基礎與能力并重 經典與創新共存
——2022年浙江省高考數學試題評析

?浙江省杭州第七中學 陳 宏

2022年浙江省高考數學試卷是2014年浙江省實施高考改革——數學文理合卷考試以來浙江省自主命題的收官之作，特殊的年份和疫情給高考命題和備考都帶來了挑戰．針對2022 年浙江省高考數學試題的內容特點和解決方法以及其與新高考全國卷的差異，筆者談談自己的認識，以期能讓學生更好地適應全國新高考的評價方式.

1 依綱靠本，平穩收官

2022年浙江省高考數學試題堅持立足基礎、素養導向、能力立意的命題原則，秉持了浙江省自主命題以來的簡約且具內涵的風格.整卷保持了浙江卷“低起點、有梯度、多層次、重區分”的經典特色，嚴格遵循《考試說明》《浙江省高中數學學科教學指導意見》，全面考查了高中階段的主要內容、核心思想方法及考生的學科關鍵能力.試題貼近高中數學教學實際，整體難度與2021年浙江卷難度相當，在結構、題型、內容、分值等方面保持穩定，試題注重基礎知識和通性通法的考查，在傳承經典的同時注重變化，適度創新.在體現對考生人文關懷的同時有利于高校合理選拔人才和正確引導中學數學教學，平穩收官.

2 傳承經典，準確區分

2022年試題檢測全面、凸顯本質，重在理解，準確區分.選擇題難度較2021年略降，有利于降低考生的焦慮情緒.如單項選擇題第 1～7 題，這些試題或源于課本或改編自課本中的例題、歷年的浙江卷高考題等，體現了試題的基礎性；第1題考查集合運算，第2 題考查復數相等的概念，第3題考查線性規劃，第4題考查三角函數和簡單邏輯用語，第 5 題考查三視圖、組合體的體積求解(球的體積公式與圓臺體積公式的簡單應用)，第 6題考查三角函數圖象的平移，第7題考查指數、對數運算.填空題難度與2021年相當，第11題考查了數學文化知識也是植根于教材且注重內容的交叉，第12題考查了二項式定理與賦值法，第13題考查了特殊條件下三角函數值的計算，第14題考查了二次函數與“對勾”函數的圖象與性質、數形結合的思想方法，計算量較小.解決這些試題只要平時學習中概念理解到位、考試時計算認真即可，體現一個“穩”字，也為考生增加了信心[1].

試卷同時編制了一些層次高、思維妙、解法巧的新題.如，第8題是立體幾何中線線角、線面角、二面角的大小比較，主要考查最大角定理與三類空間角的定義，與2018年的選擇題雖類似但需理解深刻各類角的定義；第9題為多絕對值函數應用，需熟練掌握絕對值的運算意義或圖象；第10題是遞推數列的考查；第17題是多向量模長的計算，需對回歸圓心后進行向量的轉化，要求掌握基底轉化的本質和數形結合的方法；第20題是數列題但與以往求和的考查不同；第21題是橢圓上點到一個定點的距離的最值問題，需對距離公式以及通性通法理解到位且注重算理；第22題函數與導數題都是在常見的背景中以新的角度設計問題，重視思維和運算能力.這些試題體現一個“變”字，也為高考的選拔增添了公平性.

3 守正出新，關注素養

試題全面考查的同時，突出了函數、幾何等重點內容.2022 年的浙江高考數學試卷沒有超綱試題，部分試題直擊概念本質，雖取材背景熟悉，但著眼變化，適度創新，同時關注核心素養.第9題是含參絕對值不等式求參數的范圍，可小題小做(對自變量賦特殊值)或采用通性通法(結合參數分離、直觀想象、數形結合等思想方法)得出答案，較2021年的第9題難度有所下降，但對細心認真卻數學邏輯不夠強的同學來說有一個比較“委屈”的坑.第10題對思維能力與計算能力的要求都較高，主要考查數列的性質與有限項放縮求和，對學生能否選擇合適的方法、放縮求和的運算等綜合能力有一定的要求，但思路與2021年第10題較為相似，一定程度上降低了學生對壓軸選擇題的恐懼感.第17題作為填空壓軸題仍和2021年保持方向一致，考查向量的轉化以及運算，且將向量放入正八邊形中結構新穎，但因為提到了單位圓，因此將向量起點回歸原點(圓心)對向量進行轉化[2]，繼而化繁為簡求得答案，所以感覺難度比2021年第17題小，重在思維的創新和學生直觀想象、數學運算等核心素養的考查，體現了命題者的良苦用心.

解答題第20題背景熟悉但立意獨特，在第(2)小題考查了函數思想及應用一元二次方程根的存在性條件(判別式法)，得到通項與公差的不等關系，繼而求解公差的范圍，較之前的高考數學試題中常見考查求和的題型有所創新并注重思維的靈活性.第22題(2)(3)小題考查了函數、導數、不等式的綜合運用，只有深刻理解問題本質，才能完整解決整個問題，特別考查學生的邏輯推理、直觀想象和數學運算等核心素養，有很好的選拔功能.

3.1 傳承經典，凸顯本質，注重算理

例1( 2022 年浙江省高考數學試題第 9 題)已知a,b∈R,若對任意x∈R，a|x-b|+|x-4|-|2x-5|≥0，則( ).

A.a≤1,b≥3 B.a≤1,b≤3

C.a≥1,b≥3 D.a≥1,b≤3

圖1

或者小題小做，由于x的任意性對自變量x進行賦值，考慮移項后絕對值外的符號，因此可賦值x=b，x=4求得a,b范圍.如取x=4，則不等式變為a|4-b|-3≥0，所以a≠0,b≠4，排除選項A,B,C.故選：D.

評注：類似思維的問題在 2019 年浙江卷第9題、2020年浙江卷第9題中都出現過，也是求解參數必須滿足的必要條件，這類題目強調對數學概念與函數本質、圖象特征的理解，能多維度考查學生的數學知識、數學思維等.

圖2

(1)求橢圓上的點到點P距離的最大值；

(2)求|CD|的取值范圍.

本題第(2)小題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系，同時考查解析幾何的基本思想方法、綜合應用知識的能力、邏輯推理和數學運算素養.這些都是高中解析幾何中最核心的知識、技能、思想方法和核心素養.

第(2)小題的解題方法有很多，由于點A,B是過點Q的直線與橢圓的交點，故自然想到可以“設線”，聯立橢圓與過點Q的直線方程得到A,B兩點的坐標關系，繼而分別聯立直線AP與直線l的過程、直線BP與直線l的方程得到點C,D的坐標，從而求得|CD|的表達式及范圍，即為解法1.此種解法雖然思維入口較寬但深入較難，運算量較大.

也可以直接結合問題本質求C,D兩點距離，故可直接“設點”解決.設出點C,D的坐標，解得點A,B的坐標，利用點A,Q,B共線得到點C,D的坐標的等量關系，繼而消元求得|CD|的表達式及范圍，即為解法2.解法2較解法1運算量減少，但是審題時需要把握問題的本質.此兩種解法正說明了解析幾何問題中的少思多算或多思少算；也說明了該問題突破的關鍵都是需建立起A,B,C,D四點之間的聯系，并實現消參，用盡可能少的參數表示|CD|．

如果對此題繼續做一個探究，會發現通過仿射變換，將橢圓化成圓，在圓中應用圓冪定理便可將問題轉化為三角形中的邊長求解問題，也可得到|CD|的表達式，繼而求解范圍，即為解法3．

由韋達定理，可得

由弦長公式,可得

令t=3k+1∈R，則

上述解法運算量較大在于設點坐標較多，聯立方程次數也較多.因此基于優化運算的目的，問題求的是C,D兩點距離，故可直接設出關鍵點C,D的坐標，表示出|CD|并求得范圍.

由結構對稱，同理可得

由點A,Q,B共線，得

對此題繼續做一個探究，會發現通過仿射變換，將橢圓化成圓，在圓中應用圓冪定理便可將問題轉化為三角形中的邊長求解問題，避免了聯立方程求|CD|的范圍.

圖3

由圓冪定理|A′Q′|·|B′Q′|=R2-OQ′2=9，得tanαtanβ=3.

評注:以上方法均是解決直線與橢圓位置關系的通性通法，其中前兩種解法在日常復習中用的較多，需要扎實的數學運算素養.解法3在化橢圓為圓的基礎上借助圓的幾何特性，把多個變量轉化為一個變量，2020年浙江卷的第21題也可使用此法，使得問題的呈現更直觀，解法更為簡潔[3]．橢圓化圓也使問題本質更清晰，該方法在一一對應思想的指導下完成了問題轉化和思路突破，這種聚焦核心素養的創新思維培養應成為數學課堂教學的核心，在平時教學中需引起重視．解析幾何問題對廣大考生來說是一個挑戰，計算對學生來說更是痛點.故需在復習中引導學生注重思維，講究算理，突破關鍵，鼓勵他們運用合理的思維結合運算技巧找關鍵點，計算到底，從而提升數學運算能力和綜合能力.

3.2 守正出新，考查能力，聚焦素養

例3(2022年年浙江省高考數學試題第20題)已知等差數列{an}的首項a1=-1，公差d>1．記{an}的前n項和為Sn(n∈N*)．

(1)若S4-2a2a3+6=0，求Sn；

(2)若對于每個n∈N*，存在實數cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比數列，求d的取值范圍．

(2)由an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比數列，可得關于cn的二次方程，由判別式法可得d的表達式，分類討論可得d的取值范圍．

解析:(2)因為對每個n∈N*，存在實數cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比數列，則(a1+nd+4cn)2=[a1+(n-1)d+cn]·[(a1+(n+1)d+15cn]，a1=-1.

所以an+1≥2d,或2an+1≤3d恒成立，即得(n-2)d≥1,或(2n-3)d≤2恒成立.

當n=1時，因為d>1，故(n-2)d≥1不成立，但(2n-3)d≤2成立;

當n=2時，(n-2)d≥1不成立，此時需要(2n-3)d≤2，解得d≤2；

當n≥3時，因為d>1，所以(n-2)d≥1恒成立.

綜上所述，d∈(1，2].

評注:本題第(2)小題設問靈活，應用一元二次等式成立的判斷方法(判別式法)，得到通項與公差的不等關系，繼而求解公差范圍的方法對學生的應變能力和把握問題本質的能力有一定的要求.最后的分類討論則考查了學生的數據分析、邏輯推理等素養.創新的設計也要求平時教學中引導學生透徹理解基礎概念知識，從而學會以不變應萬變.

(1)求f(x)的單調區間；

(2)已知a，b∈R，曲線y=f(x)上不同的三點(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，(x3，f(x3))處的切線都經過點(a,b)．證明：

(注:e=2.71828…是自然對數的底數.)

第(2)小題從函數存在三條切線且經過同一個點入手，分兩類情況證明不等式成立，較為復雜.因此先解決大前提條件(導數背景下的切線條數問題一般轉化為切點方程解的個數問題)后分類解答.①可由題設構造關于切點橫坐標的方程，根據方程有3個不同的解，等價轉化為函數有3個不同的正零點問題，再根據零點存在定理及性質轉化需求證的不等式.②結構更為復雜，解決復雜問題的思想方法仍然是等價轉化，將不熟悉問題轉化為熟悉問題來解答，并輔以消元思想，將多元函數問題設法轉化為單元問題來處理.

證明:(2)①過三點的切線方程分別為

y=f′(x1)(x-x1)+f(x1),

y=f′(x2)(x-x2)+f(x2),

y=f′(x3)(x-x3)+f(x3).

由三條切線方程均過點(a,b)，得

分析h′(x)正負號且由題設中a>e,得到h(x)的極小值為h(a)，極大值為h(e)，因此h(x)有三個正零點，只需要滿足h(a)<0和h(e)>0即可.

②依據條件0

進而轉化為證明

當x∈(0,a)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增；當x∈(a,e)時，g′(x)<0，g(x)單調遞減；當x∈(e,+∞)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增，且滿足0

在(1,+∞)上恒成立即可.

因此φ(x)>φ(1)=0.

評注:本題作為壓軸題和第21(2)題類似,對綜合解題能力、不等式的運用能力和數學運算、邏輯推理等素養提出了更高的要求,最后一問更是形式創新，考查導數的性質、函數的單調性、極值、零點、換元法、構造法、分析法等基礎知識的綜合應用.沒有生僻技巧，但卻也難尋套路.其中利用分析法和消元法轉化所證關系式對學生是一大難點.這也給了壓軸題型復習的啟示：要善于先宏觀(定性)分析，后微觀(定量)落實，通過等價轉化、數形結合、分析證明等方法力爭化大為小、化難為易，把一道難題分解為若干個小題或分解為若干步完成，即使不能完整做出，也能多得步驟分數[4].這也為學生充分展示自己的數學能力提供了平臺，為高校選拔優秀人才.

4 引導教學，服務選拔

在平時教學中應重視新授課的概念教學.新授課應該強調主題式的單元整體設計，聚焦“大單元、真情境、新技術”的先進理念提高學生學習數學的興趣，增強學好數學的自信心，發展自主學習的能力；培養學生敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神，繼而不斷提高實踐能力，提升創新意識; 認識數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值，了解學科交叉時數學內容、思維及能力的廣泛應用．新課改在不斷深入，師生要一起適應新形勢，用好新方法．

5 差異對比，適應變革

浙江省2023年參加高考的考生即將迎來全國高考，故筆者對2022年浙江卷與新高考全國Ι卷做簡單對比.內容上的挑戰在于全國卷中檔題居多計算量大，基本沒有送分題，對中等生不夠友好，可能出現很多題有思路但寫不完；而浙江卷壓軸題雖然難，但梯度明顯，該送分就送到位，中等生較有優勢.機遇在于全國卷中檔題多，壓軸題沒那么難，比如向量知識全國卷設置在第3題，數列設置在解答題第1題，函數與導數解答題難度相對浙江卷較小等.另外一些不同之處，比如，全國卷小題壓軸題較喜歡球與幾何體的接切問題，小題中也可能出現導數與函數的應用和多選題等，解答題曾出現概率的考查、應用題等，需重點關注.函數、向量、幾何、統計、概率、數列、不等式仍是高考數學的重點內容，函數與不等式也仍是難點.在原則上更注重以下三點:(1)學科間的滲透和交叉，適當增加具有自然科學和社會人文學科情境的試題，促進學科間的融合以及對核心素養的有效考查；(2)關注探究能力、數學學習能力的考查，設計結論開放、解題方法多樣、答案不唯一、結構不良等試題，增強試題的開放性和探究性，對學生的創新能力進行考查；(3)通過調整試卷結構，打破固有模式，探索試題排列新方式，努力破除復習備考中題海戰術和套路訓練的影響.

6 結語

對于新高考，學生需要時間適應，這也要求學生對課本知識的理解、歷年高考真題中考查的通性通法和問題本質的掌握更加深刻到位.因此，教師在重視新課教學的同時也需重視日常復習課的教學，課堂教學需更加聚焦質量．目前以單元整體教學設計為基礎、以深度學習為抓手的新一輪課堂教學改革的形態正逐步形成，復習課教學的理念也需要革新，應更加著眼于數學知識的整體性、方法的普適性、思維的系統性和邏輯的連貫性，從而提升學生綜合、創新等關鍵能力，落實學科核心素養.