非厄米系統中單粒子波包的動力學行為

姜雅金，姜潤澤，張禧征

（天津師范大學物理與材料科學學院，天津 300387）

近年來，隨著量子力學應用研究的迅速發展，人們已經能夠通過量子模擬手段，即利用人工可調控的量子系統，去模擬待研究的量子系統，探究當前實驗條件下難以觀測和解釋的物理現象.例如用光晶格與耦合腔陣列[1]等系統來模擬傳統凝聚態物理中的強關聯系統，最終在這些可控系統中達到制備、傳輸和控制量子態的目的.在制備、傳輸和控制量子態的過程中，人們已經完成了對厄米體系中粒子在化學勢作用下動力學行為的基本運算和分析.

當Bender[2]提出狄拉克厄米性并非實數能譜和幺正的時間演化的必要條件時，研究者們發現系統哈密頓量中的相互作用勢還可以由實數域延擴到復數域，且不改變其能譜的實數性.因此，非厄米系統引起了人們的廣泛關注.非厄米系統是用來描述萬物間相互聯系、相互作用的真實物理系統，將等效的非厄米哈密頓量引入后，能夠更加簡單直接地描述出外部環境對研究者所關心系統的影響，但非厄米系統中的單粒子波包在緊束縛模型上發生散射時存在共振穿透現象.所以，研究人員對“是否可以將這種共振穿透現象作為理論基礎，對非厄米系統中的緊束縛模型進行特殊的結構設計來實現單通性系統的制備”這一問題進行了深入思考.

本研究主要以無限長的單鏈為基礎，通過調控非對稱耦合腔內虛數勢[3]及腔內格點間不等幅跳躍，觀察并分析單粒子波包入射至非厄米散射中心后在特定參數下實現的信息單向輸運[4]，旨在為量子信息的輸運提供理論基礎.

1 方法

1.1 計算方法

量子力學以波函數公設、微觀粒子動力學公設和算符公設等幾個基本假設為起點.由于厄米算符的本征值為實數時即為可觀測量，因此，算符公設必須用厄米算符來表示量子力學中的力學量.描述真實物理系統時，由于厄米哈密頓量用于表示系統的能量，其本征值為實數，因此必須滿足厄米性.從物理角度分析，滿足厄米性的哈密頓量描述的是封閉的物理系統，但無論生活中還是研究中，完全封閉的物理系統趨于理想化.因此，本研究僅對非厄米系統中的一維緊束縛模型展開分析.此外，經電子源產生單電子脈沖，帶電粒子入射到一維緊束縛鏈上，將在每個格點能量最低的能帶上發生躍遷.根據緊束縛近似原理，總有單電子在近似情況下可通過能帶間的帶隙發生隧穿效應.同時，由于帶隙足夠大，處于低能級的帶電粒子很難躍遷至上一能級，因此可近似認為此過程中沒有能量損耗.本研究將在該理論基礎上對單粒子波包進行探究.

首先，假設一條長度為無窮大的一維緊束縛鏈，晶格均勻排列分布于該鏈上，在N=0的位置上存在虛數勢

對于非厄米系統，虛數勢是一種由于系統與外界環境耦合而產生的在位勢，一般用iγ來表示，同時格點間跳躍常數為-J，如圖1所示.

圖1 存在虛數勢的一維緊束縛鏈Fig.1 One-dimensional tight binding chain with imaginary potential

圖1為具有缺陷的一維緊束縛鏈，可采用Bethe Ansatz方法求解，得到系統的哈密頓量

設公式（2）中哈密頓量滿足本征值方程

公式（3）中：Ψ為哈密頓量H的本征態，滿足

由于勢的影響，位于N=0處的嘗試波函數可由相鄰格點間的公式給出.

將公式（4）代入公式（3）可得

令嘗試波函數

滿足公式（2）哈密頓量的非厄米系統中，相鄰格點間存在相互作用，且在虛數勢的影響下，得到波包由左向右入射后（規定向右為正方向），行進過程中遇到N=0處的非厄米散射中心時，會發生奇特的散射現象，因此將嘗試波函數fj代入公式（9）—（11），得到左入射時單粒子波包在虛數勢影響下的透射系數tL和反射系數rL分別為

則透射幾率T和反射幾率R可以表示為

最后，在公式（2）哈密頓量的作用下，單粒子波包的能級光譜可以表示為

1.2 圖像分析

由公式（12）和公式（13）可知，反射系數與透射系數只依賴于波矢k、跳躍常數J與虛數勢實部γ，與系統的長度N以及勢所處的位置Nc無關.為了能夠觀察單粒子波包的反射幾率和透射幾率受γ影響的變化規律，作數值解，如圖2所示，其中波矢k=π/2，跳躍常數J=1.由圖2可知，對于滿足公式（2）中哈密頓量的非厄米系統而言，系統中的散射中心帶給波包的影響非常顯著.傳播過程中，單粒子波包遇到虛數勢時會發生一定幾率的透射和反射，并且隨著γ的增大，反射幾率R與透射幾率T也增大，遞增程度如圖2所示.這說明滿足公式（1）的非厄米散射中心帶給系統的影響可以類比于從外界接入一個通道并注入能量，使散射中心處粒子的透射行為和反射行為增強（γ＞0），本研究將這樣的系統認為是增益的.

圖2 γ＞0時反射幾率和透射幾率受γ影響的變化規律Fig.2 Changing law of reflection probability and transmission probability affected by imaginary potential γ when γ＞0

取系統長度N=100，虛數勢位于系統中央，即Nc=50處，利用數值法模擬寬度ω=1/3的單粒子波包在空間內的演化規律，結果如圖3所示.從圖3可以看出，初始位置N0=10處的單粒子波包在Nc處受虛數勢的影響分裂為反射波與透射波，其中，波矢k=π/2，跳躍常數J=1，γ=0.8.

圖3 單粒子波包的演化示意圖（Nc=50，N0=10）Fig.3 Evolutionary schematic of the single-particle wave packet（Nc=50，N0=10）

此外，單粒子波包之所以能夠不散傳播，主要是因為運動的高斯波包[5]在任意大小的φ值條件下，都能夠保形并且勻速地進行傳輸，其中φ決定了群速的大小即波包演化速率正比于sin φ.然而φ值大小不同的高斯波包對波包的半寬也有不同的要求.從高效、局域傳輸的角度考慮，取φ=π/2最為理想[6].

同理，利用Bethe Ansatz方法精確求解哈密頓量本征值及粒子的散射，可以得到單粒子波包在γ＜0時的透射系數tL和反射系數rL

由此可得反射幾率R和透射幾率T受γ影響的變化規律，結果如圖4所示，其中，波矢k=π/2，跳躍常數J=1.

圖4 γ＜0時反射幾率和透射幾率受γ影響的變化規律Fig.4 Changing law of reflection probability and transmission probability affected by imaginary potential γ when γ＜0

滿足公式（1）的非厄米散射中心帶給系統的影響可以類比于系統向外界搭建一個通道輸出能量，即向外界耗散掉一部分系統能量[7]，使得散射中心處粒子的透射行為和反射行為被削弱（γ＜0）.然而由圖4可以看出，隨著γ的遞增，雖然透射幾率呈衰減狀態，但反射幾率卻不減反增，這是因為波包在傳輸過程中產生了干涉效應[8]，導致系統的反射幾率由于干涉相長而呈微弱的遞增現象，但整個系統還是可以看成是一個耗散系統.

綜上所述，量子散射過程是測量儀器與被測系統形成理想糾纏的過程[9]，被測系統所處的狀態直接影響緊束縛模型中電子空間波函數的反射和透射.當系統中接入一個γ＞0的通道使其轉化為增益系統時[10]，其反射幾率R和透射幾率T均隨γ的增大而增大，散射行為增強，可將其視為一個“源”[11]；同理，當接入一個γ＜0的通道使其轉化為耗散系統時，散射行為被削弱，可將其視為一個“漏”[12].然而，當離散量子系統中同時引入兩個正負相反的虛數勢，且格點之間被調制為不等幅跳躍結構時，單粒子波包就產生了奇特的散射現象.

2 單通性系統

2.1 非對稱耦合散射中心

在研究單通性系統的構建前，首先要對散射中心內引入虛數勢和不等幅跳躍的一維緊束縛鏈進行討論.假設一條長度為無窮大的單鏈，晶格均勻排列分布于鏈上，N=0和N=1位置上的虛數勢分別為iγ和-iγ（γ＞0），且雙虛數勢所在的格點間存在不等幅跳躍-α和-β，由此可視為將孤立的緊束縛系統引入了含有虛數勢的非對稱耦合散射中心，如圖5所示.

圖5 存在虛數勢和不等幅跳躍的一維緊束縛鏈Fig.5 One-dimensional tight binding chain with imaginary potential and unequal amplitude jumping

圖5中，系統的哈密頓量為

由于雙虛數勢的引入以及非對稱耦合結構對系統的影響，同樣利用Bethe Ansatz方法可以在非對稱耦合散射中心處得到與公式（9）—（11）略有差別的下列公式

在滿足公式（19）哈密頓量的非厄米系統中，單粒子波包由左向右入射后（規定向右為正方向），遇到含有雙虛數勢的非對稱耦合散射中心時，波包會發生散射，將嘗試波函數fj代入公式（20）—（23），最終可以得到透射系數tL和反射系數rL

經計算可知，反射系數與透射系數不僅依賴于波矢k、跳躍常數J與虛數勢實部γ三者間的比值，還與系統中非對稱耦合散射中心處不等幅跳躍α和β的大小密切相關.圖6為反射幾率R與透射幾率T受參數α、β和γ影響后的變化規律.

由圖6（a）可知，隨著虛數勢中γ的增大，系統的透射幾率T逐漸增大，反射幾率R逐漸減小，透射行為更加明顯.說明單粒子波包從左向右入射至緊束縛鏈上，由于不等幅跳躍α=2和β=3，即α＜β，粒子透射的能力強于反射能力，所以表現為透射幾率隨著勢的增大而增大，反射幾率隨之減小.因此，在雙虛數勢±iγ作用下，系統中粒子的透射現象更明顯.

由圖6（b）可知，隨著不等幅跳躍α的增大，系統的透射幾率T逐漸減小，反射幾率R逐漸增大.對于從左入射的單粒子波包而言，系統中不等幅跳躍α表示著波包經過散射中心后反射回到原路徑的困難程度，α的數值越大，單粒子波包反射的能力越強，粒子的反射現象更為明顯.

圖6 單粒子波包由左入射時，反射幾率和透射幾率在不同參數作用下的變化規律Fig.6 Changing law of reflection probability and transmission probability under the action of different parameters when the single-partical wave packet incident from left

對于從左入射的單粒子波包而言，系統中不等幅跳躍β表示波包經過散射中心后按原路徑透射的困難程度，β的數值越大，單粒子波包透射的能力越強，透射幾率越大，反射幾率越小.然而由圖6（c）可以看出，隨著不等幅跳躍β的增大，透射幾率逐漸增大，反射幾率非但沒有隨之減小，反呈遞增的狀態，這是由于干涉效應，即相位的干涉相長導致了反射振幅的異常變化，表現為反射行為和透射行為均增強.

取系統長度N=100，且假設虛數勢位于系統中Nc=50和Nc=51處，利用數值方法模擬寬度為ω=1/2的單粒子高斯波包在空間內的演化規律，其中，波矢k=π/2，γ=0.2，跳躍常數J=1，不等幅跳躍分別為α=2和β=3，結果如圖7所示.

圖7 單粒子波包的演化示意圖（Nc=50、51，N0=10）Fig.7 Evolutionary schematic of the single-particle wave packet（Nc=50、51，N0=10）

由圖7可知，隨著時間推移，波包從格點為N0=10的初始位置開始行進，行進過程中在Nc=50和Nc=51處遇到散射中心±iγ.此后，波包分裂為反射波和透射波，一部分按原定方向繼續前進，另一部分按與入射方向相反的路徑返回.

當單粒子波包從鏈端的反方向入射，即由右向左入射時，利用Bethe Ansatz方法繼續精確求解公式（19）哈密頓量的本征值及粒子散射.

首先，設嘗試波函數為

將嘗試波函數fj分別代入公式（20）—（23），最終得到單粒子波包右入射時在該非對稱耦合散射中心影響下的透射系數tR和反射系數rR

其反射幾率R和透射幾率T受不同參數α、β和γ影響的變化規律如圖8所示.

由圖8（a）可知，隨著虛數勢中γ的增大，系統的透射幾率T和反射幾率R均逐漸增大，且反射行為更明顯.說明單粒子波包從右向左入射至緊束縛鏈上，由于不等幅跳躍α=2和β=3，即α＜β，粒子的反射能力強于透射能力，表現為反射幾率處處大于透射幾率.因此，在雙虛數勢±iγ作用下的系統中，粒子反射現象更為明顯.

由圖8（b）可知，隨著不等幅跳躍α的增大，系統的透射幾率T和反射幾率R均逐漸增大，且透射行為更明顯.對于右入射的單粒子波包，系統中不等幅跳躍α表示波包經過散射中心后按原路徑透射的困難程度，α的數值越大，單粒子波包透射的能力越強，透射幾率越大.然而圖8（b）中粒子的反射幾率非但沒有減小，反而越來越大，這是由于干涉效應，即相位的干涉相長導致了反射振幅的異常變化，表現為反射和透射行為均增強.

圖8 單粒子波包由右入射時，反射幾率和透射幾率在不同參數作用下的變化規律Fig.8 Changing law of reflection probability and transmission probability under the action of different parameters when the single-partical wave packet incident from right

由圖8（c）可知，隨著不等幅跳躍β的增大，透射幾率T減小，反射幾率R增大，反射行為更明顯.說明對于從右向左入射的單粒子波包，系統中不等幅跳躍β表示波包經過散射中心后反射回到原路徑的困難程度，β的數值越大，單粒子波包反射的能力越強，反射幾率越大.

取系統長度N=100，假設虛數勢位于系統中Nc=50和Nc=51處，利用數值方法模擬寬度為ω=1/2的單粒子波包在空間內的演化規律，其中波矢k=π/2一定，γ=0.2，跳躍常數J=1，不等幅跳躍分別為α=2和β=3，如圖9所示.

圖9 單粒子波包的演化示意圖（Nc=50、51，N0=90）Fig.9 Evolutionary schematic of the single-particle wave packet（Nc=50、51，N0=90）

圖9展示了波包隨著時間的演化過程，從格點為N0=90的初始位置開始行進，行進過程中在Nc=50和Nc=51處遇到了散射中心±iγ.此后，波包分裂為反射波和透射波，一部分按原定方向繼續前進，另一部分按與入射方向相反的路徑返回.值得注意的是，對于一個相反方向入射的單粒子波包，其隨時間演化的行進軌跡應該與原定入射方向的波包行進軌跡基本完全相反.

結合上述兩個相反方向入射的粒子波包在該系統下的散射行為，提出假設：對于一個反向入射粒子波包散射行為幾乎與原入射方向完全相反的系統，存在一種情況使其某一方向的反射幾率與相反方向的透射幾率均等于0，即rL=tR=0，rR=tL=0.兩組關系式中任意一種能夠得以驗證，均可為實驗中制備具有單向輸運性即單通性的量子開關元件[13]提供理論基礎.為驗證這種類似二極管性質的系統是否成立，理論上可以通過調制系統參數加以計算.

2.2 單通性系統的構建

為了找到某一臨界點使系統具備單向輸運性，將分兩種情況進行討論：

（1）考慮滿足公式（19）哈密頓量的非厄米系統.單粒子波包由任意方向入射至一維無限長的緊束縛鏈上，令系統內α=0，β≠0，rL=tR=0，可得虛數勢γ與波矢k的關系為γ=ieik.接下來令波矢k=π/6，根據關系式γ=ieik得到利用數值模擬求得單粒子波包在特定參數下的演化規律，規定系統長度為N=200，跳躍常數J=1，波包寬度ω=1/20，單粒子波包雙向入射時的初始位置分別為N0=10和N0=190，演化結果如圖10所示.

圖10 單粒子波包在特定參數下演化的平面示意圖（ω=1/20）Fig.10 Plane schematic diagram of the evolution of a singleparticle wave packet under specific parameters（ω=1/20）

（2）繼續觀察滿足公式（19）哈密頓量的非厄米系統.與第一種情況不同的是，單粒子波包由任意方向入射至一維無限長的緊束縛鏈上，此時令α≠0，β=0，rR=tL=0，可得γ與波矢k的關系為γ=ieik.接下來令波矢k=π/3，根據關系式γ=-ieik得到γ=-i/2+利用數值模擬求得高斯波包在特定參數下的演化規律，規定調整波包寬度為ω=1/5，其余條件不變，演化結果如圖11所示.

對比圖10和圖11可知，兩種不同情況下分別設置不等幅跳躍中的某一參數為0，均可以很好地找到滿足單向輸運性的參數值及關系式.此外，由于非對稱耦合散射中心的誘導，單粒子波包發生共振穿透等行為說明了其單向輸運性特點的存在.解析與數值模擬的吻合驗證了前文提出關于單通性系統存在的假設，說明理論上確實存在這樣兩個臨界點，它們可以有效保證單粒子波包的單向輸運性，實驗中可以通過調節參數的大小來實現這種裝置的制備.

圖11 單粒子波包在特定參數下演化的平面示意圖（ω=1/5）Fig.11 Plane schematic diagram of the evolution of a singleparticle wave packet under specific parameters（ω=1/5）

對比現有成熟的理論基礎，研究人員已經完成了對厄米體系中粒子在化學勢作用下動力學行為的基本運算和分析，且可以通過操縱光晶格等系統來完成對量子態的調制.但在非厄米體系中，僅僅研究在位勢影響下非厄米哈密頓量作用在一維緊束縛鏈上所得波包的動力學行為還遠遠不夠.

3 結論

本文主要研究了在非對稱耦合散射中心作用下，單粒子波包在一維緊束縛鏈上的動力學行為，得到以下結論：

（1）對于給定的左向散射增益系統（代表外界一直在輸入，如+iγ視為一個增益，-iγ視為一個耗散），可以通過滿足公式（2）哈密頓量來計算模擬并觀察該系統內單粒子波包的動力學行為.

（2）利用解析及數值模擬的方法，得到一維緊束縛鏈模型上單粒子波包在非對稱耦合散射中心的作用下隨時間演化的規律.由模擬結果可知，在虛數勢和不等幅跳躍的雙作用下，可以找到符合條件的臨界參數來制備具有單向輸運性即單通性的半導體.

（3）非厄米系統中非對稱耦合結構的散射中心可以誘導波包發生共振穿透等行為，使得信息的單向性輸運在系統中成為可能，這在量子通信[14]領域有很好的應用價值，如制備具有單通性的半導體裝置.

單粒子波包作為量子通信中的信號單元，在傳播過程中受到非對稱耦合散射中心的影響會發生不同的動力學行為變化，利用人工調制系統參數操縱粒子傳播的不同效果可以為人們研究量子固體器件提供理論基礎，并為今后信號傳輸的多樣性研究提供便利.