2-CPR/UPU三平移并聯(lián)機構運動學分析與優(yōu)化設計

李麗紅 張發(fā)海 朱 磊

（1 江蘇安全技術職業(yè)學院 機械工程學院， 江蘇 徐州 221000）

（2 中國礦業(yè)大學 材料與物理學院， 江蘇 徐州 221116）

0 引言

空間三平移并聯(lián)機器人機構具有結構剛度大、控制精度高、承載能力強等優(yōu)點而被廣泛應用于工業(yè)包裝、航空航天、3D 打印等領域[1]。Vischer 等[2]最早提出三平移DELTA 機構；Tsai等[3]提出一種空間三平移并聯(lián)機構，其支鏈由平行四邊形機構、移動副構成。此外，還有一些學者研究了通過DELTA 機構衍生出的三平移并聯(lián)機構[4]。以上機構都有耦合度大于等于1 的特點，這也使得機構不具有運動解耦特性，直接導致三平移機構動力學分析、運動規(guī)劃與控制分析過程十分復雜。

目前，解耦空間三平移并聯(lián)機器人機構的設計與研究成為國內外學者關注和研究的熱點[5]。毛璽等[6]設計了一種支鏈完全對稱分布且零耦合度的三維純平移并聯(lián)機器人機構，并根據(jù)螺旋理論方法對運動輸出特性進行了計算；建立運動學方程并得到機構的位置解、速度、加速度等運動學分析；通過Matlab 和SolidWorks 聯(lián)合仿真得到樣機的位移、速度、加速度等參數(shù)所對應的運動規(guī)律曲線圖；在此基礎上，研究得到位置工作空間及其奇異性特征。季曄[7]設計了一種弱耦合且無奇異的三平移并聯(lián)機構，通過螺旋理論和Kutzbach-Grubler 公式推導驗證了機構運動性質；建立約束方程并得到運動學位置方程解析式，根據(jù)雅可比矩陣分析得到機構無奇異位置特征；根據(jù)五次多項式對機構動平臺參考點進行了軌跡規(guī)劃。程剛等[8]根據(jù)方位特征集拓撲結構設計理論，闡述了并聯(lián)機構解耦特性分析過程，提出一種零耦合度的三平移并聯(lián)機構；該機構具有結構簡單、位置正逆解分析容易等特點，為該并聯(lián)機構實現(xiàn)高精度位置控制提供了可能。沈惠平等[9]針對三平移并聯(lián)機構運動控制及軌跡規(guī)劃等較為復雜的問題，提出了一種具有解析式位置正解的三平移并聯(lián)機構；計算出方位特征集為三平移、耦合度為0、自由度為3；推導了運動學方程位置解的符號解析式，分析操作空間和奇異性特征的性能；最后通過仿真分析運動規(guī)律，驗證得到與理論計算一致的結果。曾達幸等[10]針對三平移并聯(lián)機構的綜合問題，通過螺旋理論闡述了移動副存在的條件，利用支鏈輸入副的選擇原則得到支鏈的運動副配置，綜合出全局各向同性的三維移動解耦并聯(lián)機構；并對該機構進行數(shù)學建模并完成了運動學位置分析；建立靈活性的目標函數(shù)完成位形優(yōu)化，并進行了樣機研制。朱偉等[11]提出了一種弱耦合且對稱的三平移并聯(lián)機構，其中，2條支鏈結構為RRPaR，另外一條支鏈結構為PPaP；計算了幾種重要的拓撲結構特征，完成了數(shù)學方程模型的建立，并得到位置解（正解和逆解）的符號解析式。

考慮到強耦合三平移并聯(lián)機構輸出強耦合所引起的實時控制問題，本文中根據(jù)拓撲結構綜合理論，提出一種耦合度為0 的新型2CPR/UPU 三平移并聯(lián)機構，并對其進行了運動學分析和參數(shù)優(yōu)化。

1 并聯(lián)機構結構分析

1.1 機構設計

圖1 2CUP-UPU并聯(lián)機構結構簡圖Fig.1 Structural diagram of parallel mechanism of 2CUP/UPU

1.2 拓撲特性分析

并聯(lián)機構自由度計算公式根據(jù)方位特征集拓撲結構綜合理論進行計算[12]，具體定義為

作為衡量并聯(lián)機構復雜程度的耦合度指標，基本運動鏈的耦合度κ為

式中，mj為第j個SOCj的運動副數(shù)；Ij為第j個SOCj的驅動副數(shù)。

圖2 2CPR/UPU并聯(lián)機構三維模型Fig.2 3D model of 2CPR/UPU parallel mechanism

（1）根據(jù)機構結構簡圖和三維模型圖，根據(jù)支鏈各運動副之間的布置特點，分析出支鏈對應的POC集Mbj分別為

式中，Mbj為支鏈j的方位特征集；t為移動特征；r為轉動特征。

②支鏈2、支鏈3 的單開鏈為SOC{-Ci⊥Pi2//Ri3}，（i=2，3）計算得到支鏈的Mbj為

（2）分析第一條獨立回路的位移方程，以第2支鏈、第3 支鏈構成第一個獨立運動回路，根據(jù)

式（1），則回路1的位移方程ξLj為

①計算第2支鏈、第3支鏈構成的子并聯(lián)機構的POC集為

②將參數(shù)代入式（1），得到由支鏈2、支鏈3 組成的子并聯(lián)機構的自由度F2-3為

（3）分析第二條獨立回路的位移方程拓撲特性，以回路1 與支鏈1 組成第二回路，將相關參數(shù)代入式（1），得到回路2的位移方程數(shù)ξL2，有

①并聯(lián)機構的POC集Mpa(1-2-3)為

②得出機構自由度F1-2-3為

（4）約束度Δj分析，根據(jù)上述步驟代入式（3）中。計算過程為

結果分析表明，2CPR/UPU 并聯(lián)機構具有空間三維移動的運動特性，耦合度k為0，機構的運動學和動力學分析容易、實時控制精度高；另外，位置正解具有符號解。

2 機構的位置分析

2.1 位置逆解分析

機構位置逆解分析是指通過動平臺位置輸出得到輸入的表達式的過程[13]。設定動平臺位置中心P點坐標（x，y，z），即為動平臺位置輸出。將靜坐標系{O-xyz}建立在靜平臺中心。

已知P點坐標（x，y，z），利用平移轉換原理映射到Ai點在靜坐標下的坐標點，即A1（x，y-r，z）、A2（x-r，y，z）、A3（x，y+r，z）。同樣，可得到Ai點在靜坐標下的坐標點B1（0，-R，0）、B2（-R，0，0）、B3（0，R，0）、M1（R，-R，0）、M2（-R，-R，0）、M3（-R，R，0）、M4（R，R，0）。

根據(jù)移動副的位移恒定為li，建立約束方程為

對于支鏈2、支鏈3 而言，B2和B3的位置不固定，通過向量之間的外積原理，推導得到的關系等式為

通過等式（13）和等式（14），得到運動約束方程為

分離變量得到逆解表達式為

2.2 位置正解分析

位置正解分析是指已知移動副輸入（l1，l2，l3）推導出動平臺執(zhí)行末端位置（x，y，z）的過程。利用等式（15）推導出運動學正解符號解析式為

3 奇異分析

3.1 機構雅可比矩陣

機 構 的 輸 入l=（l1，l2，l3）T，所 對 應 的 速 度l?=(l?1，l?2，l?3)T，動 平 臺 執(zhí) 行 末 端 位 移X=（x，y，z）T，執(zhí)行末端速度可表示為=(vx，vy，vz)T。

同時，對等式（15）求導并分離變量，推導出機構正逆解雅可比矩陣。

式中，Jl為逆雅可比矩陣；JX為正雅可比矩陣。

若JX非奇異，則

[76]Economic Survey of Burma, 1954, Rangoon: Superintendent, Union Govt Printing and Stationery, 1954, p.10.

若Jl非奇異，則

3.2 逆解奇異性分析

機構逆解奇異發(fā)生的條件為det(Jl)= 0 且要求det(JX)≠0。計算得到det(Jl)表達式為

det(Jq)= 8l1l2l3（22）

滿足det(Jl) = 0 的條件有3 種情況，分別是支鏈1、支鏈2、支鏈3驅動副位移為0，當任意支鏈驅動副位移為0時，機構處于臨界位置狀態(tài)，該情況下會處于卡死狀態(tài)。該情況也叫邊界奇異。通過控制驅動副的移動范圍可有效地解決該極限邊界奇異發(fā)生。圖3所示為逆解奇異。

圖3 逆解奇異情形Fig.3 Singular case of inverse solution

3.3 正解奇異性分析

機構正解奇異發(fā)生的條件為det(JX)= 0 且要求det(Jl)≠0。經(jīng)推導計算得到det(JX)的表達式為

正解奇異出現(xiàn)條件為det(JX)= 0，即存在條件是x= 0或y=R-r或z= 0。

圖4 正解奇異情形Fig.4 Singular case of positive solution

3.4 混合奇異性分析

機構混合奇異發(fā)生的條件為det(JX)= 0 且det(Jl)= 0，所有支鏈驅動副位移為0，則要求動靜平臺尺寸相同，即R=r。因此，混合奇異存在條件為{l1=l2=l3= 0，R=r}。此時，動靜平臺理論上重合才能出現(xiàn)該奇異。該奇異失去自由度，應當在設計過程避免出現(xiàn)?；旌掀娈惾鐖D5所示。

圖5 混合奇異情形Fig.5 Mixed singular case

4 機構的工作空間分析

機構的運動范圍主要受主動副運動范圍、運動學逆解、轉角干涉等約束條件所限制[14]。在仿真分析并聯(lián)機構工作空間的過程中，需要結合這些約束條件，采用極值搜索法得到工作空間的邊界，邊界點內點的集合即搜索得到的工作空間圖形。以表1中的算例參數(shù)值為例。

表1 機構的一組參數(shù)值Tab.1 A set of parameter values of the mechanism

由圖6所示可知，工作空間形狀呈半橢圓形，且工作空間邊界位置光滑，并沒有空洞，形狀對稱性較好；在x-o-y投影面關于y=0 對稱分布，類似“傘狀”分布；在y-o-z投影面完全關于y=0 對稱分布，呈橢圓形狀分布；在x-o-z投影面，形狀類似橢圓形狀，關于y=0.1對稱，整個工作空間較大。

圖6 工作空間三維圖Fig.6 3D diagram of the mechanism workspace

5 并聯(lián)機構運動靈巧性分析

靈巧度是一種評價并聯(lián)機構運動過程中傳遞精度的性能指標。靈巧度越高，機構的各向同性越好[15]；一般根據(jù)運動學方程的雅可比矩陣進行計算分析。靈巧度具體定義為

當GCI= 0 或者接近0 時，所對應的雅可比矩陣為病態(tài)矩陣，機構的運動性能較差，輸入輸出之間的傳遞精度低；反之，當GCI= 1 或者接近1 時，機構的運動性能較好，且對應的輸入輸出的傳遞精度高，運動傳遞偏差小。利用上述定義公式，通過Matlab 軟件，根據(jù)圖7所示靈巧度在工作空間內的搜索流程，采用極坐標搜索法完成整個搜索過程，計算執(zhí)行末端在操作空間內的運動靈巧度分布。

圖7 運動靈巧度搜索流程圖Fig.7 Flow chart of motion dexterity search

圖8所示為機構在工作空間內靈巧度分布以及不同高度下靈巧度分布圖。由圖8中可知，工作空間表面的靈巧度分布均勻，當z=0 時，GCI= 0 或者接近0，機構的運動性能較差，輸入輸出之間傳遞精度差。z=0.1 m 時，運動性能由外向內越來越大，機構的傳動精度越來越高，所對應的靈巧度在中間區(qū)域最大，最大值為0.75左右。z=0.2 m時，中間區(qū)域的靈巧度略高于邊界區(qū)域的靈巧度，中間區(qū)域的靈巧度最高可達0.4左右。當z=0.3 m和z=0.4 m時，靈巧度不隨位置而改變，所有的靈巧度相同，各位置分布均勻，傳遞性能一般，輸入輸出之間傳遞精度不高。

圖8 運動靈巧度分布圖Fig.8 Distribution of movement dexterity

6 尺度綜合

6.1 優(yōu)化模型建立

考慮到實際工程需求，期望獲得更好的運動靈活性性能。可通過優(yōu)化2CPR/UPU并聯(lián)機構的幾何設計變量來解決尺寸綜合問題。建立目標函數(shù)以及給定結構參數(shù)約束范圍分別為

6.2 優(yōu)化算法的選擇

針對上述含有約束變量的單目標問題，選擇一種模仿蝗蟲在自然界的群集行為的蝗蟲優(yōu)化算法（Grasshopper optimization algorithm，GOA）[16]對目標函數(shù)進行優(yōu)化設計。在求解未知搜索空間的實際問題時，GOA 算法在迭代過程中可搜索得到精確的全局最優(yōu)值，具有迭代精度高、擴展性強、優(yōu)化效率高的特點[17]。蝗蟲優(yōu)化算法的參數(shù)選取如表2所示。

表2 蝗蟲優(yōu)化算法參數(shù)Tab.2 Parameters of grasshopper optimization algorithm

根據(jù)Matlab 軟件編程得到優(yōu)化目標隨迭代次數(shù)的變化圖如圖9 所示。目標函數(shù)在迭代次數(shù)為40 左右時趨于穩(wěn)定，并穩(wěn)定在0.374 2 左右。得到優(yōu)化后的尺寸參數(shù)的最優(yōu)值如表3所示。

圖9 優(yōu)化目標隨迭代次數(shù)變化圖Fig.9 Variation of optimization objectives with iteration times

表3 2CUP/UPU并聯(lián)機構參數(shù)值對比Tab.3 Comparison of parameter values of 2CUP-UPU parallel mechanism

6.3 優(yōu)化算例分析

利用優(yōu)化后的結構參數(shù)得到的靈巧度分布圖如圖10 所示。和之前的初始經(jīng)驗值相比，優(yōu)化后的靈巧度得到顯著提高，相比之前提升了將近1倍，性能得到大幅提升；優(yōu)化后的機構靈巧度分布均勻，邊界表面相比之前得到很大改善，且內部的靈巧度最大值最高可達1。此時的機構運動過程中，傳遞精度高，運動傳遞偏差小。結果表明，優(yōu)化后的機構性能相對之前更加優(yōu)越；算例分析結果也說明了算法的有效性和可靠性。

圖10 2CUP/UPU并聯(lián)機構優(yōu)化后靈巧度分布圖Fig.10 Distribution of dexterity after optimization of 2CUP-UPU parallel mechanism

7 結論

（1）設計了一種弱耦合的空間三平移并聯(lián)機器人機構。該機構具有輸入輸出實時控制精度高、結構簡單、工作空間大、控制容易等諸多優(yōu)點。

（2）通過建立的運動學方程模型，研究了奇異性存在條件以及工作空間、靈巧度等性能。結果表明，機構的工作空間性能較大，且邊界光滑無任何空洞的情況；另外，運動靈巧度較好且靈巧度分布均勻。

（3）根據(jù)優(yōu)化仿真模型完成了全局靈巧度的優(yōu)化設計。最優(yōu)化參數(shù)R、r、l尺寸對應的參數(shù)值分別為1.06、0.8、0.4。優(yōu)化后的機構全局靈巧度提升約為原來的2倍，較之前運動性能更為優(yōu)越。