探尋問題本質 規范解題思路
——關聯速度之繩桿模型的解題三步驟

何詠志

(常州市龍城高級中學 江蘇 常州 313003)

“關聯速度”一般指兩個或多個物體通過某種形式連接在一起后形成的速度問題[1]，學生在生活中很難接觸這類問題的實際生活情境，使得這類問題具有很強的抽象性，是學生學習過程中的一個難點所在.

“關聯速度”的本質是速度的合成與分解，在更大的概念上是屬于運動的合成與分解，本文從最基礎的概念本質出發，探尋解決這類問題的思維脈絡；任何物理問題的研究必須明確研究對象，故第一個步驟為研究對象的選取；該類問題的本質為運動的合成與分解，故第二個步驟為明確研究對象的合運動與分運動；不同的情境具有不同的限定條件，故第三個步驟是挖掘特定情境中的限定條件.

1 研究對象的選取

“關聯速度”類問題必定涉及多個物體，那么,對于哪個物體進行研究就是首先需要解決的問題，而且正確的選取研究對象是順利解決該類問題的先決條件；如圖1所示，人通過繞過定滑輪的輕繩拉動重物的情境，若選取的研究對象是重物，顯然難以解決問題.

圖1 人拉物

2 明確合運動與分運動的方向

在該步驟中，我們又可以將其分解為兩個小步驟進行討論:

(1)合運動和分運動的區分；

(2)明確分運動的性質.

2.1 合運動和分運動的區分

在實際的教學活動中，筆者經常發現學生選擇錯誤的速度分解，如圖2所示，許多學生選擇將沿繩方向的速度進行分解.探究錯誤背后的原因，學生不能夠正確地判斷哪一個速度是合運動的速度，哪一個速度是分運動的速度.這里幫助學生進行判斷的方法是合運動一定對應物體的實際運動，即合速度對應物體的實際速度.

圖2 對沿繩方向的速度分解

依然以該情境為例，因為人的實際速度方向為水平方向，所以合速度方向水平，故我們應該將水平方向的速度分解.

教學建議：學生對于合運動以及合速度等相關概念理解不到位是導致這個錯誤的原因，所以在平時教學中需要加強學生對基礎概念的理解和掌握.

2.2 明確分運動的性質

(1)理論探究

關聯問題是高中教學的難點，繩拉小船問題最為典型，學生往往難以確定分解的對象以及分速度的方向，且在教學中教師往往難以提供嚴密的邏輯推理，使得學生難以理解和接受[2]；筆者認為造成該教學難點的原因是高中討論的關聯類問題往往涉及轉動問題，如圖3所示，人在向右運動的過程中，人與定滑輪的連線是在做逆時針轉動.

圖3 繩的轉動方向

在平時教學中教師又往往忽視轉動類問題的講解，進而導致學生對轉動問題理解不到位，那么對于學生能力要求更高的知識點應用自然是難上加難了，故我們在進行關聯速度類問題教學之前需要完成轉動類問題的講授，增加教學梯度，降低思維難度.

在運動的合成與分解視角下看轉動問題，又可將其分為3種不同的運動的合成與分解類型，即圓周運動、離心運動和向心運動.

如圖4所示，若物體的實際速度始終與半徑垂直，則為圓周運動.

圖4 圓周運動

如圖5所示，若物體的實際速度與半徑成鈍角，即物體逐漸遠離圓心，則為離心運動.

圖5 離心運動

從運動的合成視角看離心運動，離心運動為垂直半徑方向的運動與沿半徑方向上(背離圓心)運動的合成，如圖6所示；垂直半徑方向的速度提供轉動的效果，沿半徑方向上(背離圓心)的速度提供遠離圓心的效果.

圖6 離心運動的分解

如圖7所示，若物體的實際速度與半徑成銳角，即物體逐漸靠近圓心，則為向心運動.

圖7 向心運動

從運動的合成視角看向心運動，向心運動為垂直半徑方向的運動與沿半徑方向(指向圓心)上運動的合成，如圖8所示；垂直半徑方向的速度提供轉動的效果，沿半徑方向上(指向圓心)的速度提供靠近圓心的效果.

圖8 向心運動的分解

(2)理論應用

在圖1所示的情境中，人若水平向右運動，從轉動的視角看，人與定滑輪的連線在逆時針轉動且人逐漸遠離圓心(定滑輪)，即人的運動可以看成是以定滑輪為圓心的離心運動；在運動的合成與分解的視角下，可以將人的運動分解為沿半徑方向(即人與定滑輪的連線方向)和垂直半徑方向(即垂直于人與定滑輪的連線方向)，如圖9所示.

圖9 對人的實際速度分解

3 挖掘特定情境中的特定條件——關聯速度

“關聯速度”是指兩個或多個物體連接后的速度關聯問題，在特定情境中找出兩個物體的速度關聯的數學關系是解決該類問題的關鍵；物體的連接方式一般分為繩連接和桿連接兩種方式，不同的連接方式就產生了不同的關聯特征.

3.1 繩連接

相較于桿連接模型，繩連接模型的情況更為復雜；我們需要區分繩繞過的滑輪(或滑輪組)是定滑輪還是動滑輪，不同的滑輪對應的情況是不一樣的，我們將分別討論.

(1)定滑輪

依據定滑輪的特性，在繩上任意位置沿繩方向上的速度大小相等，即沿繩方向的速度為關聯速度.

【例1】如圖10所示，人在岸上拉船，已知船的質量為m，當輕繩與水面的夾角為θ時，船的速度為v，則此時人拉繩行走的速度是多大？

圖10 人拉船

解題分析:以船為研究對象，船的運動可以看成是以定滑輪為圓心的向心運動，故可將小船的實際速度分解為沿繩方向和垂直繩方向，如圖11所示.

圖11 對船的實際速度分解

由幾何關系可知

v1=vcosθ

因沿著繩方向的速度為關聯速度，所以

v人=v1=vcosθ

(2)動滑輪

涉及動滑輪的問題較為復雜，依據動滑輪的特性，繩上不同位置的速度并不相同，故定滑輪的相關定律不能直接套用.

【例2】如圖12所示,物體A置于水平面上,A前端固定一滑輪B,高臺上有一定滑輪D,一根輕繩一端固定在C點，再繞過B和D,BC段水平,當以恒定水平速度v拉繩上的自由端時,A沿水平面前進,求當跨過B的兩段繩子的夾角為α時,A的運動速度？

圖12 動滑輪模型圖

解題分析：物體A相對定滑輪D在做向心運動，如圖13所示，對物體A的實際速度分解,故在繩BD方向上的速度為

v1=vAcosα

又因為物體在運動過程中相對于繩BC方向上的速度為vA;所以繩自由端與物體的關聯速度方程為

v=vA+vAcosα

圖13 動滑輪的運動分解

3.2 桿連接

在高中學習階段，桿通常指的是輕桿模型，即忽略桿的質量以及桿的形變；由于桿的長度不可以伸長也不可以縮短，故桿上的任意位置沿桿方向上的速度大小始終相等，即沿桿方向的速度即為關聯速度.

【例3】如圖14所示，當放在墻角的均勻直桿A端靠在豎直墻上，B端放在水平地面，當滑到圖示位置時(α已知)，B點速度為v，則A點速度是多大？

圖14 桿模型

解題分析：如圖15所示，直桿下滑的過程可看成一個轉動的過程，即A和B兩點分別圍繞桿上的某一個點做向心運動和離心運動；我們分別按照向心運動和離心運動的思路對A點和B點的實際速度分解，如圖16所示.

圖15 桿的轉動

圖16 桿兩端點的運動分解

因為在運動過程中桿的長度不變，所以沿著桿的方向上速度相等，即

v1=v3

又因為

v3=vAsinαv1=vBcosα

vB=v

所以