不同粗糙度下磨削表面形貌特征與仿真研究

梁瑞，成棟才，姜峰

(蘭州理工大學 石油化工學院，甘肅 蘭州 730050)

0 引言

磨削密封面在許多精密儀器中應用十分廣泛，故研究磨削表面的微觀形貌結構特征對分析界面密封、摩擦、磨損等具有重要的意義。表面形貌就像人的指紋一樣蘊含著豐富的加工信息，通過這些加工信息可以預測工件表面形貌分布規律、控制工件表面質量和指導加工制造等。在工程中表面形貌分布主要分為兩種，即高斯分布和非高斯分布[1-2]。這兩種分布有時可以同時存在于工件中，比如，高斯分布的表面如果經歷一些微動摩擦、磨損或者腐蝕之后也會呈現出非高斯分布的情況。

表面形貌的研究手段有試驗和仿真兩種。目前主要以試驗研究為主，其特點是準確、直觀，只需借助實驗設備得到實驗數據，對實驗數據運用數理統計的方法進行處理分析就能得出結果，如PLOURABOUE F等[3]應用原子顯微鏡通過多尺度方法對冷軋鋼表面形貌進行了定性的分析；MA B等[4]通過試驗測量，在不同壓下量、不同潤滑條件下分析了工件表面的形貌。而仿真研究的結果具有不確定性，需要進行理論或者實驗的驗證才能確保結論的正確性。仿真需要建立在一定理論模型的基礎上來研究，目前研究表面形貌的理論模型有蒙特卡洛模型[5]、自動回歸模型[6]、隨機中點位移模型[7]、神經網格模型[8]、函數序列模型[9]等，但是這些模型都是不同學者的嘗試，還沒有一種理論模型被學界廣泛認可。

分形幾何學的創立者MANDELBROT B B[10]認識到物體表面形貌非常復雜并且符合分形的幾何特征，后來分形理論逐漸被引入到表面輪廓的研究中。近年來一些國內學者應用分形理論在表面接觸模型的研究中做出了很多開拓性的成果[11-12]，但是對于整體分析表面輪廓高度分布的文章鮮有報道，特別是磨削表面的形貌分布具體呈現怎樣的規律并不是很清楚。結合雙變量W-M分形函數運用Matlab仿真可對磨削表面形貌分布特征進行深入的研究。

1 磨削表面輪廓高度仿真

1.1 不同坐標下的W-M函數

粗糙表面輪廓形貌具有隨機性和無序性，因此想要準確描述粗糙表面的形貌規律，必須建立與尺寸無關的參數來描述。雙變量W-M函數結合分形理論可以用于描述粗糙輪廓[13-14]，其極坐標方程為

{cosfm,n-cos[k·γn·ρ·cos(θ-αm)+fm,n]}

(1)

(2)

1.2 三維輪廓高度仿真

把分形參數與實際粗糙表面的表面粗糙度結合起來具有重要的現實意義。索雙富等[15]用實驗的方法研究了分形維數D和輪廓算術平均偏差表面粗糙度Ra之間的關系為

(3)

聯立式(2)和式(3)得到Ra與Z(x，y)之間的關系如下：

(4)

為了得到隨機相位下不同表面粗糙度的表面輪廓示意圖，現取樣本長度L=5 mm；截止長度Ls=1 nm；隨機相位φm,n不同，得到的表面輪廓的示意圖也略有差別。φm,n可以用Matlab中隨機函數rand()與2π的乘積來實現，于是得到圖1所示在磨削情況下不同表面粗糙度的三維輪廓高度的分布圖，其中x軸與y軸表示采樣長度。

圖1 三維輪廓高度分布圖

粗糙度除了用Ra表示外，有時還會用Rz來表示。Rz是指在取樣長度內5個最大輪廓峰高的平均值和5個最大輪廓谷深的平均值之和，稱作十點平均粗糙度。在國內Rz與Ra的關系通過試驗得出一個經驗公式[16]：Rz=4.5Ra0.971。通過D與Ra、Rz與Ra以及二維分形維數Ds與D之間的關系，最后得到了如表1所示Ra、Ds、D、和Rz之間的對照關系。

表1 Ra、Ds、D和Rz對照表

從圖1中得到，當Ra為0.8、1.6、3.2時，輪廓高度的范圍分別不超過4、8、16，這與表1中Rz得出的經驗數值很接近，說明仿真結果能夠反映實際磨削下的輪廓高度大小的范圍。下面將進一步研究磨削表面輪廓高度分布的規律以及仿真結果是否能夠反映實驗結果。

2 磨削表面形貌分布規律

為了使研究結果更具有說服力，先通過分析磨削表面輪廓實驗數據得出結果，再通過分析雙變量W-M函數，從仿真數據中提取輪廓高度數據進行分析，最后把兩者進行比較得出結論。

2.1 實驗結果分析

從前面已經知道，粗糙表面的輪廓高度分布規律呈現高斯分布和非高斯分布兩種。高斯分布又名正態分布，于1733年由德國數學家Moivre首次提出，其概率密度函數為

(5)

式中：f(x)為概率密度函數；σ為標準差；μ為均值。

為了研究磨削粗糙平面的形貌分布規律，將文獻[17]中有關磨削實驗的Ra為0.8、1.6、3.2的3種試樣的實驗數據進行Matlab軟件處理，根據GB/T131—2006中對Ra及基準線的規定找到一條基準線，分析得到3種不同表面粗糙度的試樣磨削表面輪廓高度分布，它們都呈高斯分布的規律，如圖2所示。

圖2 實驗輪廓高度分布

圖2表明，3種表面粗糙度下高斯曲線的均值μ均為0，說明在數據分析過程中對基準線確定是正確的。當Ra=0.8時，σ=1.1，根據正態分布的定義，此時磨削表面的形貌高度分布規律呈標準正態分布；當Ra依次取0.8、1.6、3.2時，σ的值分別為1.1、2.0、3.5，這表明隨著Ra增大磨削表面輪廓高度分布趨于分散。根據表1可知隨著Ra增大，分形維數在不斷減小，表面形貌趨于簡單。

2.2 W-M函數分析

在雙變量W-M函數中，粗糙表面服從高斯分布時，γ取1.5，且γ與D之間不存在數學關系，主要是基于表面平整度和頻率分布密度的考慮，同時取非整數的目的也是為了使式(1)中空間頻率呈幾何級數變化的緣故，最后獲得余弦疊加和表現出隨機性。

隨機相位φm,n可用正態分布隨機函數randn()與2π的乘積來表示。此時公式(4)簡化為

(6)

公式(6)即為服從高斯分布下的W-M函數，用來描述磨削表面形貌高度分布規律。當表面粗糙度Ra取0.8、1.6、3.2時，運用公式(6)對磨削表面輪廓高度進行模擬仿真，獲得不同表面粗糙度下輪廓高度的模擬仿真數據。對數據進行分析研究，得到如圖3所示的磨削表面形貌高度分布圖。

圖3 仿真粗糙表面分布規律

2.3 兩種分析比較

從圖3中明顯看到，根據W-M結果也呈高斯分布，與實驗數據分析得到的結果是一致的。隨著Ra的增大，標準差也在依次增大，說明磨削表面輪廓高度分布隨Ra的增大越來越分散。這與分析磨削實驗數據得出的結論完全一致，故今后可以運用以上仿真的方法預測任意表面粗糙度下磨削表面的輪廓高度分布情況，對密封表面的加工具有一定的指導意義。

3 結語

綜上所述，根據仿真模擬得到的不同表面粗糙度下輪廓高度的大小范圍和分布規律與實驗數據分析得到的結論是一致的。具體有以下結論：

1)磨削粗糙表面形貌呈高斯分布；

2)隨著表面粗糙度Ra的增大，分形粗糙度G逐漸增大，分形維數D逐漸減小，表面輪廓微凸體重疊數目M呈遞減趨勢，但是變化幅度不大；

3)Ra越大，標準差越大，表面形貌輪廓高度分布越分散。