兩種分布曲線快速選型法在水文極值分析中的應用

任趙飛，王科華，張 軍，李偉儀

（中交第四航務工程勘察設計院有限公司，廣東廣州 510290)

引言

目前，水文極值分析中常采用適線法[1-2]進行概率分布的選型和極值的擬合計算，這種方法優點在于比較靈活的考慮多種因素對分布曲線的影響，缺點在于人的主觀任意性較強，不同的人即使采用同一種分布函數，得出的結果差異也可能較大。2015 年，孟彩俠等[3]分析比較了excel、頻率計算軟件和集對分析三種擬合方法的優缺點，認為集對分析法在一定程度上克服了常規目估適線法的主觀任意性。隨著商業軟件的廣泛應用，基于R 軟件[4]、MIKE 軟件等進行的水文頻率計算和適線繪制極大的提高了工作效率，但他們也是基于目估的適線法。杜懿等[5]應用K-S 檢驗和A-D 檢驗分析6 種分布理論函數在降雨極值分析中的優劣。倪世偉等[6]提出基于Cs和Ck相對關系進行徑流量分布函數的初步選型，但僅涉及4 種分布函數。

本文結合菲律賓馬尼拉灣某項目極值風速設計，在對比國內外規范的基礎上，分別采用兩種理論分布快速選型方法選出的理論分布進行極值風速擬合，并對所得結果進行分析對比。所得成果可為類似工程設計提供參考。

1 K-S 檢驗和A-D 檢驗

K-S和A-D是兩種統計學中常用的擬合優度檢驗方法，主要用來檢驗給定樣本是否服從指定的分布函數，屬于非參數檢驗方法[5]。

K-S 檢驗是以兩位蘇聯數學家Kolmogorov 和Smirnov[6]的名字命名的，它是一個擬合優度檢驗。K-S 檢驗通過對兩個分布之間的差異的分析，判斷樣本的觀察結果是否來自制定分布的總體。A-D（Anderson-Darling）檢驗是對K-S 檢驗的一種修正[5]，相比K-S 檢驗它加重了對尾部數據的考量，K-S 檢驗具有分布無關性，它的臨界值并不依賴被測的特定分布，而A-D 檢驗使用特定分布去計算臨界值，這使得A-D 檢驗具有更靈敏的優勢。

其中，K-S和A-D檢驗的統計量定義分別如下：

其中：D為K-S 檢驗的統計量；A2為A-D 檢驗的統計量；n為樣本序列的長度；Fn(x)表示指定樣本序列的經驗分布；F0(x) 表示指定樣本序列的理論分布。統計量值越小，說明指定分布函數的擬合效果越好，表現越優。詳細計算原理與步驟見文獻[7]。

2 偏度系數Cs和峰度系數Ck

2.1 Cs/Ck的統計學含義

偏度系數Cs主要用于反映樣本概率密度曲線的對稱特征[1]，即衡量樣本在均值兩側分布的對稱程度的參數。水文現象大多屬于正偏，Cs>0。峰度系數Ck主要用于反映樣本概率密度曲線在眾數附近的“峰”的尖峭程度，正態分布的Ck=0。樣本偏度系數Cs和峰度系數Ck的計算式如下：

式中：n為樣本數；為樣本均值，σ為樣本方差。

2.2 不同理論分布函數的Cs和Ck

水文分布函數的Cs和Ck匯總如表1。

表1 不同理論分布函數的Cs和Ck

采用Matlab 編程，將上文提及的頻率分布函數的Cs和Ck相對關系集中顯示對比，如圖1 所示。

圖1 Cs和Ck相對關系

概率分布初步選型的主要步驟為：首先，根據表1 公式計算并繪制不同分布函數的Cs～Ck相對關系曲線；然后計算選取樣本的Cs與Ck值，并將其繪制到上述Cs～Ck曲線中；最后選擇與樣本點距離最近的理論分布作為初步推薦的概率分布。上述方法的核心原理在于，當樣本的Cs～Ck點越靠近理論分布的Cs～Ck曲線或點，則該理論分布越能較好的擬合出樣本的對稱性和扁平度。

3 實例應用

3.1 基本資料

以菲律賓馬尼拉灣某項目為例。采用近海NOAA 1979～2016 年共37 年風后報數據為基礎風場數據，如圖2 所示。

圖2 菲律賓馬尼拉灣近海風速時間過程

由于工程區域受臺風影響明顯，臺風期NOAA風的后報數據極值風速偏低，選取1977～2015 年工程位置200 km范圍內的35場典型臺風，采用Young&Sobey 臺風場模型，利用JTWC 臺風資料（其中包括時間、路徑、臺風中心最大風速和臺風中心氣壓等）生成局部大范圍海域臺風典型風場，其中1995 年臺風ANGELA 典型風場見圖3。

圖3 臺風ANGELA 典型風場(1995.11)

以NOAA 后報風數據和JTWC 臺風場數據為基礎，共同合成工程位置37 年風數據時間序列。合成過程中采用典型臺風風場模擬數據替換同期NOAA 后報風數據。

3.2 國內外規范對極值風速理論分布曲線的規定

關于極值風速統計分析所采用的理論分布，中國規范《海堤工程設計規范》[9]（GB/T 51015-2014）和《建筑結構荷載規范》[10]（GB 50009-2012）推薦采用極值I型，美國海岸工程手冊[11]（CEM）推薦采用FT-I、FT-II 和威布爾（Weibull）分布，中國規范《港口與航道水文規范》[12]（JTS 145-2015）、英國規范（BS 6349）[13]、西班牙規范（ROM 0.4-95）提供了多種理論分布，并表明要以擬合最佳為原則選配。各國標準中，英國規范（BS 6349）明確指出極值統計分析中要確定外推值的置信區間，并明確數據樣本必須確保各自相互獨立，一場風暴最多只能選擇一個樣本參與極值統計。

總體而言，理論分布的選取，應以擬合最佳為原則進行選配，同時要確定外推值的置信區間。下文將基于2種樣本篩選方法得到的典型樣本進行理論分布的快速選型。

3.3 基于典型樣本的理論分布快速選型

分別采用年極值法（Annual Maximum Method）和閾值法（Peak Over Threshold Method）從37 年合成風速時間序列中篩選出不分方向的極值風速樣本系列。

1）利用Cs～Ck相對關系進行理論分布快速選型

分別計算年極值法樣本和閾值法樣本的偏度系數Cs和峰度系數Ck，并結合圖1 中不同分布的Cs和Ck，見圖4。

圖4 兩類樣本和不同理論分布的Cs和Ck關系曲線

從圖4 可以直觀看出，對于篩選的樣本，年極值法樣本系列Cs～Ck點與G-Pareto 和Weibull 理論分布的Cs～Ck曲線相對更近，閾值法樣本系列Cs～Ck點與G-Pareto、Pearson-III 和Weibull 理論分布的Cs～Ck曲線相對更近。

2）利用K-S 檢驗和A-D 檢驗進行理論分布快速選型

當K-S/A-D 檢驗的統計量小于對應于顯著性水平ɑ=0.05 時的臨界值（Critical Value）時，認為樣本來自具有理論分布的總體，即符合理論分布，反之亦然。

從表2 可以看出，年極值法序列檢驗中，G-Pareto 和Pearson-III 均表現良好，Frechet 表現稍差，但均滿足顯著性水平；閾值法序列檢驗中，Weibull 表現最好，其次G-Pareto 和Frechet 表現稍差，但也均滿足顯著性水平。Gumbel、指數分布以及瑞利分布在K-S 檢驗/A-D 檢驗中均表現較差，選取的樣本不滿足相應頻率分布的顯著性檢驗水平。Log-Normal 分布對于年極值法序列，K-S/A-D檢驗均良好，滿足顯著性水平，但對閾值法序列的檢驗較差，不滿足顯著性水平。

表2 兩類樣本點的K-S 和A-D 檢驗結果

3.4 理論值

基于3.3 節初步結論，對于年極值法樣本系列，本案例采用G-Pareto、Pearson-III、Frechet 以及Weibull 理論分布進行適線擬合，對于閾值法樣本系列，采用Weibull 和G-Pareto 理論分布進行擬合，并給出95 %置信度的限值。

3.5 結果分析

分布的選擇上，從3.3 節初步對比：

1）兩種方法優選推薦的理論分布函數基本一致，即年極值法序列推薦G-Pareto 和Pearson-III 理論分布；閾值法序列推薦Weibull 和G-Pareto 理論分布。

2）兩類樣本的基于Frechet 分布的K-S/A-D 檢驗均滿足顯著性水平，而樣本的Cs～Ck分布點卻距離Frechet 理論分布Cs～Ck曲線較遠。

3）閾值法樣本Cs～Ck分布點距Pearson-III 理論分布Cs～Ck曲線較近，A-D 檢驗也滿足顯著性水平，但K-S 檢驗的統計量略大于臨界值?？傮w而言，兩類方法各有其特點，實際應用中建議結合使用，雙向驗證，從而選出最適宜所選樣本的理論分布。

極值分析上，對比表3：

表3 極值風速分析結果(m/s)

1）以上分布對極值風速的擬合結果均較好，且采用不同分布得到的同一重現期設計風速偏差在10 %以內。

2）閾值法樣本擬合得到的重現期風速總體略大于年極值樣本擬合的結果，且頭部大樣本均位于估計均值的下方，表明可能存在重現期風速總體估計偏小的風險。

3）為了最大程度的減小設計風速估計偏小的風險，確定外推值的置信區間是非常必要的。本文給出設計極值95 %置信區間上下限值，所有樣本均處于95 %置信區間范圍內。

4 結語

本文結合菲律賓馬尼拉灣某項目極值風速分析，通過比較對理論分布兩種快速選型方法，初步表明：兩種方法優選推薦的理論分布函數高度一致，但對于個別理論分布存在差異，建議實際應用中應雙向驗證，從而選出最適宜所選樣本的理論分布?；趦深惙椒ㄍ扑]的理論分布，進行極值風速估計，初步表明：

1）推薦分布對極值風速的擬合結果均較好，且同一重現期設計風速偏差在10 %以內。

2）閾值法樣本擬合得到的重現期風速總體略大于年極值樣本擬合的結果，且頭部大樣本均位于估計均值的下方，表明可能存在重現期風速總體估計偏小的風險。

3）為了最大程度的減小設計風速估計偏小的風險，確定外推值的置信區間是非常必要的。本文給出設計極值95 %置信區間上下限值，所有樣本均處于95 %置信區間包絡線內。