Z箍縮X射線源輻射場理論分析

王亮平，邱愛慈，李 沫，張金海

(強脈沖輻射環境模擬與效應國家重點實驗室，西北核技術研究所，陜西 西安 710024)

Z箍縮一般是指利用金屬絲陣或噴氣負載在上升時間約100 ns、幅值為數MA～數十MA脈沖電流作用下，電離形成等離子體，等離子體在洛倫茲力作用下快速向軸線聚爆并最終在中心滯止，形成高溫高密度等離子體并進一步輻射出強X射線的物理過程[1-3]。Z箍縮在強脈沖輻射環境效應、高能密度物理科學、慣性約束聚變和實驗室天體物理等研究中具有重要應用前景[4-7]。利用Z箍縮輻射源產生的脈沖X射線輻照材料進行動力學響應及熱力學效應研究，一直是材料加固研究領域的一個重要方向[8-10]，對于增強系統的抗X射線輻射性能具有重要意義。

以國內“強光一號”加速器為例，Z箍縮負載可產生總能量約40 kJ的軟X射線[11-12]，光子能量范圍為0.1～2 keV，在距離Z箍縮負載中心5 cm處，軟X射線的能量密度約為100 J/cm2。利用脈沖軟X射線可開展殼體材料的熱力學效應研究[13-15]，獲得不同殼體材料沖量耦合系數，為進一步數值模擬或修正其他實驗手段(電子束輻射)的輻射結果提供依據。

熱力學實驗所關注的一個重要X射線參數為試驗材料表面的功率密度，但由于一般試驗面距離X射線源較近，直接在試驗面處布局探測器進行測量會對探測器造成輻射損傷，因此一般采用在距離Z箍縮X射線源足夠遠處測量X射線輻射能量，然后根據X射線輻射遵循4立體角均勻分布進行反推，進而獲得試驗面處的功率密度。但在試驗面與X射線源的距離與X射線源本身尺度可比擬的情況下(如在“強光一號”開展試驗時，X射線源長度為2 cm，試驗面與X射線源的距離為5 cm)，試驗面處是否符合遠場分布有待進一步分析。此外，當Z箍縮X射線源分別等效為線光源與朗伯(Lambert)光源(余弦輻射體)時，二者輻射場分布的異同也尚未見相關報道。基于上述問題，本文擬通過對Z箍縮軟X射線輻射源進行物理模型等效，理論分析Z箍縮等離子體負載作為軟X射線源的輻射場分布，比較線光源及余弦輻射光源的輻射場差異，得到遠近場情況下輻射場分布以及相應的遠場等效條件，并在此基礎上，進一步分析“強光一號”熱力學試驗中材料放置面處功率密度是否符合遠場情況，為熱力學效應實驗X射線輻射參數的準確確定提供理論基礎。

1 Z箍縮X射線源功率密度輻射場分析

通常情況下，Z箍縮負載在滯止時刻會形成近似圓柱形(磁流體力學不穩定性會破壞其對稱性)的X射線光源，設圓柱形光源長度為L、圓柱半徑為a，對于一般的Z箍縮X射線源，其典型長度L為2 cm，而滯止時刻圓柱半徑a典型值為0.5～1 mm。在分析空間任一點處的功率密度時，由于光源的對稱性，可選取空間點位于x-z平面內，且與原點的距離為R，與x軸的夾角為θ，如圖1所示。而對于圓柱形發光源，通常可能存在兩種形式，即普通線光源(由點光源疊加而成)和朗伯光源(余弦輻射光源)。

圖1 Z箍縮軟X射線光源視為線光源時的二維示意圖Fig.1 Two-dimensional layout of Z-pinch X-ray source treated as linear source

1.1 X射線源等效為線光源

如果將X射線源看作線光源(L?a)，且線光源由無數點光源構成，則對于空間中任一點(Rcosθ，Rsinθ)面積微元dS處(法線方向n沿x軸正方向，法線n與R的夾角為θ)，所接受的輻射功率dF為線光源上每個點光源輻射功率的疊加[16]，可表示為：

(1)

其中：P為Z箍縮X射線源輻射功率；z為線光源上任一點光源沿z軸的位置；β為點光源指向dS方向矢量與法線的夾角(圖1)，且規定方向矢量逆時針轉向法線矢量的夾角為正。對式(1)積分可得dS處接受的功率密度：

(2)

式中，β1和β2分別為+L/2和-L/2處點光源與微面元法線的夾角。

遠場時有R?L，式(2)中sinβ1-sinβ2≈(Lcos2θ)/R，在此條件下式(2)變為：

(3)

式中，dS·cosθ為面積微元在垂直于矢量方向的有效面積。

式(3)表明遠離Z箍縮軟X射線源中心處的等輻射功率密度面符合球面分布，此時可忽略Z箍縮軟X射線源線性長度L的影響，而將其視作點光源。

靠近Z箍縮軟X射線源處時，設Rcosθ=a，靠近Z箍縮軟X射線源則有a?L，當考察點Z坐標滿足條件-L/2≤Rsinθ≤L/2時，β1≈-π/2，β2≈π/2，式(2)可寫為：

(4)

式(4)意味著在靠近Z箍縮軟X射線源處，等輻射功率密度面符合圓柱側面分布。

1.2 X射線源等效為朗伯輻射體

朗伯輻射體又稱為余弦輻射體[16-17]，它表示面光源上各面元的發光強度隨方向變化的關系為dIθ=dI0·cosθ，其中dIθ為與面元法線成θ角方向的發光強度，dI0為法線方向的發光強度。余弦輻射體的亮度與θ有關。一般情況下，若輻射體接近黑體輻射，可將該輻射體視為余弦輻射體。

如果將Z箍縮圓柱形等離子體X射線源視為一個余弦輻射體，仍考察x-z平面內一點(Rcosθ，Rsinθ)面積微元dS處的受輻照情況，假設半徑為a的Z箍縮等離子體光源圓柱面上(圖2)有一發光微元dS′，其法線n′與x軸夾角為δ，發光微元dS′指向面積微元dS的矢量為r，r與發光微元法線n′的夾角為α，與面積微元法線矢量n的夾角為β，且定義由逆時針指向法線的角度方向為正，則面積微元dS所接受發光微元dS′的輻射功率可推導為：

d2F=Bcosα·dS′dS·cosβ/r2

(5)

圖2 Z箍縮軟X射線光源視為朗伯光源時的幾何關系示意圖Fig.2 Geometric layout of Z-pinch X-ray source treated as Lambert source

式中，B為發光微元的亮度，且根據圖2所示幾何關系可推導得：

r2=a2+R2cos2θ+

(z-Rsinθ)2-2aRcosθcosδ

(6)

cosα=(Rcosθcosδ-a)/r

cosβ=(Rcosθ-acosδ)/r

(7)

則對整個Z箍縮等離子體圓柱面積分可得：

adδdzdS

(8)

式(8)很難給出解析表達式，但在一定條件下可做近似處理，從而獲得其解析表達式。

遠場時，Z箍縮軟X射線源的徑向尺寸a遠小于其長度L以及R，且Rcosθcosδ?a，式(8)積分變為：

dδdzdS

(9)

對式(9)進一步積分，同時利用余弦輻射體亮度B與面發射度的關系πB=P/2πaL可得：

(10)

η1=arctan[(L/2-Rsinθ)/Rcosθ]

(11)

η2=arctan[(-L/2-Rsinθ)/Rcosθ]

(12)

其中，η1和η2的意義如圖3所示，且以逆時針旋轉至法線延長線的角度為正。

考慮遠場情況，此時R?L，可有sin2η1-sin2η2≈2cos2θ·Lcosθ/R，且η1-η2≈Lcosθ/R，可得：

(13)

式(13)與由點源近似得到的功率密度相比多一項cosθ，從而使輻射呈現明顯的方向性。

圖3 遠場情況下式(10)中角度η1與η2的示意Fig.3 Layout of angle η1 and η2 for formula (10)

靠近軟X射線源處時，Rcosθ≈a、arccos(a/Rcosθ)≈0，這意味著面元dS只接受與其法線方向平行的微元dS′的照射，由此可知等輻射功率密度面為圓柱側面分布，表示如下：

dF/dS=P/2πaL

(14)

前文得到了式(8)在遠近場條件下的近似解析公式，同時也可對式(8)進行數值計算獲得數值解，從而得到空間輻射場分布。

選取Z箍縮等離子體軟X射線源長度為2 cm，將軟X射線源分別等效為線光源和朗伯光源，利用式(1)及式(8)進行數值計算，獲得的輻射功率密度分布相對等值線如圖4所示。由圖4a可見，將X射線源等效為線光源時，遠場等功率面呈球面分布，而近場處為圓柱面；數值計算結果與解析公式結果在計算誤差范圍內相吻合，以距離光源中心8 cm處為例，根據解析公式計算歸一化輻射功率密度為1.24，而數值計算結果為1.25。由圖4b可見，將Z箍縮X射線源等效為朗伯光源時，在遠場處呈現出球面等功率密度面受角度余弦調制的分布，近場端呈現為圓柱側面等輻射功率密度面；仍以X射線光源中心平面上距離光源中心8 cm處為例，由解析公式計算得歸一化輻射功率密度為1.58，而數值計算結果為1.57，兩種分析結果同樣吻合較好。

2 試驗面處功率密度

實驗中一般將樣品置于距Z箍縮軟X射線源中心面5 cm處(圖5，此時θ=0)，此位置處的距離與軟X射線源長度(2 cm)可比擬，能否將該位置視為遠場情況有待進一步研究。

圖4 Z箍縮軟X射線光源視為線光源(a)和朗伯面光源(b)時的空間輻射場分布的數值計算結果 Fig.4 Simulation results for Z-pinch X-ray source regarded as line source (a) and Lambert source (b)

圖5 試驗樣品與Z箍縮X射線源位置示意Fig.5 Layout of sample for assessment experiment and Z-pinch X-ray source

若將軟X射線源視為線光源，依照前文得到的輻射功率密度表達式(式(2))，可根據具體數據得sinβ1-sinβ2≈0.39≈L/R，而中心面上cosθ=1，因此5 cm處sinβ1-sinβ2≈Lcos2θ/R，這一結果與前文線光源情況下遠場的簡化條件相一致，從而在距源5 cm處有：

(15)

式(15)表明，對于長度為2 cm的軟X射線源，距源5 cm處符合近似距離平方反比關系，大于此距離可視為遠場情況。

若將軟X射線源視為朗伯輻射體，根據前文可知，輻射功率密度可表達為式(10)，根據具體數據可計算得β1-β2≈0.39≈L/R,且sin2β1-sin2β2≈0.77≈2L/R，在中心面上cosθ=1，因此β1-β2≈(Lcos2θ)/R,且sin2β1-sin2β2≈2cos2θ·Lcosθ/R，這一結果與前文朗伯輻射體情況下遠場的簡化條件相一致，從而在距源5 cm處有：

(16)

式(16)與余弦輻射體的遠場輻射功率密度公式相吻合。

通過上述分析可知，對于長度為2 cm的Z箍縮軟X射線輻射體，當試驗面距離中心處5 cm時，無論將Z箍縮X光源等效為哪種輻射體，5 cm處即可視為遠場，近似符合距離平方反比關系。

此外，也可利用數值計算方法獲得5 cm處的功率分布。分別將Z箍縮輻射源等效為線光源和朗伯光源，利用式(1)、(8)進行數值計算，獲得的5 cm處功率密度分布示于圖4，同時在圖4a中畫出半徑5 cm的圓，在圖4b中畫出半徑(5 cm)與角度余弦乘積的曲線。可看出，等效為線光源時，距源5 cm處的功率密度輻射分布符合球面分布；等效為朗伯光源時，5 cm處的功率密度輻射分布符合球面與角度余弦乘積分布，因此，當試驗樣品布置于距Z箍縮X射線源5 cm處時，試驗面處的功率密度分布已符合遠場規律，功率密度與源的距離的平方呈反比。

3 結論

1) 將X射線源等效為線光源時，遠場處等輻射功率密度呈現球面分布，近場處為圓柱面分布；等效為Lambert光源時，遠場處等輻射功率密度呈現出受角度余弦調制球面的分布，近場處為圓柱面等分布。

2) 對于長度為2 cm的Z箍縮軟X射線輻射體，無論將Z箍縮X光源等效為哪種輻射體，當試驗樣品放置位置與Z箍縮光源的距離大于5 cm后，試驗面處受到的輻射功率密度均可視為遠場情況，符合遠場功率密度隨距離平方成反比下降的規律。