高階彩虹現象的觀測及其色散特性研究

劉 涵，李詠璇，區藝鋒，顏秉琪，蘇琪淇，彭 力,2

(1.華南師范大學 物理與電信工程學院，廣東 廣州 510006;2.華南師大(清遠)科技創新研究院有限公司，廣東 清遠511517)

虹與霓是大氣中常見的自然現象，可以在實驗室搭建裝置，實現彩虹現象的再現與展示[1]，探究彩虹的偏振特性[2]. 也有文獻報道液柱彩虹系統[3]、全場彩虹技術反演算法[4]等. 但目前關于3級以上彩虹的研究相對較少，對高階彩虹現象的研究多采用單色激光進行演示[5]，而缺少對高階虹的最小偏向角、色散規律等物理特性的研究. 高階虹形成的本質為光的散射強度在特定角度達到極大值的現象，光線在最小偏向角附近聚集才形成了虹. 因此，最小偏向角是研究高階虹的重要特性參量.

本文從高階虹形成的原理出發，搭建了基于環形光屏的高階彩虹觀測裝置，通過讀取裝置光屏上的角坐標實現最小偏向角的精確測定. 采用不同波長的激光入射，進一步探究了高階虹的色散規律. 本設計獲得2021年第7屆全國大學生物理實驗競賽一等獎.

1 虹、霓及高階虹的形成原理

虹與霓形成的光路圖如圖1所示. 在球形液滴中發生2次折射、1次反射后的光線會聚形成了虹，發生2次折射、2次反射后的光線會聚形成了霓.

(a)虹

出射光線與入射光線的夾角即為偏向角θ.并非所有入射球形液滴的光線出射后都能形成虹，而是存在特定的最小偏向角θ0，光線在該角附近聚集即形成了虹[6].由幾何關系及斯涅耳定律，可導出虹的最小偏向角為

(1)

其中，n0為空氣的折射率，n為液滴的折射率.與最小偏向角θ0對應，光線入射角存在極值i0.當入射角i在i0附近變化時，θ隨i變化緩慢，宏觀上表現為光線聚集于θ0處，即光強在最小偏向角附近為極大值.

當入射角i從0到90°變化時，偏向角θ先減小然后增大，宏觀上表現為出射光斑先向某方向緩慢移動，當i>i0時，出射光斑朝反方向移動，這是虹與霓在最小偏向角θ0附近出現的特殊現象[7].

以上討論均基于單色光，若產生彩色的虹必須使用白光入射.根據光的色散，介質對不同波長光的折射率不同，因此不同波長光將有不同的最小偏向角θ0[8]，如圖2所示.不同波長光的極值點彼此錯開形成彩色的虹光帶[9].

圖2 虹的色散規律

光在介質中經過多次反射、折射不僅能形成二階虹(霓)，還能形成高階虹(圖3).若光束在介質中經歷了K次反射，則定義該光束形成的虹為K階虹[10].由幾何關系可得偏向角θ與入射角i、折射角r的關系為

θ=2(i-r)+K(π-2r).

(2)

由斯涅耳定律及K可計算各階虹的理論位置.

圖3 高階虹形成的光路示意圖(以K=11為例)

2 裝置設計

2.1 圓球與圓柱對彩虹形狀的影響

為克服自然情境中液滴非球形、不均勻等因素對高階虹呈現效果的影響，選用了折射率n=1.51的玻璃介質進行實驗，該介質更有利于定量探究.自然界中常見的虹為半圓形或拱形，實際上，若復色光正對玻璃圓球均勻照射，將會形成圓環狀的彩虹.

圖4(a)中，使入射平面繞直徑旋轉1周，光屏上將得到圓環狀彩虹. 圖4(b)中，使入射平面上下平移，光屏上將得到條狀彩虹. 將圓球介質替換為圓柱介質，選定入射平面測量偏向角更加方便，所以采用玻璃圓柱作為實驗樣品.

(a)圓球

2.2 高階虹最小偏向角的測量方法

為更好地測量最小偏向角θ0，除了替換介質形狀以外，還設計了基于環形光屏的測量裝置，推導了所設計環形光屏上的角坐標φ與待測偏向角θ之間的關系式.裝置結構如圖5所示.

圖5 環形光屏觀測裝置結構示意圖

設環形光屏的半徑為R，圓柱介質的半徑為a.入射光線與圓柱橫截面直徑方向之間的距離為b.設介質中光線出射點到圓心的半徑與水平方向的夾角為φ′，光屏成像點和圓心的連線與出射光線的夾角為ξ，光屏上成像點的角坐標為φ.由幾何關系得:

θ-φ′=i+2mπ,

(3)

φ-φ′=i-ξ,

(4)

其中m為整數.在折射率確定時，各階虹有唯一確定的m使得偏向角θ在0°～360°之間.

在圖5含有ξ的三角形中，由正弦定理得:

(5)

聯立式(3)～(5)，得

(6)

由式(6)可知，只需讀出各階虹在光屏上的角坐標讀數φ，即可求得偏向角θ.

2.3 實驗平臺的搭建

實驗裝置如圖6所示，裝置主要由復色光系統、觀測與讀數系統、激光器3部分組成.在進行高階虹觀測及最小偏向角測量實驗時，主要用到前2部分.

1)裝置左側為復色光系統，調節可移動底座使復色光經透鏡準直后變為平行光.透鏡后配備了光闌可獲得不同尺寸的平行光束.底座下面安裝游標卡尺，通過讀取底座滑動前后的刻度，可以獲得參量b，結合柱體半徑a可得入射角i.

2)裝置右側為觀測與讀數系統.a=40 mm的圓柱形介質置于底部圓盤中央，確保二者中心轉軸重合. 圓盤四周是標有0°～360°刻度的環形光屏.光屏左側的開口用以通過平行光束. 在光屏上可清晰觀測高階虹，讀出各階虹的角坐標.

圖6 觀測高階虹的實驗裝置示意圖

當進行虹霓現象色散規律的探究實驗時，將載物臺上的復色光源、透鏡和光闌取下，直接放置激光器，適當調整激光器的方位，確保激光光路通過圓盤0°-180°水平線.

3 實驗結果與探討

3.1 虹與霓現象的復現

實驗模擬了太陽光照在球形液滴上產生的虹與霓現象. 在圓盤中心放置玻璃球，調節光源、透鏡、光闌、介質等高共軸. 調節透鏡的位置，使出射光為平行光. 調節光闌的寬度，使平行光束能夠完整照射整個玻璃球，即玻璃球在平行光束范圍內.

對于本實驗裝置，玻璃球的直徑為70 mm，因此光闌的寬度設置為70 mm. 在光屏上觀察到的實驗現象如圖7所示.

圖7中所觀察到的彩色圓弧為虹，在外側光強稍弱的彩色條紋為霓.兩者色彩順序相反，前者為外紅內紫，后者為外紫內紅，實驗結果與理論相符. 由于受到光屏尺寸的限制，光屏上只能呈現部分霓. 由圖7可見，在當前情況下測出空間中的最小偏向角比較困難.

3.2 高階虹觀測與角坐標測量

根據前文所述的角度測量方法，計算出前6階虹的理論角坐標位置如圖8所示.

圖8 高階虹的角坐標理論位置

使用如圖6所示的實驗裝置，進行高階虹角坐標測量. 調節光闌寬度，使準直后的平行光照射圓柱的上半部分，觀察現象并讀數. 由于光強隨著階次增加逐漸減弱，為提高反射率，在圓柱體介質第一次發生反射的位置貼半透半反膜，實驗現象如圖9～10所示.

圖9 高階虹現象

(a)K=1 (b)K=2 (c)K=3

可見，各階虹分布在光屏的不同位置上，隨著階數增加，光強逐漸減弱. 讀取光屏上虹出現的位置，將其與理論值對比，如圖11所示.

圖11 高階虹的角坐標實驗值與理論對比

由圖11可知，實驗結果與理論值符合得較好.由式(1)可知，最小偏向角θ0與折射率n有關，θ0與其角坐標φ0的關系由式(6)確定.推導出不同折射率n下的角坐標φ0表達式[見下文式(8)]，即可在一定條件下由實驗所得的角坐標φ0得到介質的折射率n.

3.3 虹與霓的色散規律探究——不同波長條件下虹與霓的偏向角隨入射角的變化

激光的單色性較好，選用波長分別為λred=650.0 nm，λgreen=526.8 nm，λblue=418.8 nm的激光來探究虹與霓的色散規律. 光屏上激光光斑的尺寸如表1所示(z=76 cm).

表1 光屏上激光光斑的半徑

將底座上的復色光源、透鏡和光闌取下，放置藍色激光器，確保激光光路通過圓盤0°-180°水平線. 緩緩推動底座，使激光入射角i從0°到90°變化，如圖12所示.

圖12 使用單色激光照射圓柱

觀察光線在圓柱介質內經過1次反射后出射的光斑在環形光屏移動的軌跡和最小偏向角.讀取底座下游標卡尺的讀數，根據圖5，入射角i與參量b的對應關系為

(7)

參量b每改變5 mm記錄虹在光屏上對應的角坐標φ.再根據式(6)，由角坐標φ即可得到偏向角θ.換用紅色、綠色激光重復上述實驗.

根據介質對應波長的折射率，可以計算不同入射角i對應的偏向角θ的理論值，繪制理論曲線.實驗結果與理論曲線對比，如圖13所示.圖13中的藍色實驗點整體處于最上方，紅色實驗點整體處于最下方，而且實驗點與理論曲線符合得較好.

圖13 虹的色散規律探究實驗結果

同時，不同波長光的最小偏向角θ0不同.在入射角i比較小時，不同波長光的偏向角θ差異不大，曲線幾乎重合，當逐漸接近最小偏向角θ0位置時，偏向角θ差異變大，曲線開始分開，極值點彼此錯開，形成虹光帶.

同理，觀察經過2次反射后出射的光斑在環形光屏移動的軌跡，探究霓的色散規律，實驗結果與理論曲線對比如圖14所示.圖14表明:霓同樣也是在極值點附近曲線差距較大，兩邊差距較小.這解釋了為什么當偏向角θ比較小時不能觀察到虹，只有在特定的角度才能夠觀察到虹現象.

圖14 霓的色散規律探究實驗結果

對實驗數據進行擬合，找到極值點，得到虹與霓的最小偏向角θ0，實驗結果如表2所示.

表2 用激光器測量虹與霓的最小偏向角

4 應用拓展——利用高階虹角坐標測量介質的折射率

在完成上述實驗的基礎上，本裝置能夠根據高階虹的位置測定介質的折射率n.由于偏向角θ與折射率n有關，結合式(6)，可計算不同折射率n下各階虹的角坐標φ，可得各階虹出現的角坐標φ與折射率n的變化關系.

記各階虹最小偏向角θ0對應的入射角為i0、折射角為r0.圓柱介質的半徑a與環形光屏的半徑R之比為倍率M，本實驗裝置M=0.226.記x0=sini0，y0=sinr0.由幾何關系及斯涅耳公式推導出K=1～4階虹對應的x0和y0為

結合式(2)和式(6)，得K=1～4階角坐標為

(8)

取折射率n=1.30～1.50，繪制1～4階虹出現的角坐標φ與折射率n的變化，如圖15所示.由圖15可得，角坐標φ隨折射率n單調變化，因此，如果某圓柱形介質的折射率n未知，在實驗測出各階虹的角坐標φ的情況下，由圖15或根據式(8)可以求出K=1～4階虹分別對應的折射率n，求平均值作為折射率的測量結果.

(a)K=1 (b)K=2

舉例:在某次實驗中，圓柱形介質的折射率n未知，測出光屏上出現高階虹的角坐標,由式(8)得到K=1～4對應的折射率,如表3所示.

表3 由光屏上高階虹的角坐標計算的折射率

5 結束語

設計了高階彩虹現象的綜合探究裝置，采用不同波長的激光入射，研究了虹與霓的色散規律，設計了利用高階虹的角坐標測定介質折射率的方法. 將該裝置引入中學或者大學物理教學中，可以為彩虹光學現象的研究提供實驗平臺. 該實驗不僅可以激發學生的學習興趣，引導學生探索自然界中的物理現象，還可以提高學生的動手實踐能力，培養學生的創新精神，加深學生對大氣光學現象的理解.