基于樣條函數改進的傅里葉積分重建算法研究*

于 雪，孫興偉，董祉序，劉 寅，楊赫然,吳翔恂

(1.沈陽工業大學 機械工程學院，遼寧 沈陽 110870；2.遼寧省復雜曲面數控制造技術重點實驗室，遼寧 沈陽 110870；3.沈陽工業大學 軟件學院，遼寧 沈陽 110870)

0 引言

在過去的幾十年中，由梯度離散數據集合恢復表面輪廓高度等方法的發展受到了廣泛的關注，這種方法可以應用于從陰影中恢復形狀[1]、生成全景圖像[2]、編輯數字圖像[3]、高動態范圍壓縮、人臉識別、醫學成像、自適應光學中的波前估計[4]以及梯度積分重建[5]等方面。這些應用中的一種典型的方法就是生成所需圖像或表面的梯度，由測量或計算得到的梯度離散數據集合恢復圖像或重建表面。這主要通過二維積分來實現，主要的難點在于給定的梯度離散數據集合通常是不可積的。也就是說，任意閉合路徑的積分都為零，且積分結果與路徑無關。因此，從它們的梯度恢復表面或圖像的典型方法是將給定的梯度投影到滿足可積分條件的空間上。

基于離散傅里葉變換的積分重建技術主要是借助離散傅里葉變換于頻域中進行波前重建[6]。但是，傅里葉梯度積分算法在頻域中運行，可能會使梯度數據中一些像素存在丟失的情況。離散傅里葉梯度積分法可以提高重建精度，但對于非周期性的梯度數據，不能直接用來對表面或圖像形貌重建[7]。針對這種情況，學者們提出可以使用迭代來進行離散傅里葉變換以解決梯度數據非周期性的問題[8]。

針對傳統southwell模型及差分采樣模型等精度不足等問題，本文提出一種基于樣條函數改進的傅里葉梯度積分法。通過增加相鄰四點的約束，對擴展后的梯度數據進行樣條函數擬合。通過K階多項式系數表示梯度數據，進而代入到southwell模型中，以此來改進該模型進行傅里葉積分重建時帶來的精度不足等問題。

1 樣條函數改進傅里葉積分理論模型

1.1 傅里葉積分法

傅里葉梯度積分算法運用二維離散傅里葉變換的相關理論，將梯度轉換到頻域中進行計算，再通過傅里葉逆變換得到重建面形。

為了計算f(x,y)曲面高度分布，利用積分算法構建一代價方程，使整體重建區域內重建后的梯度數據和已知待測梯度之間的誤差趨于最小，如式(1)所示：

(1)

其中：W為重建后的梯度數據和已知待測梯度之間的誤差；zx、zy分別為重建面型沿兩個垂直方向上的偏導數；g、f為對應方向上的測量梯度值。

公式(1)表明，待測表面重建后結果最優時，重建表面的梯度數據與已知待測梯度誤差最小。

(2)

由式(2)可知，高度差可表示為：

(3)

(4)

對表面展開系數進行二維離散傅里葉逆變換，即可得到曲面高度分布。

1.2 樣條函數改進southwell模型

常見差分采樣模型southwell 的梯度矩陣與高度矩陣大小一致，某點高度差可表示為：

(5)

其中：ΔZx、ΔZy為某點沿x、y方向高度差；fm,n、gm,n和Zm,n均為該數據矩陣在(m,n)點的數據；hx為x方向的相鄰采樣點距離；hy為y方向的相鄰采樣點距離。

將表面梯度按x與y方向分別進行樣條函數曲線擬合，則表面高度差可表示為：

(6)

其中：cm,n,k為梯度數據的樣條擬合曲線的k階分段多項式系數；Δgm,n為x方向梯度差，Δfm,n為y方向梯度差。為使擬合梯度滿足重建精度要求，并節省計算資源，本文取3階樣條函數(K=3)進行擬合。

1.3 梯度數據的周期性擴展

對于傅里葉梯度積分重建算法，積分面型需滿足周期性條件。因此對所測梯度數據進行擴展，以滿足后續差分數據的周期性條件,如式(7)所示：

(7)

其中：fliplr(·)表示矩陣的列在左右方向上翻轉，flipud(·)表示矩陣的行在上下方向上翻轉。

由此，積分重建算法步驟可分為以下幾部分：

(1) 式(7)中的符號Z表示擴展的g、f梯度數據。將梯度數據g、f分別按式(7)進行擴展以滿足傅里葉積分重建的周期性條件。

(2) 擴展后的g、f分別按行按列以相鄰四個梯度數據為一組進行曲線擬合，求得k階分段多項式系數cm,n,k。

(3) 根據式(6)計算表面差分分布ΔZx、ΔZy。將得到的差分數據進行快速二維離散傅里葉變換。將離散后的差分數據代入式(4)求得曲面頻域中的表面展開系數。

2 曲面重建與精度分析

使用基于傳統southwell模型以及差分采樣模型的梯度積分法進行高度重建，其結果與本文基于改進southwell模型重建的高度進行比較，采用均方根誤差進行精度分析。

給定一理想曲面為：

(8)

重建后，理想曲面高度與使用傳統southwell模型、差分采樣模型與改進southwell模型重建高度的分布如圖1所示。

圖1 重建高度分布圖

三種模型重建高度與理想曲面高度數據對比，其誤差分布如圖2所示。

圖2 重建表面的誤差分布

采用傳統傅里葉梯度積分法進行高度重建，使用模型為southwell模型，重建后其均方根誤差為0.106 0 mm。使用差分采樣模型對曲面進行重建，均方根誤差為0.071 7 mm。使用本文提出的一種基于樣條函數展開的傅里葉梯度積分法對southwell模型進行改進，增加相鄰高度點的約束，重建后均方根誤差為0.009 2 mm。由此看出，改進的基于樣條函數的傅里葉梯度積分法具有較高重建精度。

3 結論

本文提出了一種基于樣條函數改進的傅里葉梯度積分法。通過對曲面梯度數據的求取，對其進行周期性的擴展，針對傳統southwell模型精度不足的缺點，以樣條函數對擴展后梯度數據進行曲線擬合，再以傳統southwell模型代入，求得新的高度差分布。由高度差與曲面展開系數在頻域中建立聯系，得到頻域中的曲面展開系數。最后對曲面展開系數進行二維離散傅里葉逆變換，保留其實部，從而得到表面高度。與傅里葉積分法使用的傳統southwell模型及差分采樣模型相比，改進的算法具有相鄰四點的約束且具有更高的精度。在已知圖像及物體表面梯度后，能更好地重建物體。