借題發(fā)揮 生長(zhǎng)思維
——一道課本習(xí)題的探究與拓展

項(xiàng) 當(dāng)

(湖北省武漢市光谷湯遜湖學(xué)校,430072)

一、原題呈現(xiàn)

人教版義務(wù)教育教科書(shū),八年級(jí)下冊(cè)第63頁(yè)(實(shí)驗(yàn)與探究)

分析本題難點(diǎn)在于重疊部分面積是不規(guī)則四邊形,無(wú)法直接求解,結(jié)合正方形的性質(zhì),現(xiàn)給出如下兩種方法求解．

二、 一題多解探根源

解法1如圖2所示,可證?AOE≌?BOF,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為如圖3的面積.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，

所以O(shè)A=OB∠OAE=∠OBF,∠AOB=90°.

又因?yàn)樗倪呅蜛1B1C1O為正方形，

所以∠A1OC1=90°，∠AOE=∠BOF.

所以?AOE≌?BOF，S?AOE=S?BOF,

所以SBEOF=S?BEO+S?BFO

=S?BEO+S?AOE

點(diǎn)評(píng)結(jié)合正方形的性質(zhì),將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積,進(jìn)而求解,本題也可證明?BEO≌?CFO,轉(zhuǎn)化為S?BOC.

解法2如圖4所示,過(guò)點(diǎn)O分別作OM⊥AB交AB于點(diǎn)M,作ON⊥BC交BC于點(diǎn)N,轉(zhuǎn)化為如圖5中的正方形MBNO的面積.

因?yàn)镺M⊥AB,ON⊥BC,

所以四邊形BMON為正方形,∠MON=90°，所以O(shè)M=ON.

因?yàn)?∠A1OC1=90°,

所以 ∠MOE=∠NOF,

所以?MOE≌?NOF,S?MOE=S?NOF.

所以SBEOF=SBMOF+S?MOE

=SBMOF+S?NOF

點(diǎn)評(píng)結(jié)合正方形的性質(zhì)及全等,將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積,進(jìn)而求解.

歸納1如圖6,對(duì)角互補(bǔ)模型

① 已知∠ABC=∠EOF=90°；

②BD平分∠ABC.

拓展:如圖7,點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上,

① 已知∠ABC=∠EDF=90°,

②BD平分∠ABC.

三、同源多解促思維

變式如圖9,正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn),求證:OE=OF.

解法1(共點(diǎn)等邊旋轉(zhuǎn)全等),同前解法一.

解法2(見(jiàn)角平分線作雙垂直)同前解法二.

解法3如圖10,11，在AB上截取BH=BF.

可證?ADE′≌?CDF(SAS).

所以O(shè)H=OF,∠OHB=∠OFB;

因?yàn)?∠OFB+∠OEB=180°,

∠OHB+∠OHE=180°，

所以 ∠OEB=∠OHE，OH=OE=OF.

解法4如圖12,過(guò)點(diǎn)A作AN∥OF,過(guò)點(diǎn)C作CM∥OE(中位線定理).

因?yàn)镺是AC的中點(diǎn),AN∥OF,

可證?ABN≌?CBM(AAS),

所以AN=CM,OF=OE.

解法5如圖13,14，延長(zhǎng)FO交AD于點(diǎn)N，過(guò)N點(diǎn)作NM∥AB,延長(zhǎng)EO交CD于點(diǎn)G,過(guò)G點(diǎn)作GH∥BC(構(gòu)造正方形“十字架”)

可證?AOE≌?COG,得OE=OG.

同理ON=OF.

可證?EGH≌?FNM,

所以EG=NF,OF=OE.

解法6如圖15.連結(jié)EF,取EF的中點(diǎn)I,連接IB,IO(中線長(zhǎng)定理)

因?yàn)镮為EF的中點(diǎn),

所以IB=IE=IF,IO=IE=IF,IB=IO.

所以∠IOB=∠IBO,∠IEB=∠IBE.

所以∠OIE=2(∠IBO+∠IBE)=90°,

∠OEF=45°=∠OFE,OF=OE.

解法7如圖16,17，延長(zhǎng)FO交AD于點(diǎn)N,連結(jié)EN,EF(一線三垂直).

可證 ?ADN≌?CDF(ASA).

EO垂直平分FN,EN=EF.

設(shè)AB=k,AE=m,BF=n.

m2+(k-n)2=n2+(k-m)2,解得m=n.

所以AE=BF,∠EAN=∠FBE,

EB=NA,∴AEN≌?BFE，

?ENF為等腰直角三角形.

所以DF=DE.

歸納2如圖18,對(duì)角互補(bǔ)模型

① 已知∠ABC=∠EOF=90°；

②BD平分∠ABC，

結(jié)論:①OE=OF；

拓展:如圖19,點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上.

結(jié)論:①OE=OF；

三、結(jié)束語(yǔ)

教師要引導(dǎo)學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,不僅要重視教材本身知識(shí)的學(xué)習(xí),還要學(xué)會(huì)將復(fù)雜圖形進(jìn)行“削枝剪葉留主干,追本溯源尋本質(zhì)”,要由淺入深,由繁到簡(jiǎn),循序漸進(jìn),形成一系列的問(wèn)題串、方法鏈、知識(shí)網(wǎng)，從而激發(fā)他們學(xué)習(xí)興趣,提升數(shù)學(xué)思維能力.這樣，我們就能讓教材的使用更加有效,數(shù)學(xué)教學(xué)更加高效．