一維超導傳輸線腔晶格中的拓撲相變和拓撲量子態的調制*

王偉 王一平

(西北農林科技大學理學院,楊凌 712100)

提出一種基于超導傳輸線腔的一維晶格理論方案,其中包含兩種超導微波腔系統.通過調控磁通量子比特來操縱臨近和次臨近晶胞之間的相互作用,使其獲得集體動力學演化規律,來研究其中的拓撲特性.首先,分析了奇偶晶格數目的能譜和邊緣狀態,發現奇偶晶格數將會影響系統的拓撲特性,并且邊緣狀態分布發生翻轉過程.其次,在次臨近的相互作用下,發現其相互作用存在相互制約現象,通過調控其相互作用,可以實現系統拓撲相變和拓撲量子態的傳遞過程.最后,研究了缺陷對拓撲特性的影響,發現缺陷勢能較小時,系統能帶變化周期穩定,邊緣態保持不變,能譜產生微小波動,并且可以區分;缺陷勢能較大時,能帶分布被破壞,將會變得無序和混亂.根據本文的研究結果,可以設計一些新型量子器件,應用在量子光學和量子信息處理中.

1 引言

拓撲絕緣體自發現以來就受到廣泛的關注,并且成為凝聚態物理中最有研究價值的領域之一[1—7].拓撲絕緣體是一種新的物質形式,在其內部表現為絕緣體,而在邊界處展現金屬性.與傳統絕緣體相比,在拓撲絕緣體的邊界或表面,存在零能隙的邊緣態模式[8—11].然而,隨著拓撲索引或非局部參數的變化,可以發生拓撲相變現象,使其進入另一個相.特別地,由于邊緣態受到能隙保護,使其對于局部的無序和微擾是具有魯棒性[12—15].因此,基于拓撲絕緣體的這些優勢特性,可以設計一些新型拓撲器件,應用于量子信息處理和量子計算領域中.

近年來,隨著微納米技術的快速發展,固態超導量子電路系統成為最有可能的實用化量子平臺之一[16—20].目前,超導電路系統在不同領域展現出獨特的優勢,并且取得優異的成績,如量子光學、量子信息處理和量子模擬等領域.尤其是,由超導傳輸線微波腔和超導量子比特構建的一維或二維晶格系統,為拓撲絕緣體研究提供了一種新的實驗平臺和研究路徑,可以更好地利用系統的可控耦合參數和連通性,進一步建立可擴展性的量子網絡框架[21—24].在拓撲結構中,Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型是其中最簡單的一維結構之一,可以利用超導量子電路系統,比如量子比特(磁通比特、相位比特、電荷比特、冷原子和金剛石色心)、超導微波腔(傳輸線LC 電路腔、共面波導管腔和二維腔)、納米機械振子等[25—31],以研究內容和研究目標構建該模型,展示豐富的拓撲物理現象,如拓撲相變和邊緣狀態、拓撲不變量、非厄米體邊界等.Koch 等[32]利用超導微波腔構建晶格系統,從而實現拓撲Chern 絕緣體;Mei 等[33]利用電路QED 搭建一維的晶格系統,實現了拓撲Chern絕緣體,并且對拓撲邊緣模和不變量進行探測;Gu 等[34]通過構建Janeys-Cummings 晶格系統,研究了自旋軌道耦合和拓撲極化子;Huang 等[35]利用超導量子電路晶格系統,演示了非厄米系統中的拓撲相變;Tan 等[36]基于電路QED 晶格系統,在實驗上實現了具有宇稱-時間反演對稱性的拓撲半金屬能帶結構;此外,Cao 等[37]提出了一種二維超導量子電路晶格方案,研究了系統能帶結構和異常環結構特點;Cai 等[38]利用超導量子電路系統構建可調的一維晶格系統,研究系統中的磁子絕緣態.受上述研究的啟迪,本文利用超導量子電路系統,根據當前實驗可行性參數,來構建基于超導量子電路的一維拓撲系統,研究、模擬和調控其中的拓撲特性.

本文提出了一種基于超導電路系統的一維晶格方案,由兩種超導傳輸線微波腔組成,通過調控系統中臨近晶胞和次臨近晶胞之間的相互作用,分析系統的能譜和邊緣狀態的變化,研究其中的拓撲特性.首先,分析了奇偶晶格尺寸的能譜和邊緣狀態,發現奇偶晶格數將會影響系統的拓撲特性,并且可以顯示邊緣狀態分布翻轉過程.其次,考慮次臨近的相互作用,發現次臨近相互作用的大小,將會影響系統邊緣態的分布,同時也發現次臨近相互作用存在制約現象,可以通過調控它們的大小,對系統拓撲邊緣態分布進行調節.最后,考慮系統缺陷對拓撲特性的影響,發現缺陷勢能較小時,邊緣態保持不變,只是能譜有微小波動;相反,缺陷勢能較大時,能帶分布被破壞,將會變得無序和混亂.這些研究,可以應用于量子信息處理和量子計算,將會影響未來量子信息技術的發展藍圖.

2 模型和哈密頓量

考慮的一維電路晶格系統如圖1 所示,由an和bn兩種超導傳輸線微波腔組成,該系統的哈密頓量可以表示為

圖1 一維超導微波腔晶格系統模型圖 (a) 該系統由an和 bn 兩種超導微波腔組成,其中 an 和 bn的耦合系數為J1,bn和 an+1的耦合系數為J2,an 和 an+1的耦合系數為T1,bn和 bn+1的耦合系數為T2 ;(b) 晶格等價的電路圖,其中Ln和 Cn 是超導微波腔總的電感和電容,他們之間的耦合通過磁通超導量子比特調節Fig.1.One-dimensional superconducting microwave cavity lattice system model diagram: (a) The system consists of two superconducting microwave cavities an and bn,where anand bn coupling coefficient is J1,bn and an+1 coupling coefficient is J2,an and an+1 coupling coefficient is T1,bn and bn+1 coupling coefficient is T2 ;(b) equivalent circuit diagram,where Ln and Cn are the total inductance and capacitance of the superconducting microwave cavity,and the coupling coefficients can be regulated by the magnetic flux superconducting qubit.

其中J1為an和bn的耦合系數,J2為bn和an+1的耦合系數,T1為an和an+1的耦合系數,T2為bn和bn+1的耦合系數,它們的耦合強度可以通過磁通超導量子比特來調控.在目前的實驗中,通過外部磁通的調制,J1,J2,T1和T2可以達到1—100 MHz范圍內.因此,該系統的參數在實驗上可以達到,并且可以周期性調制,那么系統的參數可以表示為周期性形式:

其中,選取φ ∈(0,2π) 變化,T=1 被設置為能量單位.把上述周期參數代入哈密頓量(1)式,可以得到

接下來,主要研究該系統的拓撲特征,系統中的拓撲相變會伴隨能帶的閉合和打開,即能帶間隙的變化,因此,在周期參數調制下,分析系統的能譜隨參數φ的變化,進一步研究系統的拓撲性質.

3 結果與討論

3.1 奇偶格點數的拓撲特性

眾所周知,拓撲性質與系統的結構特征有著緊密的聯系,對于不同的結構將會呈現不同的拓撲相變和邊緣態,也就是說,可以構建不同的結構,來實現一些新型功能的拓撲量子器件.因此,下面分析奇偶晶格數的拓撲特征.這里選取T1和T2為零,不考慮次臨近的耦合強度,只考慮臨近的耦合,那么系統的哈密頓量可以描述為

系統的能級譜E與參數φ的物理圖像如圖2 所示,其中選取偶數和奇數晶格數.在圖2(a)中,選取N=17 個晶格,發現能級譜只存在一條零模能級,不存在能級的簡并;如圖2(b)所示,當晶格數為偶數(N=18)時,在φ ∈(0,π/2)和φ ∈(3π/2,2π) 區域能級譜將顯示兩條簡并能級,在φ ∈(π/2,3π/2)區域簡并能級消失.

圖2 繪制系統能譜E 與參數φ的物理圖像 (a) N=17時能譜圖;(b) N=18 時能譜圖,參數φ 取值范圍為(0,2π)Fig.2.The energy spectrum E of the system via the parameter φ: (a) N =17;(b) N=18.The range of parameter φ is (0,2π).

為了進一步分析系統能譜E與參數φ的關系,選取不同的相位φ點繪制系統能譜E與晶格數的物理圖像.如圖3(a)—(d)所示,在晶格數N=17的情況下,發現系統能譜的零模能級與上下能級的間隙大小可以通過參數φ進行調制.在圖3(e)—(h)中選取晶格數N=18,發現系統能譜的變化與圖3(a)和圖3(d)完全不一樣,通過調節參數φ可以使簡并能級消失,從而獲得最大能帶間隙.

圖3 繪制系統能譜E 與奇偶晶格數的物理圖像: (a)—(d) N=17,φ 分別選取0,π/3 ,2π/3 和π;(e)—(h) N=18,φ 分別選取0,π/4,π/2 和πFig.3.The energy spectrum E of the system via the odd and even lattice numbers: (a)—(d) N=17,φ=0,π/3 ,2π/3 and π;(e)—(h) N=18,φ=0 ,π/4 ,π/2 and π.

綜上所述,可以發現能帶分布與格點數的奇偶有關,并且通過調制系統的參數φ可以操縱系統的拓撲性質.這種物理現象產生的機制可以理解為,不同數目的晶格會影響系統的邊界條件,從而導致不同的拓撲性質.

此外,可以通過分析零模能級態的分布,研究系統的拓撲性質.如圖4 所示,取不同的相位點φ繪制零模能級態的分布與晶格數的物理圖像.在圖4(a)到圖4(d)中晶格數N=17,分別取不同的相位點φ(0,π/3 ,2π/3 和π),可以發現在圖4(a)和4(b)中態的分布局域在最左邊處,在圖4(c)和圖4(d)中態的分布局域在最右邊,這可以直觀地說明態的分布發生了一個翻轉過程.另外,在圖4(e)—(l)中晶格數N=18,分別取不同的相位點(0,π/3,π/2 和 1.99π),同樣也可以看到態分布的翻轉過程.需要注意的是φ=1.99π 時存在左邊緣態,而當φ=2π 時態分布恢復到φ=0的右邊緣態,這代表態分布對相位是敏感的,可以通過調節系統參數,改變系統的拓撲相,實現量子態由一側到另一側的傳遞.

圖4 繪制系統零模能級態的分布與奇偶晶格數的物理圖像: (a)—(d) N=17,φ 分別選取0,π/3,2π/3 和π;(e)—(h) N=18,φ 分別選取0,π/3 ,π/2 和 1.99π ;(i)—(l) N =18,φ 分別選取0,π/3 ,π/2 和1.99πFig.4.The state distribution of the zero-mode energy and the odd-even lattice number: (a)—(d) N=17,φ=0 ,π/3,2π/3 and π;(e)—(h) N=18,φ=0 ,π/3 ,π/2 and 1.99π .(i)—(l) N=18,φ=0 ,π/3 ,π/2 and 1.99π .

3.2 次臨近耦合的影響

在一維超導微波腔晶格結構系統中,次臨近相互作用T1和T2會影響系統的拓撲特性.接下來考慮次臨近相互作用對該系統拓撲性質的影響.通過控制參數T1和T2的大小,分析系統的能帶變化,研究系統拓撲相的特征.當晶格點數為奇數,如圖5(a)所示,可以發現只增大T1時,系統能譜會有新的邊緣態產生,導致零模能與下能級閉合,并且下方能帶部分出現翻轉過程;在圖5(b)中,只增大T2時,系統的零模能不變,但它更接近上能級,同時下方能帶也部分出現翻轉過程.圖5(c)不同于圖5(a),當增加T2時,系統的零模能與下能級逐漸閉合可以消失.另外,如圖6(a)和圖6(b)所示,當格點數為偶數時,只增加T1或者T2,可以發現系統的間并區間由(0,π/2)和(3π/2,2π)有所減小,并且下能級有一致的翻轉過程.然而,如圖6(c)所示,同時增加T1和T2,簡并區域發生微小變化,并且翻轉區域值大小也發生波動,這不同于圖6(a)和圖6(b).也就是說,同時增加T1和T2,兩者之間產生相互制約現象,使系統能級譜的簡并區域和翻轉區域發現波動現象.

圖5 繪制系統能譜E 與參數φ的物理圖像,選取晶格數N=17 (a) T1=0.4 ,T2=0 ;(b) T1=0,T2=0.4 ;(c) T1=0.4,T2=0.3Fig.5.The energy spectrum E of the system via the parameter φ, N=17: (a) T1=0.4 ,T2=0 ;(b) T1=0 ,T2=0.4 ;(c) T1=0.4 ,T2=0.3 .

圖6 繪制系統能譜E 與參數φ的物理圖像,選取晶格數N=18 (a) T1=0.2,T2=0;(b) T1=0,T2=0.2;(c) T1=0.2,T2=0.2 Fig.6.The energy spectrum E of the system via the parameter φ,N=18: (a) T1=0.2 ,T2=0 ;(b) T1=0 ,T2=0.2 ;(c) T1=0.2 ,T2=0.2 .

圖7 給出了態的分布與參數φ和晶格數的物理圖像,選取了不同的T1和T2的值,進一步說明系統拓撲性質的特征.從圖7(a)可以發現,在φ ∈(0,π/2)和φ ∈(3π/2,2π) 區域,系統的態分布局域在第1 個晶格處;在φ ∈(π/2,3π/2) 區域,態分布在第17 個晶格處.因此,可以通過操控相位φ,使態在第1 個和第17 個晶格點間傳遞.此外,圖7(b)和圖7(a)相比,只增加T1的值,發現系統在第2 個和第16 個晶格之間的態分布明顯增加.然而,在圖7(c)中只增加T2的值,發現態分布和圖7(a)一樣,可以說明單獨改變T2不影響態的分布.在T2=0.3的基礎上增加T1的值,如圖7(d)所示,可以發現中間部分格點態分布更加波動.

圖7 繪制態的分布與參數φ 和晶格數的物理圖像,選取晶格數N=17 (a) T1=0 ,T2=0 ;(b) T1=0.6 ,T2=0 ;(c)T1=0 ,T2=0.3 ;(d) T1=0.6 ,T2=0.3Fig.7.The state distribution via the lattice numbers and the parameter φ,N=17: (a) T1=0 ,T2=0 ;(b) T1=0.6 ,T2=0 ;(c) T1=0 ,T2=0.3 ;(d) T1=0.6 ,T2=0.3 .

此外,圖8 選取偶數晶格數,繪制態的分布與參數φ和晶格數的物理圖像.在圖8(a)中,取T1=0.1和T2=0.1 時,在φ ∈(0,π/2)和φ ∈(3π/2,2π) 區域,可以發現態分布局域在第1 個和第18 個晶格.然而,選取T1=0.01 和T2=0 時,如圖8(b)所示,在φ ∈(0,π/2)和φ ∈(3π/2,2π) 區域,可以發現態分布局域在第1 個晶格處,當T1足夠大時,非平凡態會從第1 晶格變化到第2 晶格.當選取T1=0 和T2=0.01時,如圖8(c)所示,在φ ∈(0,π/2) 和φ ∈(3π/2,2π)區域,可以發現態分布局域在第18 個晶格處,繼續增加T2,非平凡態會從第18 晶格變化到第17 晶格.這說明單獨微小增加T1和T2都會使邊緣態只存在一側,而調節T1=T2=t,當t≤0.31時,T1和T2對態分布作用相互抵消,不產生影響,態分布仍如圖8(a)所示;0.31 ≤t≤0.6時,隨t增加會增加第2 個和第17 個晶格的態分布,t ＞0.6 時,系統的態分布被逐漸破壞,變得雜亂無序;而T1和T2不相等時,如圖8(d)所示,會表現出兩者中值更大項的作用影響.因此,可以通過操控相位φ,T1和T2,使態在第1 個和第18 個晶格點傳遞.

圖8 繪制態的分布與參數φ 和晶格數的物理圖像,選取晶格數N=18 (a) T1=0.1 ,T2=0.1 ;(b) T1=0.01 ,T2=0 ;(c)T1=0 ,T2=0.01 ;(d) T1=0.2 ,T2=0.19Fig.8.The state distribution via the lattice numbers and the parameter φ,N=18: (a) T1=0.1,T2=0.1 ;(b) T1=0.01,T2=0;(c) T1=0 ,T2=0.01 ;(d) T1=0.2,T2=0.19 .

3.3 缺陷的影響

目前,在實驗上,該系統的制備過程中會產生不可避免的固有缺陷,而這會影響系統的拓撲特性.因此,我們在該系統的晶格中加入位缺陷勢能δW,來分析缺陷對拓撲性質的影響.如圖9(a)所示,在第9 個和第10 個晶格分別加入缺陷勢能δW=?0.1,δW=0.1,發現在φ ∈(0,π/2) 和φ ∈(3π/2,2π)區域,系統能譜的零模能不再簡并,同時下移和上移,并且誘導新的拓撲相.然而,如圖9(b)所示,在第9 個和第10 個晶格分別加入缺陷勢能δW=0.1,δW=?0.1,系統能譜的零模能簡并消失,同時上移和下移,在φ=π/2 和 3π/2 產生交叉點,展現新的拓撲相.另外,如圖9(c)所示,當每個格點都引入相同的位缺陷時,不會產生新的拓撲相,只會影響能帶的大小,表現為隨著 δW的變化能譜整體上移或下移.

圖9 繪制能譜E 與參數φ的物理圖像,選取晶格數N=18 (a) 在第9 個和第10 個晶格分別加入缺陷勢能 δW=?0.1,δW=0.1;(b) 在第9 個和第10 個晶格分別加入缺陷勢能 δW=0.1,δW=?0.1 ;(c) 每個晶格引入缺陷勢能 δW=0.5 ;(d) 每個晶格引入隨機位缺陷勢能δW=—0.1—0.1;(e) 每個晶格引入隨機位缺陷勢能δW=—0.3—0.3;(f) 每個晶格引入隨機位缺陷勢能δW=—0.8—0.8Fig.9.The energy spectrum E of the system via the parameter φ,N=18: (a) Add defect potentials δW=?0.1 and δW=0.1 to the 9 and 10 lattices,respectively;(b) add defect potentials δW=0.1 and δW=?0.1 to the 9 and 10 lattices,respectively;(c)each lattice point introduces a defect potential energy δW=0.5 ;(d) potential energy δW=—0.1—0.1 for the introduction of random site defects at lattice point;(e) potential energy δW=—0.3—0.3 for the introduction of random site defects at lattice point;(f) potential energy δW=—0.8—0.8 for the introduction of random site defects at lattice point.

此外,如圖9(e)和圖9(f)所示,當隨機的缺陷被添加其中時,系統能帶會發生振蕩現象.如果隨機缺陷勢能比較小,系統的能帶可以區分,并且邊緣態保持不變.但是,當 δW超過一定范圍后,能帶分布被破壞,將會變得無序和混亂.因此可以揭示,并不是在任意格點加入位缺陷就會產生新的拓撲相,以及使系統的邊緣態不受影響.另一方面,可以調節位缺陷來產生新的拓撲相,以及對信息的保護與傳遞.

在結論之前,簡要討論該方案的實驗可行性.值得注意的是,超導量子電路系統現已成為研究各種量子系統的重要平臺,這源于它的可調性、可擴展性和集成性等.在目前的實驗研究中[1,16—19,38],可以根據實驗參數制備超導電路晶格系統,并調整其在可運行范圍內,比如通過調控系統中超導量子干涉裝置的電容C、電感L、磁通量、電流和微波強度等,從而操縱系統中參數周期性地變化,使系統的邊緣態分布呈現一個翻轉過程,實現量子信息的傳遞.因此,該理論方案在目前的實驗條件下是可行的.

4 結論

本文研究了基于超導量子電路系統的一維晶格系統,通過分析系統的能譜和邊緣狀態,發現奇偶晶格數會影響系統的拓撲特性;此外,考慮次臨近的相互作用,發現次臨近相互作用存在相互制約現象,通過調控它們的大小,可以調節邊緣態的分布,使晶格中的量子態發生轉移.另外,考慮系統缺陷的影響,發現缺陷勢能比較小時,能帶變化周期穩定,能譜產生微小波動,并且可以區分邊緣態.因此,該研究結果表明,可以通過調控晶格系統的參數實現量子態的傳輸與轉移,在未來量子信息處理中具有廣泛前景.