基于NSGA-Ⅱ算法的核反應堆功率LQG控制器設計

金 鑫，李東原，秦 戈，徐教珅，唐 輝，王 鑫

(中廣核工程有限公司 核電安全監控技術與裝備國家重點實驗室，廣東 深圳 518172)

核電作為可大規模應用的清潔能源，在替代化石能源、減少碳排放和改善空氣質量等方面發揮著越來越重要的作用。作為核電廠的核心，堆芯不僅是核電廠的主要熱源，也組成了放射性核燃料的重要包容屏障。因此，核反應堆堆芯的有效控制，在提高核電廠運行靈活性，確保核安全等方面具有重要的研究意義。

核反應堆堆芯是一個非線性、時變、多輸入多輸出的復雜系統，其控制問題一直以來都是核電技術中的熱點和難點。為提高堆芯控制性能，國內外許多學者進行了廣泛而深入的研究。Kerlin等[1]提出了可自動優化反應堆控制系統控制器的設計方法，結果表明該方法無需耗費大量計算即可獲得優越的控制效果。Morita等[2-3]提出了機械補償(MSHIM)運行控制模式，能實現不調硼負荷跟蹤運行，提供更出色的控制性能。Edwards等[4-5]提出了基于堆芯的狀態反饋輔助控制方法(SFAC)，該方法保留了一個經典輸出反饋控制環節，并利用狀態反饋修改參考負荷信號，以便得到期望參考輸入，結果表明狀態反饋能改善系統性能，而經典輸出反饋能改善穩定性和魯棒性。為改善堆芯燃料溫度和冷卻劑出口溫度在經受負荷大范圍變化時期望的動態性能，Ben-Abdennour等[6]利用帶有回路傳輸恢復的線性二次型高斯(LQG/LTR)控制理論設計了堆芯魯棒控制器，仿真結果表明所設計的控制器可在較寬范圍改善溫度控制性能。Hah等[7-8]將模糊控制邏輯用于反應堆負荷跟蹤運行控制，并證明了其可行性。Upadhyaya等[9]應用多變量自適應算法控制堆芯軸向功率分布，計算結果表明該算法響應速度很快。Uluyol等[10]提出了局部內存多層Gamma反饋(LOGF)神經網絡方法，該方法能很好地用于辨識、預測和控制，提供了更強的跟蹤負荷的能力，改善了燃料溫度和堆芯出口溫度的控制效果。Arab-Alibeik等[11]將LQG/LTR應用于SFAC結構的反應堆輸入控制，改善了溫度控制效果。Na等[12]設計了負荷跟蹤運行的模預測控制器，以改善反應堆功率水平和功率分布的控制，仿真結果表明該控制器具有很快的響應能力。Dong等[13]提出了基于非線性觀測器的反饋耗散控制方法，計算結果表明該方法具有較高的負荷跟蹤運行控制性能。此外，董哲等[14-15]還設計了比例積分功率水平控制器、非線性動態輸出反饋控制，以提高反應堆功率水平控制能力。西安交通大學Wei等[16-26]也對堆芯控制系統進行了研究，發表成果主要有堆芯功率的PID控制、魯棒控制、解耦控制以及控制系統的參數優化等。上述研究都分別應用不同方法、從不同方面對反應堆功率控制進行了有益探索，具有重要的研究意義。

隨著核電技術的不斷發展，人們對反應堆功率控制提出了新的更高的要求，如在移動更少的控制棒步數(即花更少的代價)的前提下獲得更優越的堆芯功率控制性能。作為最優控制的LQG方法具有計算量小、控制器結構簡單、系統魯棒性好等特點，在工程應用中價值很高[27-28]。對于LQG最優控制方法，性能指標中權重矩陣的選擇對控制系統的性能有很大影響。通常權重矩陣是根據系統的物理過程人為設置的，它需要對系統有比較充分地了解與經驗才能確定。因此，這樣的“最優”事實完全是主觀人為的。如果權重矩陣選取不當，雖然可以解出最優解，但這樣的最優解沒有實際意義。另外，加權矩陣的選擇過度依賴于設計者的經驗，需要設計者根據系統輸出逐步調整加權矩陣，直到獲得滿意的輸出響應值，這樣不僅費時，而且無法保證最優的權重矩陣，因此獲得最優控制反饋系數不能保證使系統達到最優。遺傳算法NSGA-Ⅱ在多目標優化過程中，因其具有良好的尋優性，并克服了單純形法對參數初值的敏感性的優勢，應用比較廣泛，且取得了良好的尋優效果[29-30]。因此，本文首先設計反應堆功率水平的LQG控制器，并基于NSGA-Ⅱ算法，對LQG控制器性能指標的權重矩陣進行多目標優化，以提高反應堆功率LQG控制器的設計效率和性能。

1 堆芯模型

建立堆芯模型的方法主要有：點堆堆芯建模、一維堆芯建模、多節點堆芯建模、三維堆芯建模、基于智能辨識算法的堆芯建模等。由于本研究主要關注堆芯功率水平的控制，而不關心功率分布情況，因此點堆模型已滿足要求。為簡化模型，提高仿真計算速度，本文將基于點堆模型進行控制系統設計與控制參數優化。

1.1 非線性模型

由于本文研究的瞬態過程仿真時間較短(以s為單位)，因而可忽略碘氙的變化，此時非線性點堆模型可總結如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

ρ=ρrod+αf(Tf-Tf0)+

(6)

式中：nr為歸一化堆芯功率；cri為歸一化第i組緩發中子先驅核濃度；Λ為中子代時間，s；ρ為總反應性，pcm；β為緩發中子總份額；βi為第i組緩發中子份額；λi為第i組緩發中子衰變常量，s-1；Tf為燃料平均溫度，℃；Tf0為燃料初始平均溫度，℃；f為燃料中產生熱量占總功率的份額；P0為反應堆滿功率，W；μf為堆芯燃料的總熱容量，J/℃；Ti為堆芯入口冷卻劑溫度，℃；Ti0為初始堆芯入口冷卻劑溫度，℃；To為堆芯出口冷卻劑溫度，℃；To0為初始堆芯出口冷卻劑溫度，℃；Ω為燃料和冷卻劑間的換熱系數，W/℃；M為冷卻劑的質量流率乘以熱容量，W/K；μc為堆芯冷卻劑的總熱容量，J/℃；ρrod為控制棒移動引入的反應性，pcm；αf為燃料反應性溫度系數，pcm/℃；αc為冷卻劑反應性溫度系數，pcm/℃；vrod為以每秒移動距離占堆芯長度比例表示的控制棒棒速；Gr為單位長度上控制棒的總反應性價值，pcm。

1.2 線性化模型

根據微擾理論，對1.1節的非線性模型進行線性化處理，并求得線性時不變模型。采用單組緩發中子模型和堆芯冷卻劑入口溫度為常值，對式(1)～(6)進行線性化處理，得：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

δρ=δρrod+δρf=δρrod+αfδTf+

(12)

依據式(7)～(12)，求得瞬態堆芯單輸入單輸出狀態方程：

(13)

依據式(7)～(12)，求得瞬態堆芯單輸入單輸出傳遞函數：

(14)

堆芯狀態方程和傳遞函數之間的關系式為：

(15)

式中：u=δρ為輸入量；y=δnr為輸出量；x=[x1,x2,x3,x4,x5]T=[δnr,δcr,δTf,δTo,δρrod]T為5×1狀態變量陣；A為R5×5系統矩陣；B為R5×1輸入矩陣；C為R1×5輸出矩陣；D為R1×1零矩陣。

A、B、C和D的表達式如下：

A=

(16)

(17)

(18)

D=[0]

(19)

2 控制器設計與優化

2.1 LQG控制器設計

LQG控制器由Kalman狀態估計器和1個最優狀態反饋增益器組成。因此，求解LQG控制器就是求解Kalman濾波器增益矩陣和LQR增益矩陣。

1) 求解Kalman濾波器問題

PfAT+APf-PfCTR-1CPf+ΓQΓT=0

(20)

在選擇合適的Γ、Q和R之后，求解Kf，使得Pf是式(20)的解。所求解Kf的表達式為：

Kf=PfCTR-1

(21)

式中，Kf=[kf1kf2kf3kf4kf5kf6kf7]T為R7×1的矩陣。

2) 求解LQR問題

求解LQR問題就是求解LQR增益矩陣Kc。

考慮式(22)所示的最優性能指標：

(22)

(23)

式中：Kc=[kc1kc2kc3kc4kc5kc6kc7]為R1×7的矩陣；Pc為實對稱半正定矩陣，且為Riccati方程式(24)的解。

(24)

圖1 LQG 控制器結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of LQG controller structure

2.2 控制器優化

LQR權重系數的選取具有一定的主觀性，對設計人員的經驗要求較高，且選取效率較低，不一定能選出最優的權重值。而遺傳算法NSGA-Ⅱ具有較好的全局尋優能力。因此，本文采用NSGA-Ⅱ對LQR的權重系數進行優化設計。

1) NSGA-Ⅱ算法

NSGA算法于1994年由Srinivas和Deb[31]發表。2002年，Deb將其改進為帶精英策略的非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)[29-30]，使之成為經典的多目標優化算法之一。NSGA-Ⅱ具有運行效率高、解集的分布性良好等優點，尤其在低維優化方面具有較好的優化性能，因而一經提出便廣受關注，迄今已被國內外學者引用26 000余次，廣泛應用于諸多領域的研究。因此，研究應用經典的NSGA-Ⅱ算法對核電站控制系統進行多目標參數優化具有重要的研究意義與應用價值。

詳細的NSGA-Ⅱ算法可參考文獻[30]，其計算流程如圖2所示。

2) 優化對象與目標函數

圖2 NSGA-Ⅱ算法流程圖Fig.2 NSGA-Ⅱ algorithm flow chart

通過調整LQG控制器的LQR權重參數，使目標函數取得極值，即可實現優化設計。目前，常用的目標函數建立方法有加權性能指標型和誤差積分型兩類，而誤差積分型則又可細分為誤差平方積分(ISE)、誤差絕對值積分(IAE)、時間乘以誤差絕對值積分(ITAE)、時間與誤差平方之積的積分(ITSE)、時間平方與誤差絕對值之積的積分(ISTAE)和時間平方與誤差平方之積的積分(ISTSE)。當控制系統參數變化時，ITAE能很容易地辨識出最小值，更易區分系統的性能，而且ITAE相比于其他指標能使優化后的系統具有更小的超調量和震蕩[32-33]。本文研究的是反應堆功率P與控制棒行程S的兩目標參數優化問題，因而可采用ITAE評價標準建立如下目標函數：

(25)

(26)

式中：τ為仿真時間，s；P、Pref為歸一化實際功率與參考功率；S、Sref為控制棒實際行程與參考行程，m。

3) 優化設計

表1 堆芯主要參數Table 1 Main parameters of reactor core

圖3為采用NSGA-Ⅱ算法求解得到的Pareto最優解集，橫縱坐標分別表示Pareto最優解集中的目標函數fP(x)與fS(x)。從圖3可看出，在Pareto最優解集中，目標函數fP(x)在2.85～50.51的范圍內變化，而fS(x)的變化范圍是10.39～11.84。目標函數fP(x)與fS(x)的最優解存在矛盾，即目標函數fP(x)取最小值時，fS(x)處于最大值處，反之亦然。因此，不能同時獲得反應堆功率和控制棒行程的最佳控制性能。

圖3 Pareto最優解集Fig.3 Pareto front

將上述4點分別代入所設計的LQG控制器，對100%FP-90%FP階躍降負荷工況進行仿真分析，結果如圖4所示。

從圖4可看出，采用NSGA-Ⅱ算法優化所得的Pareto前沿中的A、B、C和D 4點所對應的LQR權重系數的堆芯功率LQG控制器，在100%FP-90%FP階躍降負荷工況下均能獲得較好的控制效果，反應堆功率在瞬態發生后在較短時間內穩定在參考值附近，堆芯出口溫度也很快地降至新的穩定狀態。同時，最優點A所對應的LQG控制器的堆芯功率控制效果最好，在階躍瞬態發生后能迅速將反應堆調整到參考值附近，超調量很小，穩態誤差最小，堆芯出口溫度也相應地被快速降至新的穩態。從圖3可看出，A點對應的LQG控制效果最好的原因是，A點的堆芯功率控制優化適應度函數fP(x)最小，表明該點的堆芯功率控制效果最好，但該處的控制棒行程優化適應度函數fS(x)最大，因此A點對應的LQG控制器在瞬態過程中的控制棒行程比B、C、D點更長，將對控制棒壽命產生一定的不良影響。但值得注意的是，控制棒行程優化適應度函數fS(x)總的變化范圍很小(10.39～11.84)，總體上控制棒行程的差異對控制棒壽命的影響不大。因此，在后續研究中，為獲得最優的堆型功率控制效果，推薦采用A點所對應權重系數的LQG控制器進行堆芯功率控制。

圖4 不同權重系數下100%FP-90%FP階躍負荷仿真結果Fig.4 100%FP-90%FP step load simulation results of different weight factors

3 仿真分析

本文在上述研究的基礎上，分別對不同功率水平下的不同瞬態工況進行了仿真研究，在相同初始條件下將本文所設計的LQG控制器與傳統PID控制器所得仿真結果進行對比，以驗證本研究所設計的優化權重系數的LQG控制器在不同工況下控制性能的優越性，仿真的工況如下。

1) ±10%FP階躍負荷工況：90%FP-100%FP、40%FP-30%FP階躍負荷和30%FP-40%FP階躍負荷工況；

2) ±5%FP/min線性變負荷工況：100%FP-30%FP/-5%FP/min線性負荷和30%FP-100%FP/+5%FP/min線性負荷工況。

上述工況，本文設計的LQG控制器均采用A點所對應權重系數進行堆芯功率控制，其中，階躍負荷工況的仿真時間為100 s，而線性變負荷工況的仿真時間為1 000 s，仿真結果如圖5～10所示。

從圖5～8可看出，階躍負荷瞬態發生后，本文設計的LQR控制器能使反應堆功率迅速調節到參考值附近，調節速度較快，調節時間較短，且都能穩定在參考值附近。同時，堆芯出口溫度也能較快地調節到新的穩定狀態，調節時間短，超調量小，且穩定性好。這表明了本文設計的反應堆功率LQG控制器在高功率和低功率水平下均具有較好的控制性能和魯棒性。值得注意的是，本文設計的LQG控制器雖然都能滿足高功率和低功率階躍負荷瞬態的堆芯功率控制，但也可看出，本文的LQG控制器在低功率階躍負荷工況下的控制效果略差于高功率階躍負荷工況的控制效果，這主要由于本文采用的是在高功率階躍負荷(100%FP-90%FP階躍負荷)工況下優化設計得到的LQR權重系數。如針對低功率工況進行優化設計，預計能在低功率工況下獲得更好的控制效果。盡管如此，本文設計的LQG控制器不管在高功率還是在低功率下的階躍負荷工況，所獲得的控制效果均能滿足堆芯功率控制的要求，且具有較好的魯棒性。

圖5 100%FP-90%FP階躍負荷仿真結果Fig.5 100%FP-90%FP step load simulation results

圖6 90%FP-100%FP階躍負荷仿真結果Fig.6 90%FP-100%FP step load simulation results

圖7 40%FP-30%FP階躍負荷仿真結果Fig.7 40%FP-30%FP step load simulation results

圖8 30%FP-40%FP階躍負荷仿真結果Fig.8 30%FP-40%FP step load simulation results

圖9 100%FP-30%FP/-5%FP/min線性負荷仿真結果Fig.9 100%FP-30%FP/-5%FP/min linear load simulation results

圖10 30%FP-100%FP/+5%FP/min線性負荷仿真結果Fig.10 30%FP-100%FP/+5%FP/min linear load simulation results

從圖9、10可看出，本文設計的LQG控制器對±5%FP/min的線性變負荷工況具有很好的控制性能，堆芯功率能快速準確地跟隨參考功率的變化過程，超調量很小，且最后都能使堆芯功率穩定在參考值附近，穩態誤差可忽略。同時，堆芯出口溫度也隨著堆芯功率的變化，最終穩定在新的穩態水平上。表明了本文設計的LQG堆芯功率控制器對±5%FP/min的線性變負荷工況具有優越的控制性能，能滿足線性升降負荷的控制需求，且魯棒性好。

從圖5～10可看出，本文設計的LQG控制器以及傳統的PID控制器在上述工況下都可以實現反應堆功率的控制，且具有良好的控制性能，但本文設計的經優化權重系數的LQG控制器的堆芯功率控制性能明顯比PID控制器更優越，本文設計的LQG控制器的功率調節速度更快，超調量更小，控制性能更好。

4 結論

本文基于點堆模型推導了的反應堆堆芯狀態空間模型；通過LQG方法，設計了反應堆功率控制系統的控制器；基于NSGA-Ⅱ算法，對LQG控制器的LQR權重系數進行了優化設計；在相同初始條件下，與PID控制器仿真對比了階躍負荷工況、線性負荷變化工況，驗證了本文提出的LQG控制器的在不同功率水平、不同瞬態工況下的控制性能和魯棒性。本文結果表明，與傳統PID控制器相比，基于NSGA-Ⅱ算法優化的LQG控制器不僅控制精度高，而且響應快速，穩定性好，穩態誤差小，同時具有很好的魯棒性，能滿足反應堆功率控制的要求，具有較好的研究意義和應用前景。