基于雜交PSO 算法的直線電機伺服參數優化

王志昊

（200093 上海市 上海理工大學 機械工程學院）

0 引言

直線電機因具有靈敏度高、快速響應等優點而廣泛應用于高精度高速直線運動的工業生產場景中。但由于直線電機系統“零傳動”的結構特點，外界負載擾動變化直接作用于工作臺上，故其控制精度和效果對伺服參數的選定十分敏感[1]。為得到良好的伺服控制性能，需要研究高效自適應的參數整定方法。

PID 控制器因穩定性好、結構簡單可靠、魯棒性強等優點，廣泛應用于以直線電機驅動的機床等工業生產設備的控制回路中。應用智能算法對電機伺服參數優化的研究中，張連強[2]等將模擬退火算法思想融合人群搜索算法應用于參數的優化整定，改善算法的局部收斂狀況；劉龍飛[3]等將遺傳算法應用于直線電機矢量控制優化，以提升系統動態剛度為目標優化伺服參數；蘇攀[4]等提出一種隨機學習因子的改進粒子群算法，改善粒子過早熟陷入局部極值的情況；Tamara[5]等采用遺傳算法對PID 控制器進行改進，并應用于無光源網絡的參數整定，相比于Z-N 方法具有更好的精度和魯棒性。以上方案各有特色，但針對直線電機系統伺服參數整定問題，難免存在優化效果不佳或使用復雜等缺點。

本文借助遺傳算法的思想，提出一種雜交粒子群算法（Hybrid Particle Swarm Optimization,HPSO），在標準PSO 迭代過程中引入雜交算子對粒子群進行雜交操作，增加搜索初期粒子的多樣性，大大增強了算法的全局尋優能力。建立直線電機伺服系統的數學模型進行仿真試驗，通過與標準PSO 算法及文獻[6]提出的非線性遞減慣性權重策略對比計算結果，驗證了本文提出雜交PSO 算法的優點。

1 電機伺服系統的數學模型

1.1 直線電機數學模型

永磁同步直線電機由永磁同步旋轉電機發展而來，其數學理論模型與旋轉電機基本相同[7]。本文參考旋轉電機模型以單軸永磁同步直線電機為例，為建立系統模型對直線電機驅動做出適當假設：

（1）磁路飽和可忽略，且各繞組的自感互感是線性的；

（2）繞組電阻是定值，忽略頻率溫度等變化的影響；

（3）渦流和磁滯損耗可忽略。

根據矢量變換控制的原理，d 軸分量id=0，建立電機的運動學和電學方程

式中：M——電機動子質量；F——電機推力；v——動子運動速度；B——粘滯阻尼系數；iq——q 軸電流；Ff——電機推力常數；Ra——電機初級繞組電阻；Lq——電機初級電感；τ——極距；Φf——磁通量。

基于上述方程，建立永磁同步直線電機的數學模型如圖1 所示。

圖1 直線電機數學模型框圖Fig.1 Block diagram of linear motor mathematical model

1.2 PID 控制原理

PID 控制是一種線性控制器，根據系統輸入值r(t)與實際輸出值y(t)構成控制偏差e(t)，將其按比例、積分和微分運算并線性疊加構成控制量u(t)輸出[8]。連續時間域中，PID 的控制算法表達式如式（2）：

式中：kp——比例系數；Ti——積分時間常數；Td——微分時間常數?；綪ID 控制原理如圖2所示。

圖2 基本PID 控制原理框圖Fig.2 Block diagram of basic PID control principle

由于實現難易程度和成本的限制，在不同實際場景中往往根據性能需求，分情況采取P 控制、PI 控制、PD 控制和PID 控制，但無論哪種控制方式，其參數的選定都將決定系統控制精度，影響最終的控制效果。

1.3 直線電機伺服系統數學模型

直線電機伺服控制通常采用三環控制系統，從內到外依次是位置環、速度環和電流環[9]。其中，電流環完全在伺服驅動器內部進行，通過霍爾裝置檢測驅動器給電機的各相的輸出電流，響應速度較快。時間滯后主要由伺服控制器中濾波器及逆變器引起。故將電流環等效為慣性環節，其傳遞函數如下：

式中：Trg——電機推力系數；Tfil——濾波器時間常數；Ti——逆變器時間常數。

綜上，將直線電機伺服系統近似為線性系統，可建立如圖3 所示的數學模型。其中，r(t)為給定位置指令；Kpp為位置環比例增益；Tc為控制周期；Kvp為速度環比例增益；Kvi為速度環積分增益；M 為動子質量；B 為粘滯阻尼系數。

圖3 直線電機伺服系統數學模型框圖Fig.3 Mathematical model block diagram of LM servo system

該模型包含電機的三環控制系統、矢量變換環節和反饋元器件等，其中位置環和速度環采用P-PI 控制。P-PI 環節的比例增益即為控制系統的伺服參數，若整定得當將有效提升系統的動態特性。

2 混合雜交算子的PSO 算法

2.1 標準PSO 優化算法

粒子群算法（Particle Swarm Optimization,PSO）由Dr.Eberhart 等于1995 年提出，是一種基于群體智能的全局隨機搜索算法[10]。PSO 算法首先在解空間內隨機取值進行粒子位置和速度的初始化，通過向自我及向群體的學習來自我更新。經過設定的迭代次數或達到計算精度時停止搜索。粒子通過式（4）和式（5）更新自己的速度和位置

式中：r1，r2——(0,1) 范圍內的隨機數；c1，c2——學習因子，通常設定為c1=2，c2=2；pid——當前個體歷史的最優位置；pgd——當前群體歷史的最優位置。

標準PSO 算法在迭代過程中只傳遞最優信息，故搜索速度快，收斂迅速，但易陷入局部極值，并且搜索性能取決于其局部細化和全局探索的平衡，因而PSO 算法具有較大的改善空間。

2.2 雜交PSO 算法

為避免這種“早熟”的計算收斂并提高解的質量，本文借鑒遺傳算法中的“雜交操作”思想，提出一種雜交粒子群算法（HPSO，Hybrid Particle Swarm Optimization）。在粒子迭代過程中引入一個雜交算子s，使得粒子的基因進行重組而不斷產生新微粒，保持粒子群體的多樣性，進而提高算法的全局搜索能力，減少陷入局部極值的可能性。

雜交PSO 算法的具體操作：

（1）在每次迭代中根據雜交概率Pc 判斷，若觸發則選取一定數量的粒子放入操作池內；

（2）隨機選取池內粒子進行兩兩雜交，交叉基因而生成相同數量的子代粒子(child)；

（3）將子代粒子替換親代粒子(parent)，保持種群數目不變。其位置xc和速度vc由式（6）和式（7）計算

式中：s ——雜交算子，0＜s＜1；xp1，xp2——親代粒子的位置；vp1，vp2——親代粒子的速度。

這一算子的引用使得PSO 過早成熟、易陷入局部優解的缺點得以改善。在迭代次數的后期，利用粒子群高效的聚合能力，快速確定最優解的方向，使得算法易于收斂。

此外，引入粒子飛行的慣性權重w 可進一步增強全局搜索能力，提高算法性能。故采用文獻[11]提出的非線性動態遞減慣性權重，如式（8）所示：

式中：wstart——初始慣性權值；wend——終止慣性權值，經過大量實驗總結，wstart=0.95，wend=0.4時效果較好；t——當前進化代數；tmax——最大迭代次數。

整理式（4）—式（8），得到雜交PSO 的更新公式

當觸發雜交概率Pc時，采用式（6）和式（7）生成子代粒子。

2.3 多峰函數檢驗HPSO 有效性

通過引入雜交算子，在目標函數為復雜高維問題時具有良好的越障搜索能力，有利于種群跳出局部最優解，在搜索初期能夠較全面地搜尋。為說明改進算法的優越性，使用標準PSO、文獻[6]改進PSO 以及本文方法對經典測試函數Rastrigin 多峰函數進行試驗。將Rastrigin 設為適應度函數，即

式中：d——解空間的維數，i=1,2,…,d；x 取值為-5.12＜x＜5.12。當自變量均為0 時，Rastrigin函數取得最小值0。

圖4 所示為二維Rastrigin 函數形貌。函數在最小值（0，0）點附近有多個相鄰峰，使得函數極易在最小值附近陷入局部優解而無法跳出，可用于檢驗優化算法的搜索性能。當設定測試函數為8 維時，三種方法求解過程的最優適應度對比如圖5 所示。由于粒子雜交操作能夠增強群體多樣性，雜交PSO 算法能在迭代初期進行更全面的尋優，相比于其他2 種方法在收斂速度和求解精度方面達到更好的平衡，效果更優。

圖4 二維Rastrigin 多峰函數Fig.4 2-dimensional Rastrigin multimodal function

圖5 3 種算法在8 維Ras 函數適應度變化的對比圖Fig.5 Comparison of fitness changes of three algorithms in 8-dimensional Ras function

根據表1，問題復雜度由4 維逐漸提升至50維，本文改進算法相比標準PSO 和文獻[6]PSO 算法在最優值和平均值均取得較大改進，提高了陷入局部極值的能力。通過Rastrigin 函數的測試對比，驗證了本文改進算法的優越性。

表1 Rastrigin 多峰函數性能對比Tab.1 Performance comparison of Rastrigin multimodal function

3 基于雜交PSO 算法的伺服參數優化

3.1 適應度函數的設定

經過上述Rastrigin 函數數值測試，驗證了雜交PSO 算法具有較好的性能。故根據第1 節建立的直線電機伺服系統數學模型，采用HPSO 進行伺服參數（Kpp，Kvp，Kvi）的整定和優化。

單位階躍響應是測試系統在單位階躍信號的輸入作用下所產生的零狀態響應。因為階躍響應對系統來說是一種較為嚴苛的輸入，其響應輸出能很大程度上反應測試系統的動態特性，故作為分析和判斷伺服系統性能常用的測試類型。

選取階躍輸入的輸出響應作為HPSO 的目標函數，用以評價粒子的優劣。整定直線電機伺服參數的適應度函數J 如式（11）和式（12）所示，其中ey(t)為系統輸出差值，即ey(t)=y(t)-y(t-1)。

（1）當ey（t）≥0 時，

（2）當ey（t）＜0 時，為避免系統超調需要采取懲罰機制，在積分項中引入超調量項并且設定為較高的權重。

式中：e（t）——控制偏差，e（t）=r（t）-y（t）；u（t）——控制器輸出；tr——階躍響應上升時間；w1，w2，w3，w4——權 重，通 常 取w1=0.999，w2=0.001，w3=2.0，w4=100。

3.2 HPSO 算法的流程說明

（1）算法初始化，根據經驗設定變量的上下限，并確定HPSO 算法的控制參數；

（2）粒子初始化，隨機生成每個粒子的速度vi和位置xi；

（3）適應度評價，對每個粒子求解其適應度Ji；

（4）更新粒子，對比粒子個體與群體的歷史最優值，按式（9）更新其位置和速度;

（5）雜交操作，觸發雜交時按式（6）—式（7）產生雜交粒子；

（6）判斷終止，若不滿足則返回步驟3 重復以上操作。

4 仿真驗證

根據式（11）—式（12）設定的適應度函數，對第1 節搭建的直線電機數學模型進行階躍輸入，測試3 種PSO 算法優化后的伺服參數（Kpp，Kvp，Kvi）對系統的控制效果。在t=0 時刻，對系統進行單位階躍輸入；在t=0.6 s 時刻，對其施加反向的階躍擾動，對比結果如圖6 所示。

圖6 PID 階躍響應曲線對比Fig.6 Comparison of PID step response curves

可以明顯看出，通過標準PSO 算法優化出來的伺服參數對所建數學模型控制效果最差，有較大超調量且需要較長的穩定時間，并且對突變輸入的響應遲緩，調整時間過長；文獻[6]PSO方法雖然較標準PSO 在超調量和調整時間上有所減少，但改進效果不明顯。說明兩種算法在搜索迭代中均陷入了局部極值，因此對伺服參數的優化效果不佳。

相比而言，HPSO 算法優化的效果顯著，明顯縮短了階躍響應的上升時間tr、峰值時間tp和調整時間ts，并且有效地抑制過沖現象的發生，應對突變輸入響應迅速，具有較好的靈敏度和穩定性。如表2 數據所證明，使用雜交PSO 能有效地優化整定直線電機伺服參數，使之動態性能得到明顯提升。

表2 系統對階躍輸入的響應性能對比Tab.2 Comparison of system response to step input

5 結語

本文提出一種基于雜交PSO 算法的方案解決直線電機驅動系統伺服參數的整定問題。在算法迭代過程中對比標準PSO 和文獻[6]改進PSO，本方案的收斂速度和求解精度得到明顯優化。仿真試驗證明，本方法對伺服參數具有良好的整定效果，使用優化后的伺服參數有效增強系統的動態特性。