配方法在初中數(shù)學(xué)解題中的靈活運(yùn)用

?江蘇省泰興市洋思中學(xué) 戴曉峰

1 引言

在初中數(shù)學(xué)中，配方法是一種能夠靈活運(yùn)用、十分重要且有效的解題思想和方法.它常見(jiàn)于各類數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答之中，現(xiàn)將其常見(jiàn)的解題思路與方法歸類解析如下.

2 配方法在各類題型中的靈活運(yùn)用

2.1 在代數(shù)式運(yùn)算中的運(yùn)用

例1已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x=6-y，z2=xy-9，試求x，y，z的值.

解：把x=6-y代入z2=xy-9中，得

z2=(6-y)y-9=-(y-3)2,即

z2+(y-3)2=0 ①

因?yàn)閥,z是實(shí)數(shù)，所以z2≥0，(y-3)2≥0.

欲使①式成立，則z=0，y=3，此時(shí)x=3.

故x=y=3，z=0.

思路與方法:本題的題設(shè)條件中等式只有2個(gè)，而未知元卻有3個(gè)，要想求出這三個(gè)未知量，還應(yīng)挖掘條件中等式隱含的某種特殊關(guān)系，這就需要運(yùn)用配方法，例如通過(guò)把x=6-y代入z2=xy-9中，再化為z2+(y-3)2=0，這樣就等于消去了一個(gè)未知元x，達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)的目的.

故由x2+1 504xy+y2=(x+y)2+1 502xy=(4n+2)2+1 502=1 986，解得n=5.

思路與方法:通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，題設(shè)條件中，x與y互為倒數(shù)，容易求出x+y和xy的值；再將要求的等式左邊利用配方法變化成含x+y和xy的形式，即可輕松求解.

2.2 在解方程中的運(yùn)用

經(jīng)檢驗(yàn)，x=1，y=2，z=3是原方程的解.

2.3 在函數(shù)中的運(yùn)用

例5求函數(shù)y=x4+x2+1的最小值.

解：y=x4+x2+1=(x2)2+x2+1

即y=2x2+6x+4.

2.4 在平面幾何中的運(yùn)用

例7如圖1，在△ABC中，∠A+∠C=2∠B,其中最大邊與最小邊分別是方程3x(x-9)+32=0的兩根，求△ABC的內(nèi)切圓面積.

圖1

解：因?yàn)椤螦+∠C=2∠B,所以3∠B=180°，即∠B=60°.因?yàn)槿切沃凶畲蠼遣恍∮?0°，最小角不大于60°，而∠B=60°，所以∠B必是最大邊與最小邊的夾角.

思路與方法:本題如果采用常規(guī)方法，通過(guò)求解方程的兩根來(lái)計(jì)算內(nèi)切圓的面積，運(yùn)算會(huì)非常繁瑣,所以另辟蹊徑，巧用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及配方法[2]，則計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)捷多了.

例8已知，a，b，c，d皆為正數(shù)，且滿足a4+b4+c4+d4=4abcd.

求證：以a，b，c，d為邊的四邊形為菱形.

證明：將條件式變形為a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2+2c2d2-4abcd=0.

即(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0.

所以a2-b2=0，c2-d2=0，ab-cd=0.

解得a=b=c=d.

所以，以a，b，c，d為邊的四邊形為菱形.

思路與方法：證明本題的主要技巧在于利用完全平方公式將條件式配方變形，只需要證明a=b=c=d即可.

2.5 在根式運(yùn)算中的運(yùn)用

思路與方法:本題利用配方法，將根式中的代數(shù)式配成完全平方式以便求其算術(shù)平分根，其中將x改寫成x-1+1的形式是解題的關(guān)鍵.

3 結(jié)論

從上述典型例題思路與方法的解析中可以看出，靈活運(yùn)用配方法解題,關(guān)鍵是要在儲(chǔ)備大量基礎(chǔ)知識(shí)、能嫻熟運(yùn)用相關(guān)公式、定理、性質(zhì)的基礎(chǔ)上，有目的地去“變形配方”，充分運(yùn)用發(fā)散思維，多角度思考、多途徑嘗試、多聯(lián)想、多分析、多訓(xùn)練,從中尋找、挖掘條件之間、條件與結(jié)論之間的聯(lián)系.長(zhǎng)此以往，堅(jiān)持訓(xùn)練，一定能夠提高綜合解題能力.