冗余驅動并聯(lián)機構的驅動力協(xié)調性優(yōu)化控制方法

馮建彬，李鐵軍，楊 冬，李賽雷

（河北工業(yè)大學 機械工程學院，天津 300132）

0 引言

冗余驅動并聯(lián)機器人不但具有傳統(tǒng)并聯(lián)機器人承載能力強、剛度高等優(yōu)點，而且通過引入冗余驅動，使機構能夠有效消除奇異位型[1]和驅動內力[2]，提高靈巧性[3]以及動態(tài)性能[4]，這些優(yōu)點使冗余驅動并聯(lián)機器人非常適用于建筑施工。但由于冗余驅動并聯(lián)機構的驅動數(shù)目大于自由度數(shù)，使各驅動間耦合更加復雜，機構驅動力協(xié)調性將變得尤為重要[5]。

現(xiàn)有對于冗余驅動并聯(lián)機構的研究主要集中在控制系統(tǒng)設計以及軌跡優(yōu)化方面。在控制系統(tǒng)方面，沈輝等[6]基于逆動力學分析，提出了一種自適應力位混合方法并通過最小二乘法對驅動力進行了優(yōu)化分配。Shang等[7]結合主動關節(jié)的關節(jié)空間和末端執(zhí)行器的任務空間內存在的兩種誤差，設計了一種協(xié)調控制器，提升了冗余驅動并聯(lián)機構的軌跡跟蹤精度。Niu等[8]提出了一種基于輪廓誤差的同步滑膜控制，在參數(shù)不確定和沒有動態(tài)模型的情況下，實現(xiàn)了良好的跟蹤性能。Wen等[9]以四自由度冗余驅動并聯(lián)機構為研究對象，設計了一種基于最優(yōu)轉矩分配的力位混合控制方法，有效減小了轉矩波動與位置誤差。Zheng等[10]利用內模控制對力位混合控制進行了優(yōu)化，通過重新設計位置環(huán)，提高了整體控制的精度與穩(wěn)定性。劉曉飛等[11]在傳統(tǒng)力位混合控制系統(tǒng)的基礎上，利用神經(jīng)網(wǎng)絡設計了一種同步控制器，進一步提高了機構的驅動協(xié)調性。同時，對于其軌跡優(yōu)化方面也有著不少的研究[12～14]，主要實現(xiàn)了機構的光滑運動以及時間，能耗等目標的優(yōu)化。其中陳棟[15]等采用五次B樣條曲線在笛卡爾空間內對機構末端軌跡進行了參數(shù)化表達并優(yōu)化求解，在優(yōu)化軌跡的同時保證了末端軌跡精度以及機構運動的平穩(wěn)性。

雖然對于冗余驅動并聯(lián)機構的控制研究已日益深入，但是還沒有針對其驅動力協(xié)調性進行系統(tǒng)的控制策略研究。本文在力位混合控制的基礎上，對機構運動軌跡進行驅動力協(xié)調性優(yōu)化。從而形成從機構運動始末位置的選取出發(fā)，到最優(yōu)協(xié)調性軌跡的規(guī)劃，再到力位混合的控制輸入，一套完整的冗余驅動并聯(lián)機構的驅動力協(xié)調性優(yōu)化方法。

1 冗余驅動并聯(lián)機構及其控制方法

該冗余驅動并聯(lián)機構主要應用于建筑施工，可用于幕墻或板材的安裝工作，其機構模型及部分構成如圖1所示。機構自由度數(shù)為三，同時包含六個驅動關節(jié)，是一種新型的冗余驅動并聯(lián)機構。

圖1 冗余驅動并聯(lián)機構模型

通過選取與機構自由度數(shù)目相同的伺服電機驅動關節(jié)采用位置驅動模式（即非冗余驅動關節(jié)），以實現(xiàn)機構的位置控制；剩余氣缸驅動關節(jié)采用力驅動模式（即冗余驅動關節(jié)），以實現(xiàn)各驅動力以及機構內力的調節(jié)。相比于傳統(tǒng)的位置驅動或者力矩驅動，力位混合驅動不但能夠較好的控制機構的運動精度，而且能夠有效的調節(jié)機構的各驅動關節(jié)力矩。對于冗余驅動并聯(lián)機構而言，這種控制方法可以有效的提高機構的驅動力協(xié)調性。本文設計相應的力位混合控制方法如圖2所示。

圖2 力位混合驅動控制方法

該力位混合控制方法是在軌跡規(guī)劃的基礎上，通過逆運動學計算各位置驅動關節(jié)期望輸入，通過動力學模型及驅動力優(yōu)化分配計算各力驅動關節(jié)期望輸入，然后分別由伺服電機和氣缸實現(xiàn)對機構位置和驅動力的控制。同時由于驅動誤差的存在，設計位置傳感器和力傳感器用以反饋機構末端的位置以及冗余驅動關節(jié)的力矩大小，實時調節(jié)各驅動輸入。從而有效提升控制系統(tǒng)的動態(tài)特性，較好的改善各驅動間的協(xié)調性。但是，整個機構在力矩調節(jié)過程中，實際上是利用力驅動關節(jié)對位置驅動關節(jié)進行的力矩調節(jié)。這也就導致在這個調節(jié)過程中，由于動力學模型的不準確或存在調節(jié)誤差，就極易影響機構整體的驅動力協(xié)調性。

1.1 逆運動學模型的建立

該機構可以簡化為如圖3所示的六桿機構，為了便于分析，在關節(jié)1處建立固定坐標系{S},在末端中心建立移動坐標系{N}。該機構末端在空間的運動可用位姿參數(shù)(x0,y0,γ0)描述，因此定義機構空間運動的廣義坐標為：

圖3 冗余驅動并聯(lián)機構簡圖

其中，[x0y0]T為機構移動坐標系原點ON在固定坐標系{S}中的位置向量，γ0為移動坐標系{N}在固定坐標系{S}中的歐拉角。

假定各驅動關節(jié)的關節(jié)角為θi，由封閉矢量法，分別得到6個驅動關節(jié)的運動學逆解：

其中fi(.)為逆運動學模型。

其中JR為廣義坐標下的冗余驅動關節(jié)部分的速度雅克比矩陣，JN為廣義坐標下的冗余驅動關節(jié)部分的速度雅克比矩陣。繼續(xù)對式(1)求二階，三階導可分別得到各驅動關節(jié)的加速度和急動度。

在此基礎上便能夠根據(jù)末端運動軌跡，解算出各位置驅動關節(jié)的位置輸入值，實現(xiàn)力位混合驅動控制的位置控制部分。

1.2 機構動力學模型的建立與分析

機構動力學模型是對機構進行分析與控制的基礎，本文利用虛功原理建立冗余驅動并聯(lián)機構的動力學模型。為了簡化運算，本文在忽略機構各關節(jié)摩擦力對機構的影響。

假定桿Li(i=1,2,3,4,h)的質量為mi，轉動慣量為Ii，其運動速度為vi，在廣義坐標q下的速度雅克比矩陣為Ji，則：

根據(jù)達朗貝爾原理，則虛加于各運動桿件上的廣義慣性力為：

綜上分析可知,各桿的重力所做的虛功為：

各桿的慣性力和慣性力矩所做的虛功為：

假定動平臺負載對動平臺施加的外力為F。可求得動平臺重力，負載對機構動平臺所施加的外力所做的虛功：

另，各關節(jié)驅動力矩所做的虛功為：

機構在運動過程中主要受重力、慣性力、驅動力以及外負載等的影響，借助虛功原理，建立機構的虛功平衡方程，即：

將式(3)，式(8)～式(11)分別代入式(12)中，并將略去，可得：

若通過矩陣的廣義逆理論，以驅動力為最小二范數(shù)解來進行優(yōu)化分配，可得：

在此基礎上，便能夠根據(jù)機構運動軌跡以及外負載大小解算出各力矩驅動關節(jié)的力矩輸入值，實現(xiàn)力位混合控制的力控制部分。

然后以τR作為獨立變量，將式(12)進一步整理可得：

若機構負載外力及運動狀態(tài)不變，由式(10)可得：

根據(jù)矩陣分析理論可知：||(JN)-T(JR)-T||反映了由冗余驅動力空間向非冗余驅動力空間映射時驅動力調整量廣義長度的縮放比例，可表征冗余驅動對非冗余驅動的力矩調節(jié)能力[5]，其大小與機構運動軌跡有關。機構在力位混合驅動模式下，過大的力矩調節(jié)能力將導致力矩調節(jié)誤差的增大，不利于機構的驅動力協(xié)調控制。因此可以通過合理優(yōu)化機構運動軌跡，避免力矩調節(jié)能力過大，從而進一步提升機構的驅動力協(xié)調性。

2 末端軌跡的參數(shù)化表達及優(yōu)化求解

2.1 基于B樣條曲線的末端軌跡參數(shù)化

一條具有n+1個控制點的k階B樣條曲線，其曲線的一般方程為：

式(17)中，di(i=0,1,…,n)為n+1個控制頂點，u=[u0,u1,…,un+k+1]為k次B樣條軌跡曲線定義域節(jié)點矢量，Ni,k(u)(i=0,1,…,n)為k次規(guī)范B樣條基函數(shù)。

在考慮軌跡精度與計算效率的情況下，本文選用具有11個控制點的五次B樣條曲線將機構的末端軌跡表達為：

其中是第i個控制點的廣義坐標：

由于在實際工作中，需要機構的末端能夠從任意的初始位姿點到達目標位姿點，且始末位姿處的速度、加速度均為零，所以需要軌跡的前三個控制點坐標與初始位姿相等，最后三個控制點坐標與目標位姿坐標相等，即：

按照區(qū)間比例關系映射后，可得到第i個有序化的控制點坐標為：

此外，為保證曲線經(jīng)過其設置的初始和終止位姿點，將其初始和終止節(jié)點向量重復k+1次，即u0=u1=…=uk=0，un+k=un+k+1=…=un+2k=1。在此基礎上，根據(jù)累計弦長參數(shù)化方法對時間節(jié)點歸一化，即：

其中，Δti=ti+1-ti。

在此基礎上，根據(jù)de Boor-Cox遞推公式計算其各階導數(shù)曲線，可分別得到速度，加速度和急動度曲線如下：

2.2 基于免疫算法的驅動力協(xié)調性優(yōu)化求解

通過機構運動學與動力學分析，選取軌跡上的n各位姿點的||(JN)-T(JR)-T||平均值來評價機構沿該軌跡運動時的驅動力協(xié)調性。同時考慮機構各位置驅動關節(jié)角位移，角速度，角加速度的約束，可以建立如下軌跡優(yōu)化模型。需要說明的是，考慮到機構采用力位混合驅動，末端執(zhí)行器的軌跡僅與三個位置驅動模式關節(jié)有關，所以僅對三個位置驅動模式關節(jié)進行速度，加速度約束。

隨后利用免疫算法進行優(yōu)化求解，流程如圖4所示。

圖4 免疫算法流程圖

機構各部件的長度如表1所示。根據(jù)表2～表3對機構各關節(jié)位移、速度、加速度進行約束。

表1 冗余驅動并聯(lián)機構的各關節(jié)角轉動范圍

表2 機構各部分尺寸

表3 位置驅動關節(jié)的速度和加速度約束

設定運動的初始位姿及末端位姿分別為Pi=[420 1220 0°]T，Pf=[950 1670 10°]T。同時為了保證機構的工作效率，設置機構末端的最大運動時間為tmax=10s。免疫算法參數(shù)設置為：初始化免疫個體維數(shù)為D=21，免疫種群個體數(shù)為NP=100，最大免疫代數(shù)為G=500，變異概率為Pm=0.7，激勵度系數(shù)為alfa=1，belta=1，相似度閾值為detas=0.2，克隆個數(shù)為Ncl=10。經(jīng)過計算得到以下協(xié)調性最優(yōu)軌跡參數(shù)，以此得到機構末端位姿分量x,y,γ的運動軌跡如圖5所示。然后結合逆運動學分析，得到各驅動關節(jié)運動軌跡如圖6和圖7所示。

圖5 末端各位姿分量運動軌跡

圖6 各關節(jié)角位移曲線

圖7 位置驅動關節(jié)速度，加速度，急動度曲線

由圖6、圖7可以看出，該軌跡優(yōu)化方法在滿足機構物理約束條件的情況下，實現(xiàn)了機構的光滑運動。在實際工作中，可以在工作空間內設置任意初始和終止位姿，通過該軌跡優(yōu)化方法實現(xiàn)機構運動始末加速度均為零的平穩(wěn)啟停。同時，優(yōu)化后的軌跡避免了機構運動在過程中力驅動關節(jié)對位置驅動關節(jié)產(chǎn)生較大的調節(jié)能力，從而有效減小力調節(jié)誤差，提高機構的驅動力協(xié)調性。在此基礎上，通過動力學計算便可以得到各力驅動關節(jié)的力矩輸入值，從而實現(xiàn)冗余驅動并聯(lián)機構的力位混合控制。

3 結語

本文提出了一種冗余驅動并聯(lián)機構的驅動力協(xié)調性優(yōu)化控制方法。該控制方法可根據(jù)工作需要設置任意始末位置進行軌跡優(yōu)化，并在此基礎上進行力位混合控制，根據(jù)運動學模型計算位置驅動關節(jié)輸入，根據(jù)動力學模型進行力矩優(yōu)化分配計算力驅動關節(jié)輸入，實現(xiàn)機構的驅動力協(xié)調性優(yōu)化。同時，該控制策略具有很強的通用性，可為其他冗余驅動并聯(lián)機構提供參考。