拓展的（2+1）-維淺水波方程共振解

張尚雷，費金喜

（1.麗水市實驗學校，浙江 麗水 323000；2.麗水學院工學院，浙江 麗水 323000）

在海洋學和大氣科學中，利用（2+1）-維淺水波方程式

研究水波傳播的動力學行為[1]。式（1）由Wazwaz[2]首次引入，根據Hereman簡化方法和Cole-Hopf變換，附加項αuxy不會破壞可積性。Roshid和Ma[3]研究了式（1）的團塊解。從已有文獻中我們可獲得式（1）的Wronskian、Pfaffian和周期波解。若α=0，則式（1）可約化為（2+1）-維Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程[4]。

拓展的（2+1）-維淺水波方程式為

其中α和β為任意常數。在非線性水波中，式（2）更能反映出豐富的物理意義。設v=uy，w=ux，式（2）可寫為

1 方程（3）的雙線性形式和多孤子解

通過因變量變換

得到方程（3）的雙線性形式

式（5）中：f=f（x，y，t）；D為Hirota微分算子，定義

由式（5）可知，多孤子的表達式為

其中對μ的求和取μj=0,1（j=1，2，…，n）的所有可能的組合，且

其中ki、pi、ηi（i=1，2，…，n）為任意常數。將式（6）代入式（4）得到方程（3）的多孤子解為

2 N=2時方程（3）的典型解

2.1 二孤子的共振解

當N=2時，令a12=0，則式（6）變為

色散關系滿足

由式（8～10）得到方程（3）的二孤子共振解，稱為Y-型孤子解[5]，它的傳播速度在x和y方向上的分量分別為

Y-型孤子隨時間變化的傳播情形，如圖1所示。圖1中的參數為

從圖1中我們可以看出：Y-型孤子的波形不隨時間變化而改變，在x和y方向上的速度分量分別為vx=3.92，vy=0.92。

圖1 Y-型孤子隨時間變化傳播情形的密度圖

2.2 團塊解

為了獲得方程（3）的團塊解，利用長波極限的方法，設

將式（6）在ε1→0，ε2→0處用Taylor級數展開，得

為了尋求團塊解，須消除式（13）中的奇異點，設

則式（14）變為

式（16）中：

其中a1、a2、a4、a5、a6、a8為任意常數。將式（16）代入式（8）得到方程（3）的團塊解。式（3）的傳播速度在x和y方向上的分量分別為

2.3 呼吸子解

為尋求方程（3）的呼吸子解，設

則式（6）可寫為

其中k、κ、ρ、σ、、分別為任意實常數。將式（18）代入式（8）獲得方程（3）的呼吸子解。

3 當N=3時，方程（3）的共振解

3.1 Y-型孤子與孤子的共振解

令a12=0，則式（6）變為

若Y-型孤子和單孤子滿足速度共振條件：

式中的vx、vy由（11）式確定，將式（22）代入式（8），則得到方程（3）的三孤子解。這三孤子解存在著特殊的結構。它由Y-型孤子和單孤子組成，且Y-型孤子和單孤子具有相同的運動速度，因而它們的相對位置不隨時間的變化而改變。圖2顯示了Y-型孤子和單孤子疊加的共振解隨時間變化傳播情形的密度圖。

圖2 Y-型孤子和單孤子疊加的共振解隨時間變化傳播情形的密度圖

3.2 團塊與孤子疊加的共振解

將式（13）代入式（6），并在ε1→0，ε2→0處，用Taylor級數展開，式（6）變為

式中的θ1、θ2、b12由式（14）確定，C13、C23滿足

若團塊和孤子滿足速度共振條件：

式中的vx、vy由式（18）確定，將式（24）代入式（8），則得到方程（3）的由團塊和孤子疊加的共振解。這一共振解結構穩定，團塊和孤子的相對位置不隨時間變化而改變。圖3顯示了由團塊和孤子疊加的共振解隨時間變化的傳播情形，圖3中的參數為

圖3 由團塊和孤子疊加的共振解隨時間變化傳播的密度圖

3.3 呼吸子和孤子的共振解

將式（19）代入式（6），得到

若呼吸子和孤子滿足速度共振條件：

則得到由呼吸子和孤子疊加的共振解。圖4顯示了由呼吸子和孤子疊加的共振解隨時間變化的傳播情形，圖4中的參數為

圖4 由呼吸子和孤子疊加的共振解隨時間變化傳播的密度圖

4 當N=4時，方程（3）的共振解

4.1 團塊和雙孤子的共振解

當N=4時，在式（13）的條件下，把式（6）在ε1→0，ε2→0處Taylor級數展開，得到

式（30）為一個團塊和雙孤子的相互作用解，其中θ1、θ2、b12和C13、C23分別由式（14）和（25）確定，C14、C24滿足：

若團塊和雙孤子的運動速度相同，即

將式（30）代入式（4），則可獲得團塊和雙孤子的共振解。圖5展示了團塊和雙孤子的共振解隨時間演化的密度圖。圖5中的參數為：

圖5 由團塊和雙孤子疊加的共振解隨時間變化傳播的密度圖

4.2 團塊和呼吸子的共振解

對于式（30），進一步假設

則其中的雙孤子轉化為呼吸子。若團塊和呼吸子的運動速度相等，即滿足速度共振條件：

其中

將式（30）代入式（8），則可獲得團塊和呼吸子的共振解。圖6展示了團塊和呼吸子的共振解隨時間演化的密度圖。圖6中的參數為

圖6 由團塊和呼吸子疊加的共振解隨時間變化傳播的密度圖

4.3 兩呼吸子的共振解

為尋求方程（3）的兩呼吸子的混合解，在式（19，33）的假設下，式（6）可寫為

若兩呼吸子的運動速度相等，即滿足速度共振條件：

將式（37）代入式（8），則可獲得兩呼吸子的共振解。圖7展示了兩呼吸子的共振解隨時間演化的密度圖。圖中的參數為

圖7 由兩呼吸子疊加的共振解隨時間變化傳播的密度圖

5 結語

共振現象在自然界中普遍存在。筆者基于雙線性形式，得到多孤子解，并在此基礎上討論了Y-型孤子及Y-型孤子與孤子、團塊與孤子、呼吸子與孤子、團塊與雙孤子、團塊與呼吸子、呼吸子與呼吸子的共振解，希望這些解對非線性科學和物理學有所應用和幫助。