配方法在初中數學解題中的靈活運用

?江蘇省泰興市洋思中學 戴曉峰

1 引言

在初中數學中，配方法是一種能夠靈活運用、十分重要且有效的解題思想和方法.它常見于各類數學問題的解答之中，現將其常見的解題思路與方法歸類解析如下.

2 配方法在各類題型中的靈活運用

2.1 在代數式運算中的運用

例1已知實數x，y，z滿足x=6-y，z2=xy-9，試求x，y，z的值.

解：把x=6-y代入z2=xy-9中，得

z2=(6-y)y-9=-(y-3)2,即

z2+(y-3)2=0 ①

因為y,z是實數，所以z2≥0，(y-3)2≥0.

欲使①式成立，則z=0，y=3，此時x=3.

故x=y=3，z=0.

思路與方法:本題的題設條件中等式只有2個，而未知元卻有3個，要想求出這三個未知量，還應挖掘條件中等式隱含的某種特殊關系，這就需要運用配方法，例如通過把x=6-y代入z2=xy-9中，再化為z2+(y-3)2=0，這樣就等于消去了一個未知元x，達到了化繁為簡的目的.

故由x2+1 504xy+y2=(x+y)2+1 502xy=(4n+2)2+1 502=1 986，解得n=5.

思路與方法:通過觀察發現，題設條件中，x與y互為倒數，容易求出x+y和xy的值；再將要求的等式左邊利用配方法變化成含x+y和xy的形式，即可輕松求解.

2.2 在解方程中的運用

經檢驗，x=1，y=2，z=3是原方程的解.

2.3 在函數中的運用

例5求函數y=x4+x2+1的最小值.

解：y=x4+x2+1=(x2)2+x2+1

即y=2x2+6x+4.

2.4 在平面幾何中的運用

例7如圖1，在△ABC中，∠A+∠C=2∠B,其中最大邊與最小邊分別是方程3x(x-9)+32=0的兩根，求△ABC的內切圓面積.

圖1

解：因為∠A+∠C=2∠B,所以3∠B=180°，即∠B=60°.因為三角形中最大角不小于60°，最小角不大于60°，而∠B=60°，所以∠B必是最大邊與最小邊的夾角.

思路與方法:本題如果采用常規方法，通過求解方程的兩根來計算內切圓的面積，運算會非常繁瑣,所以另辟蹊徑，巧用一元二次方程根與系數的關系及配方法[2]，則計算過程簡捷多了.

例8已知，a，b，c，d皆為正數，且滿足a4+b4+c4+d4=4abcd.

求證：以a，b，c，d為邊的四邊形為菱形.

證明：將條件式變形為a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2+2c2d2-4abcd=0.

即(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0.

所以a2-b2=0，c2-d2=0，ab-cd=0.

解得a=b=c=d.

所以，以a，b，c，d為邊的四邊形為菱形.

思路與方法：證明本題的主要技巧在于利用完全平方公式將條件式配方變形，只需要證明a=b=c=d即可.

2.5 在根式運算中的運用

思路與方法:本題利用配方法，將根式中的代數式配成完全平方式以便求其算術平分根，其中將x改寫成x-1+1的形式是解題的關鍵.

3 結論

從上述典型例題思路與方法的解析中可以看出，靈活運用配方法解題,關鍵是要在儲備大量基礎知識、能嫻熟運用相關公式、定理、性質的基礎上，有目的地去“變形配方”，充分運用發散思維，多角度思考、多途徑嘗試、多聯想、多分析、多訓練,從中尋找、挖掘條件之間、條件與結論之間的聯系.長此以往，堅持訓練，一定能夠提高綜合解題能力.