風機齒輪箱單對直齒輪裂紋狀態下動力學建模與響應研究

汪勢杰，王 健，代家昆，尤啟龍

（1.國能長源湖北新能源有限公司，湖北隨州 432700；2.武漢大學動力與機械學院，湖北武漢 430072）

引言

齒輪箱是機組中故障發生率最高的部件，故障百分比已超過60%[1]，動力學分析是進行齒輪傳動系統狀態監測與故障診斷的理論基礎。作為齒輪傳動的關鍵參數，時變嚙合剛度會引起顯著的振動響應特征，因此從嚙合剛度角度出發對齒輪振動和噪聲的進行研究具有重要的意義。

國內外許多學者針對齒輪的動力學和系統響應做了很多研究。萬志國等[2]提出了一種考慮齒根圓與基圓不重合時嚙合剛度求解方法，建立動力學模型并求解。WU 等[3]建立了6 自由度動力學模型，并分析了齒輪剛度隨裂紋程度的變化趨勢。李亞鵬等[4]針對提出了改進的石川公式，同時討論了多齒嚙合時齒輪綜合時變嚙合剛度的計算方法。Chen 等[5]提出了一個融合了齒寬和裂紋深度的裂紋分析模型，以研究齒輪裂紋對齒輪嚙合剛度的影響。針對風電行星齒輪傳動系統變速變載的工作特點,謝福起等[6]基于風速功率譜密度模型，建立系統非線性動力學模型。向玲等[7]采用集中參數模型建立了風電齒輪傳動系統平移-扭轉動力學模型，結合時間歷程圖、FFT 頻譜圖、相圖、Poincaré 截面圖、分岔圖及最大Lyapunov 指數圖分析了系統在隨激勵頻率變化和隨支承剛度變化下的動力學特性。本研究以一級直齒輪為研究對象，建立了該齒輪副在齒輪裂紋生長的不同階段的時變嚙合剛度模型，并進一步建立了具有扭轉和橫向振動的六自由度動力學模型。通過計算齒輪裂紋不同生長階段下系統的振動響應，實現了齒輪裂紋程度與動態響應之間的定性匹配，得到了齒輪裂紋故障對系統傳動性能的影響，能夠為齒輪副的設計和故障診斷提供一定的理論指導。

1 齒輪裂紋狀態下的時變嚙合剛度建模

在直齒輪傳動中，存在齒輪單雙齒交替嚙合并導致嚙合剛度會發生突變，稱為時變嚙合剛度[8]。齒輪的剛度包含為接觸剛度，彎曲剛度以及徑向剛度。其中，接觸剛度往往通過赫茲理論計算，而徑向剛度與齒輪的齒廓參數有關，這兩者受裂紋的影響較小。

齒輪的裂紋與發生是一個緩慢而復雜的過程，本文在這里對裂紋的生長與表征進行簡化建模。假設齒輪裂紋的拓展方式如圖1 所示，齒輪裂紋從齒根處開始，與齒輪中心線成一夾角v，假設v 為一常數。兩段裂紋與齒輪中心線成中心對稱分布。裂紋的長度為q1,q1從0 逐漸以0.1 mm 的增量增加到與齒輪中心線相交，這時，q1的長度達到其最大值。根據假設，q2的長度應該與q1相同，但是在實際情況下，齒輪會在q2沒有達到最大值時斷裂，因此，假設q2最大長度為q1最大長度的60%。

圖1 齒根裂紋示意圖

實際中，齒輪的彎曲剛度剪切剛度較易受裂紋影響。根據文獻[8]中的結論，在引入齒根裂紋前后，根據齒根裂紋發展的不同階段，可以分為四種情況計算齒輪副的彎曲剛度Kb和剪切剛度Ks。

2 系統振動響應的建模及求解

本章建立了具有扭轉和橫向振動的單級齒輪系統模型，包括輸入電機，負載電機，輸入軸，輸出軸，輸入小齒輪，輸出大齒輪。系統動力學模型如圖2 所示。該系統由輸入電機輸入轉矩M1進行驅動，負載電機負載的轉矩為M2。考慮到本文研究重點為齒根裂紋本身對齒輪傳動造成的影響，因此暫不考慮齒輪對中潤滑與摩擦的影響。

圖2 單級齒輪系統

Y 方向的小齒輪和大齒輪的位移和轉矩方程如下：

輸入電機和負載的轉矩方程如下：

系統中的力和轉矩可以通過下面的等式算出：

在本研究中，由于重點是研究故障下系統的響應，因此假設輸入軸承、彈性聯軸器的各方向的剛度和阻尼相同。此外，嚙合阻尼系數ct設置為與總嚙合剛度kt成正比，即ct=μkt。其中系數μ 在本研究中設置為3.99×10-6(s)。齒輪箱系統的其他參數列于表1 中。

表1 單級齒輪系統主要參數

齒輪裂紋的長度以0.1 mm 的增量從零開始增長。由于輪齒在裂紋發展到其全長之前可能會突然斷裂，因此假設最大裂紋水平為80%。圖4 給出了裂紋水平為28%時嚙合齒輪的動態響應，包含時域歷程曲線和相圖。圖5 給出了裂紋水平為53%時的動態響應，包含時域歷程曲線和相圖。圖3 給出了健康狀態下的齒輪動態響應。在圖4 中，故障特征在時域表現尚不明顯；與健康的齒輪振動信號（0%裂紋）相比，除了振動幅值小幅上升外，時域歷程曲線幾乎完全相同，而僅僅在相圖上表現為更加混沌。然而，隨著裂紋程度的發展，如圖5 所示，當高于40%的齒根裂紋會使齒輪振動信號產生明顯的變化。隨著裂紋生長水平的增加，時域信號中出現明顯的由裂紋引起的周期性脈沖；該周期性脈沖隨著裂紋的生長越來越明顯。此外，由于齒輪裂紋造成的影響在齒輪轉一圈時重復一次，可以發現每兩個脈沖之間的持續時間等于一個軸周期。當裂紋以及生長到了后期（裂紋大于50%），系統動態響應產生的故障特征越發明顯，而且故障處振動幅值出現了顯著的增長。在相圖中，由于齒根裂紋導致的混沌現象更加明顯。

圖3 健康齒輪嚙合的振動響應及相圖

圖4 齒輪在裂紋生長水平為28%時的振動響應及相圖

圖5 齒輪在裂紋生長水平為53%的動響應及相圖

3 結論

本研究主要研究了一級直齒輪副在齒輪裂紋生長的不同階段的時變嚙合剛度的計算，以及建立了具有扭轉和橫向振動的六自由度單級齒輪系統動力學模型，對齒輪裂紋不同生長階段齒輪y 方向的振動響應和相圖進行了求解。發現在齒輪裂紋生長初期（28%裂紋時），故障特征在時域表現尚不明顯；與健康的齒輪振動信號（0%裂紋）相比，除了振動幅值小幅上升外，時域歷程曲線幾乎完全相同，而僅僅在相圖上表現為更加混沌。隨著裂紋生長水平的增加，到齒輪裂紋生長到中后期（53%裂紋），時域信號中出現明顯的由裂紋引起的周期性脈沖；該周期性脈沖隨著裂紋的生長越來越明顯。同時齒根裂紋導致的混沌現象在相圖中表現也更加明顯。