基于XFEM的諧波減速器柔輪裂紋擴展行為研究

薛棟文 徐 洋 解國升 趙言正 劉積昊

（1 東華大學(xué) 機械工程學(xué)院，上海 201620）

（2 上海交通大學(xué) 機械與動力工程學(xué)院，上海 200240）

0 引言

諧波減速器具有傳動比大、運行穩(wěn)定、傳動精度高及負(fù)載能力強的優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)機器人、航空航天、能源及精密機床等高精領(lǐng)域[1-2]。通常，諧波減速器是由波發(fā)生器、柔輪、剛輪等基本構(gòu)件組成。諧波齒輪傳動的主要失效形式有柔輪疲勞斷裂、柔性軸承損壞、齒面磨損等。其中，柔輪疲勞斷裂占總失效形式的60%以上[3]。局部微裂紋的形成及擴展是引發(fā)柔輪斷裂的主要原因[4]。因此，研究柔輪的裂紋形成及裂紋擴展特性，有助于掌握柔輪裂紋生長規(guī)律，預(yù)測剩余壽命。

目前，關(guān)于諧波減速器柔輪的疲勞裂紋研究主要集中在裂紋形成原因及對諧波傳動性能的影響方面，對于柔輪的裂紋擴展研究，可查閱文獻較少[4-6]。現(xiàn)階段，國內(nèi)外很多學(xué)者對直齒圓柱齒輪等剛性齒輪的裂紋擴展進行了研究，分析了裂紋形狀、載荷對疲勞裂紋擴展及疲勞壽命的影響[7-9]，這些研究方法和成果已較為成熟。但是，柔輪裂紋擴展分析與剛性齒輪有所不同。剛性齒輪齒形較大，裂紋形貌和擴展方向相對固定；而柔輪是一種撓性部件，齒圈位于薄壁末端，齒形細(xì)密，不易斷齒，其裂紋擴展涉及齒圈、筒體及凸緣，受諧波傳動、幾何形變等多種因素影響。因此，柔輪的裂紋擴展規(guī)律異于剛性齒輪，隨機性更為顯著。

本文中以某型號諧波減速器為研究對象，建立柔輪應(yīng)力分析模型，確定柔輪應(yīng)力集中的參數(shù)；采用有限元仿真軟件分析應(yīng)力最大區(qū)域，在應(yīng)力最大結(jié)點引入微小角裂紋；依據(jù)裂尖應(yīng)力場參量，分析裂紋擴展的趨勢和能力；基于擴展有限元方法，對柔輪的疲勞裂紋擴展行為進行分析和預(yù)測；最后，通過柔輪加速壽命試驗驗證了裂紋擴展特性。

1 柔輪結(jié)構(gòu)與應(yīng)力計算

1.1 柔輪結(jié)構(gòu)及材料屬性

如圖1所示，諧波減速器的柔輪為中空翻邊形標(biāo)準(zhǔn)筒式結(jié)構(gòu)。柔輪材料為合金鋼，彈性模量E=2.06×105MPa，泊松比μ=0.28，質(zhì)量密度ρ=7 800 kg/m3，結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

圖1 柔輪結(jié)構(gòu)Fig.1 Flexspline structure

表1 柔輪結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters of flexspline

1.2 柔輪應(yīng)力集中位置確定

如圖2（a）所示，柔輪應(yīng)力可基于圓柱殼體的力矩模型，在一定假設(shè)下求出[10]206，并根據(jù)實際加載情況對應(yīng)力計算進行修正。圖2（b）所示為柔輪變形的端面輪廓。其中，筒體中面半徑rm=24.795 mm，長軸處最大徑向位移w0=0.5 mm，嚙合區(qū)角β=30°。基于殼體中面應(yīng)變?yōu)?的假設(shè)，在殼體微元上的內(nèi)力只有在z和φ方向的彎矩和轉(zhuǎn)矩MZ、Mφ、MZφ。

圖2 柔輪等效模型Fig.2 Equivalent model of flexspline

MZ引起的沿母線方向的修正正應(yīng)力為

Mφ引起的沿周向的修正正應(yīng)力為

MZφ引起的沿z和φ方向的修正剪應(yīng)力為

轉(zhuǎn)矩T所產(chǎn)生的修正剪應(yīng)力為

式中，Kd為動載系數(shù)；KM為柔輪應(yīng)力增長系數(shù)；Ku為剪應(yīng)力分布不均勻系數(shù)；Cσ為正應(yīng)力系數(shù)；Cτ為剪應(yīng)力系數(shù)。

諧波減速器額定壽命較長，因此，采用3 倍額定負(fù)載進行理論計算、仿真及加速實驗。由文獻[10]213-233查表得該工況下各應(yīng)力系數(shù)，如表2所示。

表2 應(yīng)力模型修正系數(shù)Tab.2 Stress model correction parameters

根據(jù)式（1）、式（2），柔輪正應(yīng)力與z成正比。令z=l時，柔輪端面處應(yīng)力最大。

2 柔輪三維建模及裂尖應(yīng)力參量獲取

由等效柔輪應(yīng)力模型初步確定應(yīng)力集中位置為柔輪齒端面。通過有限元仿真，建立柔輪載荷優(yōu)化模型，進一步對應(yīng)力集中位置進行分析，確定微裂紋引入結(jié)點，進而可獲得表征裂紋擴展能力的各項參量。

2.1 載荷模型優(yōu)化

圖3（a）所示為柔輪受載示意圖。柔輪的主要受載有：在柔輪內(nèi)壁由波發(fā)生器迫使柔輪變形而產(chǎn)生的徑向載荷P；在柔輪齒圈由柔輪與剛輪齒嚙合而產(chǎn)生的齒面載荷F。圖3（b）所示為柔輪應(yīng)力分布云圖。

圖3 柔輪載荷模型Fig.3 Load model of flexspline

2.2 裂尖應(yīng)力場參量獲取與分析

通過仿真獲得柔輪的最大應(yīng)力結(jié)點，在該位置引入微小裂紋。其中，引入的切片半徑為0.5 mm，圓心位于最大應(yīng)力結(jié)點，垂直于柔輪齒端面，如圖4所示。利用M 積分[11]可求得裂尖從點A（內(nèi)表面）到點B（外表面）的應(yīng)力強度因子KⅠ、KⅡ、KⅢ和J積分。

圖4 微裂紋引入及截面示意圖Fig.4 Schematic of microcrack introduction and section

應(yīng)力強度因子表征了材料外力作用下物體裂紋尖端附近的應(yīng)力場強度，顯示了裂紋擴展的能力。

KⅠ描述了由正應(yīng)力引起的應(yīng)力集中，是表征應(yīng)力場強弱的主要參量。圖5 所示為裂尖由點A到點B的KⅠ分布圖。

圖5 裂尖KⅠ分布Fig.5 KⅠdistribution of crack tip

Ⅱ型裂紋來源于剪應(yīng)力破壞，裂紋平行于裂紋擴展方向。KⅡ用來預(yù)測裂紋扭轉(zhuǎn)角度，以確定裂紋前緣的擴展方向。圖6 所示為裂尖由點A到點B的KⅡ分布圖。

圖6 裂尖KⅡ分布Fig.6 KⅡdistribution of crack tip

Ⅲ型裂紋來源于剪應(yīng)力破壞，裂紋垂直于裂紋擴展方向。KⅢ可描述剪應(yīng)力集中程度。圖7 所示為裂尖由點A到點B的KⅢ分布圖。

圖7 裂尖KⅢ分布Fig.7 KⅢdistribution of crack tip

圖8 裂尖J積分分布Fig.8 J-integral distribution of crack tip

J 積分是由Rice J R[12]提出的一個圍繞裂尖并與路徑無關(guān)的守恒積分，用來描述裂尖局部集中應(yīng)力、應(yīng)變場強度平均值的參量。KⅠ、KⅡ、KⅢ與J 積分關(guān)系為

J積分在近A端約1/5處最小，該位置附近出現(xiàn)KⅡ峰值，裂紋最先擴展。J積分在B端達(dá)到最大，且KⅠ、KⅢ最大，裂紋附近的應(yīng)力集中于柔輪外表面。

3 基于XFEM 的裂紋擴展

擴 展 有 限 元（Extended finite element method，XFEM）是一種模擬分析斷裂力學(xué)問題的有效方法[13-14]，其在保留傳統(tǒng)有限元算法優(yōu)勢的同時，能夠獨立于網(wǎng)格剖分解決裂紋擴展問題，不需要對裂紋形成區(qū)域和擴展輪廓進行局部網(wǎng)格細(xì)化。

3.1 模型簡化

由于XFEM 只能采用四邊形或六面體網(wǎng)格，且不支持自適應(yīng)網(wǎng)格。因此，計算時將柔輪模型進行簡化，將齒圈以當(dāng)量圓環(huán)代替，刪除柔輪模型中的倒角、圓角及工藝孔。

3.2 增量步對裂紋路徑的影響

增量步大小直接使相同工況下同一位置的裂紋擴展路徑隨即改變。載荷施加時，若某一增量步經(jīng)有限次迭代后仍不收斂，則將增量步大小調(diào)整為當(dāng)前的0.25 倍，重新迭代。若初始增量步設(shè)置過大，易導(dǎo)致結(jié)果不收斂；設(shè)置過小，則時間成本過高。圖9、圖10 所示為初始增量步大小分別為0.01 和0.001時的裂紋擴展路徑仿真結(jié)果。

圖9 初始增量步為0.01的裂紋仿真圖Fig.9 Simulation of cracks with initial increment=0.01

圖10 初始增量步為0.001的裂紋仿真圖Fig.10 Simulation of cracks with initial increment=0.001

圖9、圖10中應(yīng)力分布結(jié)果與第2.2節(jié)裂尖應(yīng)力場分析結(jié)果一致，裂紋附近的應(yīng)力分布明顯集中于外表面。裂紋的總體擴展趨勢相同，增量步大小對裂紋擴展路徑的隨機差異性的影響顯著。

4 疲勞裂紋實驗

為驗證柔輪XFEM 仿真裂紋擴展路徑與實際的差異，搭建了諧波減速器加速壽命試驗臺，通過采用3倍負(fù)載加速破壞的方式得到裂紋的擴展路徑。

4.1 諧波減速器加速壽命試驗臺搭建

如圖11所示，試驗臺主要由變頻電機、聯(lián)軸器、諧波減速器、磁粉制動器等4部分組成。變頻電機型號為ABB80M2.4.6P-B3，其額定功率為1.1 kW，額定轉(zhuǎn)矩為3.5 N·m，額定轉(zhuǎn)速為2 845 r/min；聯(lián)軸器采用膜片式，型號為CPDW50-19-19；磁粉制動器采用蘭菱FZ1000J/Y，額定轉(zhuǎn)矩為1 000 N·m，許用轉(zhuǎn)速為1 000 r/min。

圖11 諧波減速器加速壽命試驗臺Fig.11 Accelerated life test bench of harmonic reducers

4.2 破壞形態(tài)與裂紋擴展

該系列諧波減速器的額定壽命在9 000 h，需利用過載實驗加速破壞。負(fù)載設(shè)定為3倍額定轉(zhuǎn)矩，轉(zhuǎn)速為2 000 r/min。表3所示為6組加速實驗的測試時長。

表3 6組實驗結(jié)果Tab.3 Experimental results of 6 groups

圖12 所示分別為加速壽命測試后得到的6 組柔輪裂紋擴展路徑。

圖12 中，前4 組實驗裂紋均與圖9 中吻合。前3組實驗的裂紋擴展路徑與長度相似；實驗4的柔輪齒根及筒底與凸緣交界面出現(xiàn)了間斷裂紋，兩段裂紋沿同一母線，與圖9結(jié)果一致。

圖12 柔輪的損傷形態(tài)圖集Fig.12 Damage morphology atlas of flexspline

圖12 中，實驗5 的柔輪裂紋較短，其主要損傷表現(xiàn)為筒體內(nèi)壁磨損，磨損區(qū)域與圖10 中的主應(yīng)力區(qū)域重合；實驗6的裂紋擴展路徑與圖10吻合。

分析裂紋路徑與仿真結(jié)果可知，柔輪裂紋擴展經(jīng)歷了以下幾個階段：

（1）沿齒圈母線開裂。在齒圈區(qū)域，受柔輪齒形的限制，波發(fā)生器長軸處對柔輪的徑向變形作用大于轉(zhuǎn)矩造成的周向變形作用，裂紋沿軸向徑直開裂。實際上，由于輪齒間隙相比于輪齒較薄，裂紋在齒根處開裂沿柔輪母線至齒圈結(jié)束位置。

（2）沿筒體周向開裂。裂紋擴展至無齒區(qū)域，受輪齒形狀限制減弱，裂紋沿扭轉(zhuǎn)方向開裂，擴展路徑第一次出現(xiàn)明顯偏折。由應(yīng)力云圖（圖3（b））可知，筒體中段為應(yīng)力較小區(qū)域，相比于齒圈和筒底，裂紋軸向擴展趨勢明顯，擴展路徑第二次出現(xiàn)明顯偏折。實際裂紋在擴展至此段時也都出現(xiàn)了不同程度的偏折。

（3）沿凸緣偏折。裂紋擴展至凸緣處時，再次進入應(yīng)力較大區(qū)域，主要裂紋類型逐漸由III 型裂紋變?yōu)镮型裂紋。裂紋向端面的應(yīng)力較大位置偏折。

5 結(jié)論

以某型號諧波減速器為研究對象，探究了柔輪裂紋擴展行為。基于圓柱殼體的力矩模型，建立柔輪應(yīng)力分析模型，確定了柔輪應(yīng)力集中的參量；采用有限元軟件重點對應(yīng)力最大區(qū)域進行分析，通過引入裂紋并分析裂尖應(yīng)力場參量，表征了裂紋擴展能力；最后，基于XFEM 模擬裂紋擴展路徑，對疲勞裂紋擴展行為進行了仿真和預(yù)測，并通過實驗驗證了仿真的正確性。得到以下結(jié)論：

（1）柔輪裂紋最易出現(xiàn)在柔輪齒根部分及筒體與凸緣交界位置，且總是沿應(yīng)力最大路線進行擴展。

（2）裂紋尖端處應(yīng)力更集中于柔輪外表面，裂紋由近內(nèi)表面5分位點處最先擴展。此外，仿真中增量步大小對裂紋路徑的隨機差異性影響顯著。

（3）裂紋擴展過程中，首先沿齒圈母線開裂，隨后因細(xì)微載荷差異，主應(yīng)力區(qū)域變化不同，對裂紋擴展路徑出現(xiàn)多次偏折的位置和程度影響不同。