二級圓柱斜齒輪減速器多因素優化研究

胡 波，趙先鋒，胡小龍，湯朋飛，史紅艷

(貴州大學 機械工程學院，貴陽 550025)

0 引言

減速器是在原動機、工作機和執行機構之間傳遞力或力矩以及匹配轉速的設備[1,2]，重型二級斜齒圓柱齒輪減速器[3,4]具有重合度大、傳動平穩、嚙合性能優異的優點，在航空航天、汽車及輸送機領域獲得廣泛的應用[5～14]。

隨著小體積、輕量化、低耗能和低成本的需求，對于減速器體積的優化是目前減速器設計的主要問題。國外學者提出了一些優化方法。Ketan Tamboli[15]等人根據DIN標準計算了齒輪幾何參數對齒輪尺寸和強度的影響，提出了具有導出目標函數和約束條件的約束非線性多變量優化問題的求解方法，利用粒子群算法（PSO）對重型齒輪減速器低重量、節能和低成本等問題進行了求解。A.KURAPATI和S.AZARM[16]針對減速器最小體積的優化，提出了一種用于多學科設計優化（MDO）系統的MOGA-INS方法，大大的減少優化程序，但其局限性在于只能基于遺傳算法（GA）條件下實現優化。Lucian Tudose[17]等人使用兩階段演化算法對兩級斜齒輪傳動進行設計，完成對軸、軸承、外殼等的尺寸和選擇，得到了可以擴展到包括附加階段或不同布局的配置方案。ParidhiRaia[18]等人通過使用實數編碼的遺傳算法（RCGA），將輪廓偏移系數作為設計變量，同時考慮齒寬和齒數，使得減速器體積得到優化。國內學者用到的優化方法包括基于傳統非線性規劃的直齒輪單元最小體積設計[19]、SQP法[20]、模糊穩健優化設計[21]、懲罰函數法[22]、基于層次分析法的多目標優化[23]、基于差分進化的優化[24]、擺線輪齒廓修形多目標優化設計方法[25]、遺傳算法[26]等。就目前而言，將懲罰函數運用于減速器優化上最多的是內點懲罰函數法，外點懲罰函數目前沒有，而混合懲罰函數法是把內點法和外點法結合起來，既可以優化約束不等式條件也可以優化等式約束條件，故具有很好的實用性[27]。

目前的這些研究，對優化減速器的體積起到了積極地作用，但目前這些優化方法，討論的大多數參數在第一級，對第二級考慮相對較少，因此在優化減速器體積時，效果不是很好，因此本文采用混合懲罰函數法，綜合考慮兩級參數，對重型二級斜齒圓柱齒輪減速器進行優化，以達到全面優化型二級斜齒圓柱齒輪減速器體積的目標。

1 數學模型建立

以某貨車的重型二級斜齒圓柱減速器為研究對象，減速器參數為：額定功率為Pd=15W，總傳動比為i=15。工作狀況：單班8h，壽命12年（設每年工作300天），單向運轉，載荷較平穩。在高速級大小齒輪和低速級大齒輪的材料選擇均為45號鋼調質處理，低速級小齒輪為40Cr鋼調質處理，四個齒輪均屬于軟齒面，精度均為8級，符合設計規范。傳動圖如圖1所示。

圖1 圓柱齒輪傳動示意圖

從圖1的減速器傳動簡圖中可以看出，兩對圓柱齒輪傳動由共四個齒組成，齒數分別為Z1、Z2、Z3、Z4，相應的齒數比分別是i1=Z2/Z1和i2=Z4/Z3；兩組傳動齒輪的法面模數分別設為mn1和mn2；齒輪的螺旋角為β。表1為減速器原設計齒輪參數。

表1 減速器的主要參數

設計時按要求給定總傳動比i=15，且有i=i1×i2，所以i2=i/i1。，四個齒輪的齒數只要能確定兩個即可，因此設定兩個小齒輪的齒數Z1和Z3為設計變量。其他設計變量為：i1、i2、mn1、mn2、β1和β3，共八個參數擬定為設計變量。由于齒輪中心距是影響減速器體積的最主要的影響因素，且可以直接計算，因此針對8個設計變量采用混合懲罰函數法，以中心距最小為目標進行減速器體積優化設計。

2 基于混合懲罰函數法的數學模型

針對本次優化設計的八個參數擬定為設計變量Z1、Z3、u1、u2、mn1、mn2、β1和β3，即：

由于二級斜齒圓柱齒輪減速器中齒輪及軸的中心距決定減速器整體體積的主要依據，將其中心距作為目標來進行優化設計，按照要求使減速器的中心距A最小，將目標函數寫成：

各參數的選擇準則如下：

1）法面模數。法面模數值過大則會使得齒輪體積的偏大，模數值偏小則會引起承載能力不足，故根據一系列的標準模數值可取mn≥2。

2）螺旋角。因為斜齒輪有軸向力的存在，且隨螺旋角的增加而增加，故使軸承不承受過大的軸向力，應對螺旋角有所限制，一般應使8°≤β≤20°。

3）小齒輪齒數。為了避免發生根切，方便制造選取20≤Z≤30。

4）大小齒輪齒數比。由上面計算結果可知u1=Z1/Z2，u2=Z4/Z3，一般取(2～5)之間。

5）齒面接觸疲勞強度。對于外嚙合斜齒輪的齒面接觸疲勞強度有：

6）齒根彎曲疲勞強度：

約束條件：

將已知量代入上述各式，建立的數學模型為：

由式(9)得出：

相關參數查表可知：

表2 相關參數

將參數代入式(14)得：

由式(11)得出：

將式參數代入式(17)得：

代入式(3)得其初始方案為：

構造懲罰函數：

由于所有的約束條件均為不等式約束，故hv(x)=0。由式(1)可知，

將已知條件代入式(18)得所構造的混合懲罰函數為：

使用MATLAB軟件進行編程，經迭代計算即可得出最優解。

3 優化及體積計算

根據前面的目標函數和約束函數，在MATLAB中編寫其優化程序代碼，程序在經過迭代后得到優化結果為：

圖2 優化結果

即經優化后得到目標函數為：

減速器箱體體積V1(x)：

式(23)中：l、b、h分別是箱體的近似長度、近似寬度和平均高度，為箱體的平均壁厚。

由式(23)、式(24)計算可得：

代入優化結果后有：

由下式可得：

式中齒寬系數φd=1.3。

將式(25)～式(27)代入式(24)后得：

最后將上述計算結果代入式(23)得：

對比前后發現減速器體積從原來的6664617.6mm3減小到4808996.579mm3，體積減小了27.84%。

4 結語

通過分析斜齒圓柱齒輪減速器的優化方法的優劣，采用混合懲罰函數法優化減速器的8個設計參數，以中心距為目標函數，建立了某重型二級斜齒圓柱齒輪減速器的混合懲罰函數模型，通過MATLAB編程，得到了中心距的最優解，進而計算了某重型減速器的體積減小量。由計算結果可以看出，二級斜齒圓柱齒輪減速器體積減小了27.84%。本方法為重型二級斜齒圓柱齒輪減速器的設計提供借鑒。