基于改進灰色馬爾可夫模型的雷達備件需求預測

蔡志成，王昫

（中國人民解放軍空軍預警學院 雷達士官學校，湖北 武漢 430345）

0 引 言

在雷達裝備保障中，備件直接影響著雷達裝備持續作戰能力。備件不足會導致雷達裝備戰備完好性下降、影響部隊戰斗力，而備件儲備過量既增加保障難度也浪費保障經費。因此，準確預測備件需求對于保持雷達可用性、維持合理備件庫存具有重要意義。

備件需求的預測方法主要有四大類：實戰統計法、解析分析法、經驗系數法和模擬仿真法等。本文采用解析分析法，通過分析備件消耗量歷史數據，建立改進灰色馬爾可夫組合模型來預測下一階段備件需求。灰色系統理論的GM（1，1）預測模型能夠弱化備件消耗序列的隨機性，發掘出樣本數據發展趨勢，然而該模型對不規則變化和波動較大的數據預測精度較低。馬爾可夫鏈預測模型可以對波動性較大的數據進行研究，將灰色預測理論與馬爾可夫鏈相結合，能夠實現兩者優勢互補。

本文針對裝備備件消耗量變化隨機性較強特點，提出一種改進的灰色馬爾可夫模型計算備件需求量的預測方法，即通過對備件歷史消耗數據進行分析，運用改進后的模型求需求量的預測值。首先用標準灰色預測GM（1，1）模型求出消耗量的灰色預測值，然后運用馬爾可夫理論，對預測值和實際值兩者的誤差進行狀態劃分，得出馬爾可夫鏈預測模型，求出轉移概率矩陣；改進利用固定的初始狀態和轉移概率矩陣對未來狀態的預測方法，采用5 個與待測階段最近的狀態數據最為初始狀態，共同預測待測階段的狀態概率向量并確定狀態區間，利用模型的預測值更新選定的5 個初始狀態，進行后續階段預測，實現對灰色預測值進行修正、提升模型預測精確度的目標。

1 灰色預測

1.1 建立灰色預測GM（1，1）模型

灰色預測模型是一種用灰色系統進行預測的方法模型，通過關聯分析，對原始數據進行生成處理來尋找系統變動的規律，生成有較強規律性的數據序列，然后建立相應的微分方程模型來進行預測。

（）的緊臨均值生成序列：

1.2 模型精度的檢驗

灰色預測模型GM（1，1）模型的精度檢驗：相對誤差、關聯度和后驗差檢驗。

計算小誤差概率：

GM（1，1）模型精度檢驗主要將上述計算參數模型預設的誤差范圍（詳見表1）進行比較。

表1 灰色模型精度驗證表檢驗精度等級對比表

2 改進灰色馬爾可夫模型的修正模型

馬爾可夫預測模型是一種用于預測事件的發生概率的方法，其根據事件當前的狀況來預測未來各個時刻狀態變動情況。模型最關鍵的環節就是對研究的數據進行合理的劃分。不同的劃分方法會直接影響到狀態轉移概率矩陣，預測結果會相差很大。本文利用灰色預測模型的殘差來劃分狀態空間。

2.1 狀態劃分

將殘差序列 劃分為個狀態，任一狀態區間為：E=（，），=1，2，…，，，）分別為狀態E的上、下限，其狀態集合為E=（，，…，E）。殘差的狀態劃分通常以樣本數和預測誤差范圍為基礎，可將狀態劃分為3 至5 個。

2.2 計算狀態轉移概率矩陣

隨機事件的步狀態轉移概率矩陣可表示為：

通常求得了一步狀態轉移概率矩陣，即可預測出待測對象下一步的狀態轉移情況。若為穩定性系統，則步狀態轉移概率可表示為：

2.3 對象轉移狀態的確定

根據上式，只要知道轉移概率矩陣、初始狀態概率向量，就可以求得系統在任意時刻的的狀態概率向量。假設預測對象處于E狀態，此時的初始狀態概率向量是已知的，需要預測+1 時刻的狀態，則只需觀察狀態轉移概率矩陣中第行的轉移概率，如果第列為第行中概率的最大值，那么預測對象下一階段極有可能從狀態E變為狀態E。

2.4 改進灰色馬爾可夫模型

由于任何樣本都存在局限性，在實際的需求預測中，通過狀態存在的頻率計算出的狀態轉移概率矩陣是不穩定的。為降低多步預測產生的誤差，筆者采用多個預測的狀態概率累加取最大值的方法求待測時刻的最可能狀態，選取與待測階段最近的前連續5 個階段的已知狀態，分別用相應的k 步狀態轉移概率矩陣求得待測的狀態概率向量組成概率矩陣，將多個狀態對應概率進行累加，以最大概率準則確定待測階段的最可能狀態。后續則將該預測出的狀態作為已知，并以此狀態為基礎進行進一步的測。具體步驟如下：

設預測對象在1 至（＞5）階段狀態為，，…，E，為求+1 階段的狀態，利用第E、E、E、E、E五個階段狀態的初始概率向量，分別結合一步至五步狀態轉移概率矩陣，得出+1 階段的狀態概率矩陣P，其包含5 個概率向量：

分別計算P概每一列的概率和，取概率和最大值所對應的狀態為階段+1 的狀態。后續階段（如P）狀態的預計，將預測到的+1 階段狀態作為已知，所需的五個階段狀態中加入階段+1 狀態，剔除最早的一個階段狀態，以此循環迭代預測后續階段的狀態序列。

2.5 確定修改后的預測值

改進后的灰色馬爾可夫模型預測值的與其殘差所處的狀態有關，一般取狀態區間中點作為修正值的計算依據，設預測對象下一步轉移到E狀態，則改進后的灰色馬爾可夫模型預測值為：

3 實例分析

以某單位某典型雷達備件Q 的月度統計的消耗量為例，表2為2019年1月至2020年3月連續15 個月備件Q 的消耗量。為便于進行模型的計算和驗證，筆者將該15 個月消耗數據看作連續時間序列，前10 個作為樣本數據，后5 個數據作為檢驗數據，采用改進灰色馬爾可夫模型對樣本數據進行擬合和預測，檢驗模型的精確度及可用性。

表2 某型雷達備件Q 消耗的時間序列

根據備件消耗量的前10 個數據，經級比檢驗，該樣本數據可以利用灰色模型進行預測。采用灰色預測模型，得出模型的預測值，并計算相應的絕對誤差、相對誤差，并同步進行模型的精度檢驗指標值計算。相關數據如表3所示。

表3 灰色預測模型預測結論

采用等距劃分，將絕對殘差序列劃分5 個狀態[-5.056，-2.681）、[-2.681，-0.306）、[-0.306，2.070）、[2.070，4.445）、[4.445，6.820]，詳情見表2。結合劃分的絕對誤差狀態序列，求出1 至5 步的狀態轉移概率矩陣：P（1）、P（2）、P（3）、P（4）、P（5）。

根據改進的灰色馬爾可夫模型，求出第11 至15 階段的預測值，并計算出模型精度檢驗指標值，具體如表4所示。

根據表4計算結果，在序號為11 至15 階段的消耗量預測中，灰色模型的預測值與實際消耗量誤差分別為2.817、0.254、-4.433、-4.249、-8.201，模型預測的精度指標平均相對誤差為0.107、方差比為0.185、小誤差概率為1、關聯度為-0.951，預測精度較低。

表4 檢驗數據部分——灰色模型與改進灰色馬爾可夫模型預測數據對比

改進灰色馬爾可夫模型預測值與實際消耗量誤差分別為-0.441、1.935、4.686、0.559、-0.441，模型預測的精度指標平均相對誤差為0.044、方差比為0.092、小誤差概率為1、關聯度為0.710，模型的預測精度較高。由此可見，改進的灰色馬爾可夫模型在該備件需求預測方面具有明顯優勢。

4 結 論

灰色馬爾可夫預測模型通過將隨機的時間序列分解成為灰色模型預測的趨勢變動序列和馬爾可夫模型預測的隨機變動序列，利用馬爾可夫模型的預測狀態對灰色模型預測值進行修正，能較好的發揮出灰色預測和馬爾可夫預測各自的優勢，提高綜合預測精度。文中改進的灰色馬爾可夫預測模型優化了初始狀態的選取和待測狀態的確定方法，利用多初始狀態、多步計算取最大概率確定狀態的思路，進一步提高了模型預測的精度。然而，馬爾可夫模型的預測核心是狀態轉移概率矩陣的確定，在雷達備件預測中，實際備件需求與外界環境、任務形勢變化有較大影響，歷史樣本數據的具有較大的局限性，由此得出轉移概率矩陣在多步預測后精確度下降較快，如何能夠根據狀態的實際變化動態更新馬爾可夫模型的狀態轉移概率矩陣，是接下來的研究重點。