求解q- 分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題的差分方法

楊秋琳

（東北大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽 110004）

q-分?jǐn)?shù)階微分方程最早由Al-Salam[1]等人提出。Abdeljawad[2]使用了逐次逼近法得到了Caputo 型q-分?jǐn)?shù)階微分方程的近似解。Zhang 等人[3]提出了Lq,b差分公式，建立了求解q-分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題的差分方法。然而目前幾乎沒有用差分法對(duì)于解q-分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題進(jìn)行理論分析。

本研究研究如下具有Caputo 型q-分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

本研究基于差分法求解q-分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題(1)，利用Lq,b差分公式離散分?jǐn)?shù)階q-導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用對(duì)角占優(yōu)矩陣?yán)碚撟C明了問題(1)差分解的存在唯一性和穩(wěn)定性，并給出了誤差估計(jì)。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[3]q-轉(zhuǎn)置因子定義為

定義2[3]設(shè)實(shí)數(shù)q∈R，集合A 是復(fù)集合C 的一個(gè)子集。對(duì)于任意t∈A，若qt∈A，則稱集合A 是q-幾何集。設(shè)f(t)定義在q-幾何集A 上，f(t)的q-導(dǎo)數(shù)定義為

定義3[3]在[a,b]區(qū)間上的q-積分的定義如下：

其中

定義5[5]設(shè) α ＞ 0,為大于等于α 的最小整數(shù),則x(t)的Caputo 型q-分?jǐn)?shù)階微分定義為

2 差分方法

考慮如下邊值問題(1)∶

令y（t） =Dq x（t），則由定義2 可推得

其中

所以

和邊值條件得到如下方程組(4)

定理1 假設(shè)a（t） ＞ 0,0 ＜t＜b,t∈Tq,b, 則差分方程(3)的解唯一。

證明：設(shè)A=（aij）N×N為方程組(4)的系數(shù)矩陣，有

由引理1，0 ＜c1＜c2＜ …＜ck-1＜ck。從而有

故矩陣A 是對(duì)角占優(yōu)矩陣。又由于

因此差分方程(3)存在唯一解。

定理2 假設(shè)a（t） ≥a0＞ 0,0 ＜t＜b,t∈Tq,b,差分方程(3)的解滿足穩(wěn)定性估計(jì)

所以有

類似穩(wěn)定性證明，可以得到

3 結(jié)論

（1） 通過利用Lq,b差分公式在時(shí)間測(cè)度集Tq上離散q-導(dǎo)數(shù)，建立了差分方程，再由邊值條件得到了線性方程組，該方程組的解便是該分?jǐn)?shù)階微分方程的差分解。

（2） 對(duì)方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行分析，證明系數(shù)矩陣是對(duì)角占優(yōu)且不可約矩陣，即系數(shù)矩陣可逆，從而確定差分方程解的存在唯一性。同樣利用矩陣的對(duì)角占優(yōu)性質(zhì)，得到了方程的穩(wěn)定性估計(jì)和階的誤差估計(jì)。