關系。記初始時刻基準衛星的升交點經度和緯度幅角分別為(,)，則星座中任意衛星的初始相位(,)可以表示為

(1)

式中：int(·)為向下取整函數；mod(·,·)為求余函數；=0,…,-1。

如何設計Walker星座的構型參數,,和軌道傾角，使得星座能在給定單星覆蓋范圍下，利用盡可能少的衛星和軌道數量滿足期望的覆蓋需求，是Walker星座構型設計所要解決的問題。對于偶數重連續覆蓋的Walker星座，由于軌道升降交點沿赤道均勻分布且每軌衛星數量完全相同，因此處于軌道上行段(衛星由南向北運行)衛星的分布情況與下行段(衛星由北向南運行)衛星完全相同。當軌道上行段衛星可以滿足期望覆蓋重數需求的一半時，另一半覆蓋需求將自然被處于軌道下行段的衛星滿足。而奇數重覆蓋星座需要同時考慮上下行衛星覆蓋性能的疊加，其設計思路與偶數重覆蓋星座存在差異，本文中暫不對其開展研究。在此可以將偶數重覆蓋構型設計問題總結為，求解構型參數,,和傾角，使得星座在衛星數量盡可能少的約束下，軌道上行段衛星可以獨立滿足目標區域一半的連續覆蓋重數需求。

傳統覆蓋帶方法主要適用于覆蓋帶由同軌衛星覆蓋區域拼接形成的情況，本節將首先在這一假設下研究偶數重連續覆蓋Walker星座的構型設計方法，并在后續章節中將結論進行推廣，分析覆蓋帶由不同軌道衛星組成時的通用構型設計方法。

1.2 覆蓋區域和覆蓋帶

為設計連續覆蓋星座，首先需要計算衛星對地覆蓋范圍。假設地球是半徑為的理想球體，并記衛星對地面可視的最小仰角為，則衛星的覆蓋范圍可以視作以星下點為圓心，半球心角為半徑的球面圓形區域，可根據衛星高度和仰角計算得到。

(2)

覆蓋帶是由衛星的覆蓋區域依次相連形成的條帶區域。文獻[12]中指出，星座連續覆蓋的必要條件是存在覆蓋帶，即任意衛星的覆蓋區域都必須與其它衛星的覆蓋區域存在交集。根據組成覆蓋帶衛星運行方向的不同，可以將覆蓋帶分為上行段和下行段。為保證連續覆蓋，相鄰覆蓋帶間不能存在覆蓋間隙，因此可以給出如圖1所示的覆蓋帶距離關系。

圖1 覆蓋帶的連續覆蓋條件Fig.1 Continuous coverage condition for streets of coverage

當覆蓋帶由相同軌道衛星的覆蓋區域組成時，為避免出現覆蓋間隙，若同軌相鄰衛星覆蓋重合區域半寬度為，則同向運行覆蓋帶間的最大球面距離為+，反向運行的覆蓋帶最大間距為2。更進一步，當要求重覆蓋時，同向覆蓋帶最大間距為+，反向覆蓋帶間最大間距為+。重合區域寬度與單軌衛星數量的關系滿足

(3)

由于相鄰軌道間距隨緯度增加而逐漸減小，同向覆蓋帶在赤道附近距離最遠。記星座期望覆蓋的緯度范圍為[,]，滿足0≤<≤π2，則當兩相鄰同向覆蓋帶在和緯度不存在覆蓋間隙時，在任意緯度∈[,]范圍內兩覆蓋帶間的區域就一定不存在覆蓋間隙。相鄰的反向覆蓋帶出現最大間距的緯度由兩軌道升交點經度差所決定，由于本文主要考慮同向覆蓋帶拼接，在此不進一步研究。

1.3 同軌覆蓋帶偶數重覆蓋星座設計

為使相鄰同向覆蓋帶在緯度不存在覆蓋間隙，需要使一側覆蓋帶最小寬度與另一側覆蓋帶最大寬度同時運行到緯度處。以左側覆蓋帶最寬位置與其右側覆蓋帶最窄位置拼接為例。當覆蓋帶最窄和最寬位置運行到目標緯度時，分別對應于左右兩側軌道的緯度幅角和分別為

(4)

此時在緯度帶上，兩側覆蓋帶軌跡與軌道星下點的經度差分別為

(5)

由此可以得到滿足連續覆蓋所需的軌道數量和衛星相位間隔條件

(6)

(7)

式中：Δ=-為相鄰軌道的升交點經度差；Δ=-+π為相鄰軌道面上衛星的緯度幅角差；int(·)和int(·)分別為向上取整和四舍五入取整函數。

將同軌覆蓋帶Walker星座的設計步驟總結如下：首先根據期望覆蓋的緯度范圍[,]和覆蓋半徑估算初始軌道傾角(例如=-2)，隨后根據式(3)枚舉單軌衛星數量，并計算不同對應的覆蓋帶寬度。再根據式(6)～(7)計算構型參數,和總衛星數量=。得到星座構型參數后，根據星座在緯度和處的覆蓋特性，對軌道傾角進行微調，使得星座在這兩個緯度均滿足連續覆蓋，就基于同軌覆蓋帶完成了偶數重覆蓋Walker星座的構型設計。最后可以通過比較不同對應的總衛星數量和覆蓋性能，優選出所需衛星數量較少的構型設計結果。

2 相平面理論基礎

盡管覆蓋帶與軌道重合的設計方法可以滿足一般Walker星座的設計需求，但仍存在進一步優化的可能。若令處于不同軌道面的衛星組成覆蓋帶，可以極大地拓寬構型設計空間，往往能取得更好的設計結果。然而不同軌道面上衛星的星間距離將不斷變化，這也會導致覆蓋帶寬度隨衛星運行發生變化，使得相鄰覆蓋帶之間的拼接關系難以計算。

考慮到同構星座中不同衛星軌道參數的差值近似恒定，因此基于軌道參數建立相平面能簡化星間距離和覆蓋區域幾何關系的分析。鑒于Walker星座衛星分布可以由升交點經度和緯度幅角確定，參考文獻[14]，定義本文中所采用相平面的橫軸為，縱軸為，并進一步給出衛星及其覆蓋區域空間分布在(,)相平面上的映射關系。

2.1 覆蓋區域的相平面映射

為計算覆蓋區域的相平面映射結果，首先給出(,)到經緯坐標(,)的轉換關系

(8)

式中：arctan(··)定義為值域在[-π,π)上的反正切函數，其取值由分子和分母的符號共同確定。

記衛星的星下點經緯度為(,)，任意地面目標經緯度為(,)。由球面幾何可知，衛星與目標所夾球心角滿足

cos=coscoscos(-)+sinsin

(9)

衛星的覆蓋區域即到星下點(,)的球面距離小于衛星覆蓋球面半徑的點集?？紤]到覆蓋區域隨衛星運行而不斷變化，在判定覆蓋時更關心星座對緯度的覆蓋情況。記可視相位范圍(,)為到(,)球面距離小于的相平面坐標集，將式(8)代入式(9)并令=可得

(10)

式中：()=arcsin(sinsin)為星下點緯度。

考慮到三角函數的多值性，式(10)所得結果被分為和兩部分,分別對應于可視相位范圍左右兩側邊界的計算結果。所得結果在(,)相平面內圍成了封閉區域，當衛星(,)相位位于所圍成區域內時，就可以覆蓋目標(,)。圖2以=60°，=36°時的可視相位范圍為例，展示了不同緯度對應可視相位范圍的形狀差異。由于同一星下點可能對應于軌道上行和下行段的不同衛星，因此可視相位范圍將分為關于(,)=(-π2,π2)中心對稱的兩部分區域。在分析同向覆蓋帶拼接時，可以僅考慮||≤π2范圍內覆蓋區域的拼接關系。

圖2 不同φT的可視相位范圍形狀類型Fig.2 Types of access area mapping with different φT

由前述分析可知，通過在相平面內拼接緯度=和=處的(,)形狀，就能判定相鄰同向覆蓋帶在[,]范圍內能否密鋪。因此可以將衛星實際覆蓋區域的拼接關系，轉化為相平面內可視相位范圍的拼接關系進行求解。

2.2 Walker星座覆蓋帶構型參數

基于軌道數和單軌衛星數=的構型參數只反映了衛星數量沿軌道面的分布，而與星座覆蓋性能無關。本節將改進傳統構型參數，提出一種描述星座的覆蓋特征的衛星分布表征方式。

對于同構星座中相位為(,)和(,)的兩顆衛星和，兩星球面距離可以表示為

(11)

(12)

式(12)可進一步整理為

(13)

圖3以構型(,,)=(36,12,6)，傾角=60°，覆蓋球心角=28.6°的Walker星座為例，給出了到每顆衛星最大球心距小于的相位鄰域。將這些區域依次相連形成覆蓋帶后，記覆蓋帶在(-π,π]區間內跨過縱軸和橫軸的次數分別為||和，的正負符號取決于覆蓋帶斜率，若覆蓋帶與縱軸平行則取=0。定義與的最大質因數為(若=0,則取=)。由此可以將衛星的相位分布表示為：

圖3 覆蓋帶構型特征參數示意圖Fig.3 SoC configuration characteristic parameters

(14)

式中：=1,2,…,，=1,2,…,,分別為覆蓋帶組數和每組覆蓋帶上衛星的編號；Δ=2π, Δ=2π,分別為同組覆蓋帶上相鄰衛星的升交點經度和緯度幅角差；Δ, Δ為同組覆蓋帶相鄰軌跡上兩顆衛星的相位差。

如圖3所示，當=1時，星座中所有衛星分布在唯一一組覆蓋帶上。這條覆蓋帶將在穿越(,)相平面橫軸次，縱軸次后回到該組起始衛星相位，并留下條橫軸間隔為2π的“軌跡”。定義間隔為2π的兩條軌跡為同組覆蓋帶的相鄰軌跡。假設覆蓋帶穿越相平面橫軸次后，所得軌跡左側相鄰于起始覆蓋帶，則滿足：

(15)

為描述≥2時衛星的分布情況，需要在基準衛星:(,)同組覆蓋帶的相鄰軌跡上，額外定義一顆參考衛星。記基準衛星右側相鄰軌跡上第一顆緯度幅角不小于的衛星為:(,)。

(16)

當≥2時，在每組覆蓋帶相鄰軌跡間還有-1條其他組覆蓋帶的軌跡。定義其余各組覆蓋帶起始衛星相位位于與之間時，對應構型參數=0。當>0時，其余-1組軌跡的起始衛星相位將均勻分布在(,)和(+·Δ,+·Δ)之間。因此可得Δ和Δ為

(17)

與傳統構型參數(,,)相同，在設定覆蓋帶構型參數(,,,)后，就可以表征Walker星座中所有衛星的相位分布。例如在圖3中覆蓋帶共穿越橫軸6次，穿越縱軸3次，覆蓋帶斜率為負，且各組覆蓋帶的起始衛星的相位都分布在相鄰同組覆蓋帶上、兩顆緯度幅角相同的衛星和之間。因此該構型同時對應于(,,,)=(36,6,-3,0)的覆蓋帶構型參數。需要注意由于(Δ,Δ)與(Δ,Δ)的選取并不唯一，同一個Walker星座可能對應于多組不同的覆蓋帶特征參數。盡管如此，Walker星座仍可以根據期望的覆蓋帶特性，采用覆蓋帶構型參數進行設計。

3 異軌覆蓋帶的相平面映射

與同軌衛星組成覆蓋帶時設計思路相同，異軌覆蓋帶的理想拼接情況仍是以覆蓋帶最寬處與其相鄰同向覆蓋帶最窄處相接，使得兩覆蓋帶的間距最大，從而減少衛星數量。根據文獻[17]，可以利用特定緯度地面目標的可視相位范圍，代替衛星覆蓋范圍相連形成覆蓋帶。當所得覆蓋帶能在相平面內無縫拼接時，就表示星座能實現對該緯度的連續覆蓋。(,)相平面上覆蓋帶的最大寬度,和最小寬度,，以及理想的拼接情況如圖4所示。

圖4 覆蓋帶寬度和理想拼接情況示意圖Fig.4 SoC width and ideal stitching condition on the phase plane

3.1 異軌覆蓋帶的最大寬度

記=為(,)相平面內覆蓋帶的斜率。則當目標緯度為時，覆蓋帶的最大寬度可以定義為(,)的軌道上行段映射相位(+,+)，到與(,)上行段可視相位范圍相切且斜率為切線的距離。(+,+)可以根據式(8)求得。

(18)

(19)

式中：sgn(·)為符號函數，并假設≤90°。

為避免=0時無法計算，取覆蓋帶斜率的倒數1=d/u計算覆蓋帶的最大寬度。式(10)對求導可得

(20)

在圖4中，可視相位范圍左右兩側分別存在斜率等于的切線。記左側切點為(,)，右側為(,)，和為滿足：

(21)

通過數值方法尋找滿足切點斜率為的和，再將所得結果代入式(10)求出切點的升交點經度和，就能計算出對應于緯度的覆蓋帶左右兩側的最大寬度和。

(22)

3.2 異軌覆蓋帶的最小寬度

(23)

當兩星覆蓋區域存在交集時，在星下點連線的左右兩側均存在一個交點。記兩側交點空間矢量為和，則有

(24)

(25)

式中：為到的球面距離，可由式(11)計算。

(26)

(27)

式中：

(28)

(29)

(30)

同理可得另一側交點經度，在得到交點經度和后，就能根據式(18)和式(19)求解交點對應的相平面映射坐標(,)和(,)。

(31)

如圖4所示，覆蓋帶的最小寬度和分別為兩星覆蓋區域交點(,)和(,)到相平面內兩星(,)與(,)所在覆蓋帶的直線距離，因此有

(32)

鑒于覆蓋重合區域的交點和寬度求解較為繁瑣，在枚舉構型時可以將覆蓋帶間距和最大寬度和相減計算出和的最小值，再利用數值方法計算最小寬度對應的帶上相鄰衛星相位差和衛星數量，進而提高構型枚舉效率。

4 軌道傾角優化

由圖2所示可視相位范圍類型可知，=π2目標的可視相位范圍位于=arcsin(cossin)和=π-arcsin(cossin)之間的條帶區域，為使條帶區域內的衛星數量恒大于期望覆蓋重數，需要求解Walker星座中緯度幅角=的衛星數量，以及星座中任意兩星緯度幅角的非零最小差值Δ，由構型參數(,,)計算可得

=gcd(,)

(33)

Δ=·2π

(34)

式中：gcd(·,·)表示和的最大公約數，則使可視相位范圍條帶內衛星數量大于的傾角滿足

(35)

當<π2時需要保證緯度帶上不同經度位置均達到期望的覆蓋重數，因此軌道傾角很難解析求解。文獻[13]和[15]中均基于二分法給出了傾角的優化步驟，但其覆蓋判據過于嚴苛，因此本文將根據覆蓋帶的拼接關系優化傾角的求解。

文獻[18]中給出了星座連續覆蓋的充分必要條件，若任意兩星覆蓋區域的交點落在時，該交點均至少被其它顆衛星所覆蓋，則星座連續重覆蓋緯度。由此判據可知，的可視相位范圍必須在特定情況下包含+2顆衛星，否則無法實現在緯度的重連續覆蓋。

考慮到<π2時可視相位范圍是圖2中的中心對稱單連通凸區域，而Walker星座也存在衛星(,)相位分布關于相平面內某點中心對稱的情況。當兩者對稱中心重合時，的可視相位范圍內必須包含+2顆衛星才能保證重覆蓋。不失一般性，選取(,)=(0,π2)作為可視相位范圍的對稱中心，對應于經度=π2的地面目標。由Walker星座構型規則性可知，將(,)設置為以下4種情況時，衛星相位分布將關于(0,π2)中心對稱:

(36)

以上4種情況分別對應于衛星相位、同軌相鄰衛星中點相位以及兩類相鄰軌道衛星中點相位與(,)重合的情況。由于Walker星座的相平面映射可以視為多個平行四邊形網格的密鋪，因此以上4種類型包括了所有衛星相位關于可視相位范圍中心中心對稱的情況。通過判定此情況下到對稱中心距離最遠的兩顆衛星覆蓋區域交點處的重合重數，就能判定出星座在緯度是否滿足重覆蓋。由此可以給出圖5所示基于二分搜索的Walker星座軌道傾角優化步驟。

圖5 φmax<π/2時的軌道傾角優化步驟Fig.5 Inclination optimization process when φmax<π/2

5 偶數重覆蓋Walker星座設計步驟

對于偶數重覆蓋Walker星座，只需保證同向相鄰覆蓋帶拼接后達到期望覆蓋重數的一半，即可滿足設計要求。由于最差覆蓋情況僅在期望覆蓋的最低緯度和最高緯度處出現。首先根據處的可視相位范圍計算同向覆蓋帶的拼接情況，再根據星座對處的覆蓋調整軌道傾角，就能獲得理想的星座構型。如圖6所示，將基于覆蓋帶法的偶數重連續覆蓋Walker星座的設計步驟總結如下。

圖6 偶數重覆蓋Walker星座設計步驟Fig.6 Procedure of even-fold coverage Walker constellation design

1)參數初始化

臨床生化檢驗屬于醫院重要工作內容,生化檢測結果的準確性對診斷和治療疾病產生直接影響[1]。血液樣本溶血是指血液樣本在臨床檢驗過程中由各種因素影響導致紅細胞被破壞,而細胞內物質進入血清,使得血清呈現出紅色,進而影響生化檢驗結果準確性的醫學現象。在當下臨床檢驗實踐過程中,若因血液標本溶血導致結果不準確而引發的醫療糾紛,醫院往往處于被動地位,并可能需要承擔全部責任,所以臨床上如何避免或預防血液溶血對生化檢測結果帶來的影響依然是臨床檢驗科室面對的焦點問題[1]。此外臨床對糾正溶血所產生影響的措施缺少關注。本研究對溶血對生化檢驗準確性影響進行分析并總結相關應對措施,現將相關內容總結如下:

首先根據單星覆蓋范圍和覆蓋需求，粗略估計軌道傾角，并確定覆蓋帶與相平面橫軸相交次數，即特征參數的取值范圍。由式(13)可知，相平面上到衛星的最大距離為的相位范圍可以等效為一個橢圓。因此同向覆蓋帶間的最寬距離不能大于橢圓的長軸，否則相鄰覆蓋帶間的覆蓋區域不可能存在交集。同時覆蓋帶間距也不宜太窄，因此令覆蓋帶的最小間距大于橢圓的半短軸，即令覆蓋帶只與相鄰同向覆蓋帶的覆蓋區域存在交集。在輸入單星覆蓋半徑，期望覆蓋重數以及期望覆蓋的緯度范圍[,]后，可以將初始軌道傾角和構型參數∈[,]的范圍選定如下

=-(2+1)

(37)

(38)

2)設定覆蓋帶長度和斜率(設定,,)

由于同向軌道間距隨緯度升高而逐漸減小，因此可以根據緯度目標的可視相位范圍映射形狀，確定覆蓋帶構型參數和的取值范圍。依次枚舉構型參數和，并根據式(22)計算出對應不同斜率的覆蓋帶左右兩側最大寬度和。當相鄰同向覆蓋帶間距小于+時，可以通過增加覆蓋帶上衛星使相鄰覆蓋帶實現密接; 反之則表明無論如何增加覆蓋帶上的衛星，相鄰覆蓋帶間均會存在覆蓋間隙。相鄰同向覆蓋帶間距需滿足：

(39)

3)計算覆蓋帶上的衛星數量(計算)

在確定構型特征參數和后，相平面上的覆蓋帶就被唯一確定，隨后需要計算使處達到重覆蓋的衛星數量。在圖4中，當的可視相位范圍在一側與一條覆蓋帶相切時，另一側區域與相鄰覆蓋帶兩個交點之間的相位差即為覆蓋帶上相鄰衛星的最大相位間隔。隨后根據這一相位差和覆蓋帶總長度計算出所需的最少衛星數量。最后，繼續增加衛星數量，直至覆蓋帶最窄位置被其相鄰覆蓋帶上至少2顆衛星覆蓋。

4)傾角優化及數據更新(優化)

以上步驟保證了星座對于[,]緯度區間的重連續覆蓋。由于最高星下點緯度等于軌道傾角，因此對于緯度高于軌道傾角的區域，星座覆蓋能力將隨緯度升高而迅速下降。根據星座對于緯度的覆蓋性能優化軌道傾角,并在優化后重新執行步驟(3)更新衛星數量，保證緯度處的覆蓋性能不受影響。保存每組構型及對應的衛星數量和軌道傾角，直至所有可行構型參數計算完成。

6 仿真校驗

為驗證覆蓋帶方法的可行性，本節將首先以文獻[4-5]中，由構型枚舉法得到的最優(相同衛星數量下單星覆蓋半徑最小)Walker星座的單星覆蓋半徑作為覆蓋帶法的設計輸入，設計并對比給定覆蓋范圍下的偶數重連續覆蓋Walker星座的構型結果。隨后結合低軌巨型通信星座系統實例，進一步驗證所提出方法在星座設計領域的應用價值。

6.1 偶數重覆蓋星座設計結果

圖7以全球二重覆蓋Walker星座構型設計為例，對比了地面仰角=5°約束下三種設計方法的耗時。同軌覆蓋帶星座由于約束了構型而不需要進行枚舉，因此基本能在10s內獲得構型設計結果。本文方法需要枚舉覆蓋帶構型參數，因此仿真耗時略有增加，但仍能在2～4 s內完成構型計算。

圖7 各構型設計方法耗時對比Fig.7 Time consuming of the three configuration design methods

參數枚舉法需要枚舉不同衛星數量下所有可能的軌道和衛星相位分布組合，因此方法耗時將隨衛星數量增加而顯著增加。在衛星數量規模約為200顆時，本文方法耗時僅為構型枚舉法的1%，且計算時間減少比例會隨單星覆蓋范圍的減小而進一步提高，因此更適用于巨型星座的構型設計問題。

記枚舉法給定衛星數量為，相同覆蓋范圍約束下采用本文方法和同軌覆蓋帶方法設計所得衛星數量結果分別為和，并分別定義和為枚舉法和同軌覆蓋帶法，與本文方法所得衛星數量誤差的百分比。

=100×(-1)

(40)

=100×(-1)

(41)

圖8和圖9分別給出了不同單星覆蓋范圍下，Walker星座實現全球二重和四重連續覆蓋所需的最少衛星數量。由圖可知本文方法所計算得到的星座構型，與枚舉所得最優構型結果的衛星數量誤差一般不超過10%。而對于傳統同軌道覆蓋帶星座，由于其衛星總數必須能被分解為軌道數及每軌衛星數量的乘積且需要合理分配軌道和衛星數量，因此達成覆蓋所需的衛星數量將增加約10%到20%。

圖8 全球二重覆蓋星座衛星數量Fig.8 Number of satellites for 2-fold global coverage

圖9 全球四重覆蓋星座衛星數量Fig.9 Number of satellites for 4-fold global coverage

在少部分情況下，覆蓋帶方法所得結果將優于枚舉出的給定衛星數量下最優構型。這是由于當衛星總數為質數時，只能采用每條軌道一顆衛星的構型。這種構型限制使得衛星數量增加反而可能造成星座覆蓋能力的下降。而采用覆蓋帶法設計不需要預設衛星數量，因此將直接取得衛星數量更少且衛星覆蓋范圍更小的構型結果。

圖10和圖11分別給出了中低緯度及中緯度條帶的構型設計結果。當覆蓋區域不包括赤道時，上下行覆蓋帶的覆蓋性能將相互耦合，因此兩者獨立滿足一半覆蓋重數需求的假設相對保守。但本文方法與最少衛星數量結果誤差仍不會超過10%。

圖10 南北緯65°二重覆蓋星座構型結果Fig.10 Number of satellites for 2-fold 65° S～65° N coverage

圖11 20°N～65°N二重覆蓋星座構型結果Fig.11 Number of satellites for 2-fold 20° N～65° N coverage

6.2 巨型星座系統構型設計實例

本節以亞馬遜公司提出的Kuiper互聯網星座系統為例，進一步驗證所提出方法在星座構型設計領域的應用價值。Kuiper系統規劃最低工作仰角設置為35°，由3層高度及傾角不同的Walker星座組成，旨在為全球95%人口所在的南北緯56°之間區域提供低時延的入網服務。經過分析，可以確定該系統采用的是以軌道作為覆蓋帶的雙重覆蓋星座構型，其構型參數及預期覆蓋范圍如表1所示。

表1 Kuiper星座系統構型及軌道參數Table 1 Configuration and orbit parameters of the Kuiper constellation

將各批次Kuiper星座系統的軌道和構型參數作為星座構型設計的輸入，計算單星覆蓋范圍與各批次條件相同時，達成覆蓋需求所需的衛星數量和星座構型。表2給出了基于所提出覆蓋帶方法的部分星座構型設計結果。

表2 參考Kuiper星座構型設計結果示例Table 2 Configuration results referring to the Kuiper constellation

圖12對比了相同單星覆蓋范圍約束下，所得構型與現有Kuiper系統構型的最低覆蓋重數在各緯度的分布。相比于現有構型，本文方法可以在最低覆蓋重數不變的情況下，將覆蓋所需的衛星數量減少約10%?？紤]到衛星數最少的構型結果可能需要過多的軌道數量，大大增加星座部署和構型維持難度。通過在覆蓋帶上增加少量衛星，或是選擇次優的構型可行解，均能在覆蓋特性基本不變的前提下，減少軌道數量并獲得可行的構型設計結果。

圖12 Kuiper與優化構型的最小覆蓋重數對比Fig.12 Minimum coverage folds of Kuiper and modified constellation configuration

值得一提的是，衛星數量和覆蓋性能并非是星座構型設計所需考慮的唯一因素。星座系統往往為了保證性能余量和抗毀能力，而采用衛星數量稍多，但魯棒性和綜合性能更強的構型。在星座構型設計時，可以首先采用本文方法計算滿足覆蓋需求的最少衛星數量，再沿覆蓋帶增加衛星，進一步提升星座的構型魯棒性和降階運行能力。

7 結 論

本文針對偶數重連續覆蓋Walker星座的構型設計問題，基于覆蓋帶方法改進了傳統星座構型的表征方式，分析了異軌覆蓋帶相平面映射的寬度特征，并提出了軌道傾角優化和構型設計方法。所提出方法適用于任意衛星數量規模和緯度覆蓋需求，能有效解決Walker星座的構型設計問題。仿真實例表明，該方法所得構型與傳統同軌覆蓋帶構型相比能減少約10%覆蓋所需的衛星數量，且與滿足覆蓋所需的最少衛星數量相近，并能通過調整覆蓋帶構型參數進一步優化構型包含的軌道數量。