基于實測點坐標的圓柱齒輪齒面偏差評定方法

李偉東 李文濤 楊易凱 曹雪梅 念朝暉

（1 河南科技大學 機電工程學院， 河南 洛陽 471003）

（2 河南科技大學 學生處， 河南 洛陽 471003）

（3 河南科技大學 國際教育學院， 河南 洛陽 471003）

0 引言

為了提高齒輪嚙合性能，通常采用對漸開螺旋面拓撲修形的方法，即沿齒廓和齒寬進行修正[1]，這需要將全齒面拓撲偏差信息用于齒面精密加工的數字化控制。目前，實現齒輪精度全面、高精度、低成本的測量仍然是研究的熱點。石照耀等[2]提出圓柱齒輪齒面三維誤差表征可充分挖掘齒輪誤差信息中包含的物理和工程意義參數；基于嚙合坐標系表征齒面誤差，通過Legendre 多項式分解了齒面誤差。林虎等[3]提出了一種基于正交距離回歸齒面的誤差計算方法，研究了齒面特征線誤差的評定算法和拓撲齒形誤差的計算與分解。曹雪梅等[4]1799-1780提出了一種基于三坐標測量的弧齒錐齒輪的齒面檢測方法，為齒面質量控制數字化提供了條件。Pei 等[5]提出了高精度齒廓徑向跳動測量算法。林家春等[6]利用激光跟蹤儀采集齒面數據點，獲得了大型齒輪齒廓偏差。魏建杰等[7]對ISO 1328-1：2013的齒廓偏差定義及評定方法進行了計算和分析。Koulin 等[8]利用粗糙度測量儀檢測表面特征，建立了粗糙度與齒廓偏差相關聯的數學模型，并進行了試驗驗證。Lin 等[9-10]利用擬合算法實現漸開線圓柱齒輪齒廓測量數據與理論齒廓模型擬合，得到了齒廓偏差曲線。

隨著齒面拓撲修形技術的廣泛使用，綜合評價拓撲修形齒面是加工參數反調修正及齒輪副嚙合性能評價的重要依據。齒輪檢測中心僅提供了齒廓偏差和螺旋線偏差，無法全面評價齒面拓撲結構，難以滿足圓柱修形齒輪齒面加工反調修正的目的。本文中根據圓柱齒輪齒面實測點坐標，通過角向定位，建立實測點與理論漸開螺旋面齒面點的一一映射關系，計算了齒面三維拓撲偏差；在此基礎上降維處理，得到二維偏差曲線——齒廓偏差、螺旋線偏差；采用最小二乘法建立了齒廓偏差和螺旋線偏差的評定方法。通過提煉齒面三維測量數據，為齒面精密加工數字化控制和嚙合性能評估提供依據。

1 構建實測齒面的齒面拓撲偏差

1.1 建立理論漸開線螺旋面方程

理論斜齒圓柱齒輪齒面為標準漸開線螺旋面，其齒面方程為

式中，u、θ均為齒面參數；rb為基圓半徑；P1為螺旋參數，有

式中，mn為法向模數；z為齒數；β為齒輪螺旋角，左旋為正，右旋為負。

1.2 確定與實測點對應的理論齒面點

圖1所示為齒面旋轉投影面，橫坐標軸H為齒輪的回轉軸，縱坐標軸R軸為旋轉投影軸。為了避讓倒角區和齒根過渡曲面，應設定齒面檢測范圍，m為齒寬方向檢測點數，n為齒高方向檢測點數。設實測齒面點為p′ij(x′ij，y′ij，z′ij)（其中，i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）。根據實測點坐標確定相應的理論齒面點，理論齒面點為Pij(xij，yij，zij)。

圖1 齒面網格規劃Fig.1 Tooth surface mesh planning

將齒面所有實測點投影到旋轉投影面上，其坐標值為

其中，i= 1，2，…，m；j= 1，2，…，n。

實測點與對應理論齒面點在旋轉投影面的位置重合，在二維投影平面的位置關系為

其中，i= 1，2，…，m；j= 1，2，…，n。

求解該二維非線性方程組，即可求出理論齒面點的參數(u，θ)，進而確定與實測點對應的理論齒面點Pij坐標(xij，yij，zij)。

1.3 實測齒面的角向定位

理論齒面和實測齒面在齒輪不同的角向位置，因此，需進行角向定位[4]1800-1801，即角向基準重合。實際齒面轉動ψ角度后，角向定位基準點(x′m，y′m，z′m)應與理論齒面重合，完成實測齒面的角向定位，即

求解三維非線性方程組（5），得到實測齒面與理論齒面在基準點重合時的θ、u、ψ；再將所有測點全部繞z軸旋轉ψ角，即可完成角向定位，即

其中，i= 1，2，…，m；j= 1，2，…，n。

1.4 實測齒面與理論齒面拓撲偏差

齒面拓撲偏差定義為：沿理論齒面給定測點法線方向，實際齒面測點與理論齒面的偏離距離。實測點的齒面誤差為

式中，γij為實際齒面測點到理論齒面測點的連線與理論齒面測點法線的夾角。其中，i= 1，2，…，m；j= 1，2，…，n。

圖2所示為齒面拓撲偏差圖。圖2中，R為齒高方向，H為齒寬方向。網格點對應的偏差為測點偏差值。

圖2 齒面拓撲偏差圖Fig.2 Tooth surface topological deviation diagram

2 實測齒面偏差評定

2.1 實測齒面齒廓偏差評定

齒廓偏差定義為：在端截面上，齒廓工作部分內，包容實際齒廓且距離為最小的兩條設計齒廓間的法向距離。根據最小二乘法確定齒廓的方法為：尋找一條最短直線，使各個采樣點偏差值相對于該理想直線的偏差的平方和最小。所得到的極值之差作為評定的誤差值，所得到的直線即為平均齒廓跡線[11]。齒廓偏差可分為齒廓總偏差Fα、齒廓形狀偏差ffα和齒廓傾斜偏差fHα。

根據構建的齒面拓撲偏差圖，做H軸的切片，得到不同齒寬位置的齒輪端截面齒廓偏差曲線圖，如圖3 所示。圖3 中，δj軸為實測點的齒廓偏差值；tj軸為測量點位置。平均齒廓跡線可采用最小二乘法確定。

圖3 齒廓偏差示意圖Fig.3 Schematic diagram of tooth profile deviation

設平均齒廓跡線方程為

則各個測點到平均齒廓跡線的偏差為

偏差的平方和為

根據最小二乘法原理，偏差值的平方和最小。為使Q1值最小，有

求解方程得

齒廓形狀偏差ffα、齒廓傾斜偏差fHα和齒廓總偏差Fα分別為

式中，δmax、δmin分別為實測點到平均齒廓跡線的最大、最小距離。

式中，tjmax、tjmin分別為實測點起始與截至位置坐標。

式中，δjmax、δjmin分別為實測點最大、最小偏差。

2.2 實測齒面螺旋線偏差評定

螺旋線偏差定義為：在端面基圓切線方向上測得的實際螺旋線偏離設計螺旋線的量。螺旋線偏差可分為螺旋線總偏差Fβ、螺旋線形狀偏差ffβ和螺旋線傾斜偏差fHβ，其中，螺旋線傾斜偏差fHβ反映的是斜齒圓柱齒輪螺旋角偏差。

根據齒面拓撲偏差圖，做R軸的切片，得到不同齒高位置的螺旋線偏差圖。圖4所示為螺旋線偏差示意圖。

圖4 螺旋線偏差示意圖Fig.4 Schematic diagram of helix deviation

同理，根據最小二乘法原理，確定平均螺旋線跡線，計算測點到平均螺旋線跡線的最大、最小距離分別為δmax、δmin，進而確定螺旋線總偏差Fβ、螺旋線形狀偏差ffβ和螺旋線傾斜偏差fHβ。

3 算例分析

3.1 齒輪參數

檢測一個圓柱齒輪，齒輪參數如表1所示。根據實測齒面點坐標，計算三維齒面拓撲偏差及齒廓偏差和螺旋線偏差；在Gleason 650GMS 測量中心檢測齒輪精度（圖5），并對齒輪偏差結果進行分析對比。

表1 齒輪參數Tab.1 Gear parameters

圖5 Gleason 650GMS檢測Fig.5 Gleason 650GMS detection

3.2 齒面偏差分析

齒寬方向檢測點數為5個，齒廓方向檢測點數為9 個，根據測點坐標值，計算齒面偏差。圖6 所示為實測齒面拓撲偏差圖，從圖6中可以看出，齒面偏差主要是壓力角偏差；齒頂部螺旋線偏差較大。

圖6 實測齒面拓撲偏差圖Fig.6 Topological deviation diagram of measured tooth surface

3.3 齒廓偏差評定

沿齒寬方向對齒面拓撲偏差圖切片，得到齒廓偏差圖。圖7所示為齒寬位置20.529 mm的齒廓偏差曲線，表2 所示為計算得到的齒廓傾斜偏差fHα、齒廓總偏差Fα和齒廓形狀偏差ffα。

圖7 齒廓偏差圖Fig.7 Tooth profile deviation diagram

表2 齒廓偏差計算結果Tab.2 Tooth profile deviation calculation results

圖8 所示為Gleason 650GMS 檢測的齒廓偏差圖及檢測報告單。

對比表2 和圖8 中可知，本文中方法計算的齒廓傾斜偏差fHα為-18.4 μm，Gleason 650GMS 檢測結果為-20.4 μm，差值為2.0 μm；本文中方法計算的齒廓總偏差Fα均值為19.9 μm，Gleason 650GMS 檢測結果為19.5 μm，差值為0.4 μm；本文中方法計算的齒廓形狀偏差ffα均值為3.3 μm，Gleason 650GMS檢測結果為5.5 μm，差值為2.2 μm。

圖8 Gleason 650GMS齒廓偏差檢測報告Fig.8 Gleason 650GMS tooth profile error detection report

3.4 螺旋線偏差評定

沿齒高方向對齒面拓撲偏差圖切片，得到螺旋線偏差圖。圖9 所示為展角23.46°的螺旋線偏差圖，表3 所示為計算得到的螺旋線傾斜偏差fHβ、螺旋線總偏差Fβ和螺旋線形狀偏差ffβ。

圖9 螺旋線偏差圖Fig.9 Helix deviation

表3 螺旋線偏差計算結果Tab.3 Helix deviation calculation results

圖10 所示為Gleason 650GMS 檢測的螺旋線偏差圖及檢測報告單。

對比表3 和圖10 中可知，本文中方法計算的螺旋線傾斜偏差fHβ均值為-6.1 μm，Gleason 650GMS檢測結果為-6.4 μm，差值為0.3 μm；本文中方法計算的螺旋線總偏差Fβ均值為6.4 μm，Gleason 650GMS檢測結果為7.1 μm，差值為0.7 μm；本文中方法計算 的 螺 旋 線 形 狀 偏 差ffβ均 值 為2.3 μm，Gleason 650GMS檢測結果為3.2 μm，差值為0.9 μm。

圖10 Gleason 650GMS螺旋線偏差檢測報告Fig.10 Gleason 650GMS spiral deviation detection report

根據實測點數據，計算齒廓偏差和螺旋線偏差，計算結果與Gleason 650GMS 檢測報告基本一致。本文中僅對1 個齒面沿齒寬中點和展角位置計算了齒廓偏差、螺旋線偏差。Gleason 650GMS 檢測中心測量檢測了4 個齒面，計算平均偏差，結果也將更加精確。

4 結論

基于圓柱齒輪實測齒面點坐標，構建齒面三維拓撲偏差圖，直觀地反映了全齒面偏差，為全齒面數字化控制提供了依據；基于齒面三維拓撲偏差圖，沿齒寬和齒高方向切片，得到不同位置的齒廓偏差曲線和螺旋線偏差曲線，給出齒廓偏差和螺旋線偏差計算方法。由本文中方法檢測結果與Gleason 650GMS齒輪檢測中心的檢測報告對比可知，計算精度與Gleason 650GMS 報告基本一致。本文中方法可為齒面精密數字化控制提供依據。