求解q- 分數階微分方程邊值問題的差分方法

楊秋琳

（東北大學 理學院，遼寧 沈陽 110004）

q-分數階微分方程最早由Al-Salam[1]等人提出。Abdeljawad[2]使用了逐次逼近法得到了Caputo 型q-分數階微分方程的近似解。Zhang 等人[3]提出了Lq,b差分公式，建立了求解q-分數階微分方程初值問題的差分方法。然而目前幾乎沒有用差分法對于解q-分數階微分方程邊值問題進行理論分析。

本研究研究如下具有Caputo 型q-分數階微分方程邊值問題

本研究基于差分法求解q-分數階微分方程邊值問題(1)，利用Lq,b差分公式離散分數階q-導數，運用對角占優矩陣理論證明了問題(1)差分解的存在唯一性和穩定性，并給出了誤差估計。

1 預備知識

定義1[3]q-轉置因子定義為

定義2[3]設實數q∈R，集合A 是復集合C 的一個子集。對于任意t∈A，若qt∈A，則稱集合A 是q-幾何集。設f(t)定義在q-幾何集A 上，f(t)的q-導數定義為

定義3[3]在[a,b]區間上的q-積分的定義如下：

其中

定義5[5]設 α ＞ 0,為大于等于α 的最小整數,則x(t)的Caputo 型q-分數階微分定義為

2 差分方法

考慮如下邊值問題(1)∶

令y（t） =Dq x（t），則由定義2 可推得

其中

所以

和邊值條件得到如下方程組(4)

定理1 假設a（t） ＞ 0,0 ＜t＜b,t∈Tq,b, 則差分方程(3)的解唯一。

證明：設A=（aij）N×N為方程組(4)的系數矩陣，有

由引理1，0 ＜c1＜c2＜ …＜ck-1＜ck。從而有

故矩陣A 是對角占優矩陣。又由于

因此差分方程(3)存在唯一解。

定理2 假設a（t） ≥a0＞ 0,0 ＜t＜b,t∈Tq,b,差分方程(3)的解滿足穩定性估計

所以有

類似穩定性證明，可以得到

3 結論

（1） 通過利用Lq,b差分公式在時間測度集Tq上離散q-導數，建立了差分方程，再由邊值條件得到了線性方程組，該方程組的解便是該分數階微分方程的差分解。

（2） 對方程組的系數矩陣進行分析，證明系數矩陣是對角占優且不可約矩陣，即系數矩陣可逆，從而確定差分方程解的存在唯一性。同樣利用矩陣的對角占優性質，得到了方程的穩定性估計和階的誤差估計。