伺服機(jī)構(gòu)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析

李超

（200093 上海市 上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院）

0 引言

導(dǎo)引頭伺服系統(tǒng)的主要作用是實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)對(duì)象的搜索、識(shí)別和跟蹤等，在高精度和高穩(wěn)定性的制導(dǎo)武器領(lǐng)域中應(yīng)用非常廣泛。導(dǎo)引頭伺服機(jī)構(gòu)作為其伺服系統(tǒng)的核心部件之一，主要作用是為光電成像機(jī)構(gòu)提供慣性穩(wěn)定的平臺(tái)，其性能的優(yōu)與劣將直接決定制導(dǎo)武器的性能。由于齒側(cè)間隙的存在，導(dǎo)引頭伺服機(jī)構(gòu)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在傳動(dòng)過程中會(huì)因齒輪副的相互作用，導(dǎo)致齒輪間產(chǎn)生接觸、分離、再接觸的內(nèi)部激勵(lì)，進(jìn)而影響導(dǎo)引頭搜索、跟蹤目標(biāo)的精度和穩(wěn)定性。

Chen Siyu等考慮齒測(cè)間隙和摩擦力影響下，利用龍格庫(kù)塔法對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真[1]。劉寶山[2]等通過有限元的方法分析不同安裝誤差下的齒輪嚙合剛度的變化，研究結(jié)果表明減少傳動(dòng)誤差會(huì)減小齒輪的嚙合剛度；李小彭[3]等考慮支撐間隙對(duì)齒輪系統(tǒng)振動(dòng)特征的影響，建立齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，分析具有分形特性的齒側(cè)間隙對(duì)系統(tǒng)特性的影響；王凱達(dá)[4]等對(duì)齒輪間隙研究結(jié)果表明，齒輪動(dòng)態(tài)傳遞誤差的振幅隨著軸承間隙的增大逐漸增大。劉兵[5]等針對(duì)齒輪間隙的動(dòng)態(tài)特性,建立齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，提出動(dòng)態(tài)齒側(cè)間隙耦合概念，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證了該齒輪動(dòng)力學(xué)模型的準(zhǔn)確性；Lyza B[6]等建立了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，研究了嚙合頻率等對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性；劉杰[7]等考慮齒側(cè)間隙等因素,建立齒輪動(dòng)力學(xué)模型，利用龍格-庫(kù)塔法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。Liu P[8]研究齒距偏差對(duì)直齒圓柱齒輪副運(yùn)動(dòng)特性的影響，建立了直齒圓柱齒輪副的動(dòng)力學(xué)模型,研究結(jié)果為傳動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計(jì)及其它齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中節(jié)距偏差的影響提供了理論依據(jù)。

本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，針輪齒輪非線性動(dòng)態(tài)特性，建立含有齒側(cè)間隙、時(shí)變嚙合剛度和外部激勵(lì)等參數(shù)模型，利用數(shù)值分析方法分析不同參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。

1 時(shí)變嚙合剛度和齒側(cè)間隙

1.1 時(shí)變嚙合剛度的原理

重合度作為齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在運(yùn)行過程中穩(wěn)定性是否良好的重要影響指標(biāo)，其表示傳動(dòng)過程中，當(dāng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)齒距時(shí)，參與嚙合的輪齒對(duì)數(shù)。如果齒輪的重合度小于1，則后一對(duì)齒輪還未進(jìn)入嚙合狀態(tài)，前一對(duì)齒輪將要分離，進(jìn)而影響齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但是對(duì)于理想狀態(tài)下的一對(duì)漸開線標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪，其重合度不會(huì)超過2。在相同的工況條件下，隨著重合度的增加，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和承載能力都有所提高。

傳動(dòng)系統(tǒng)的嚙合過程如圖1（a）所示，在整個(gè)的嚙合區(qū)域中，會(huì)有1 個(gè)單齒和2 個(gè)雙齒嚙合區(qū)域，而內(nèi)部激勵(lì)正是因?yàn)閱坞p齒的交替周期性的嚙合產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)剛度激勵(lì)。其次，周期性變化的嚙合剛度在動(dòng)力學(xué)建模過程中是以彈性力項(xiàng)系數(shù)的形式出現(xiàn)的，因此在性質(zhì)上其也是一種參數(shù)激勵(lì)。

如圖1（b）所示，在嚙合過程的任意時(shí)刻，單對(duì)輪齒的總變形量是主動(dòng)輪和從動(dòng)輪彈性變形量的總和，即

由剛度與彈性變形量的關(guān)系理論推導(dǎo)公式和式（1）可得單對(duì)的嚙合剛度表達(dá)式為

式中：δp，δg——主、從動(dòng)輪變形；kp，kg——主、從動(dòng)輪剛度。

根據(jù)剛度疊加原理，雙齒嚙合剛度由單對(duì)齒疊加得到km，如圖1（c）所示，由單齒過渡到雙齒時(shí)，剛度發(fā)生階躍變化。

圖1 齒輪時(shí)變嚙合剛度Fig.1 Time-varying meshing stiffness of gear

1.2 齒側(cè)間隙

齒輪嚙合副在傳動(dòng)過程中是一個(gè)分離和接觸反復(fù)的狀態(tài)，使得齒輪的變形量具有非常強(qiáng)的非線性現(xiàn)象。

齒輪間隙的變化如圖2 所示。其中，b 為齒輪嚙合副的間隙，x 為齒輪嚙合線的位移，則齒側(cè)間隙的變形量為

圖2 齒輪間隙Fig.2 Gear clearance

因此，根據(jù)時(shí)變嚙合剛度原理和齒輪間隙，研究阻尼比和激勵(lì)頻率對(duì)幅頻響應(yīng)曲線的影響，為齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析和控制奠定基礎(chǔ)。

2 動(dòng)力學(xué)模型的建立

在高精度齒輪加工裝配過程中，齒輪的動(dòng)態(tài)特性分析具有重要意義。如圖3 所示，考慮齒輪副的時(shí)變嚙合剛度、外部載荷和齒側(cè)間隙建立齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析。根據(jù)牛頓第二定律，建立系統(tǒng)微分方程：

圖3 齒輪扭轉(zhuǎn)模型Fig.3 Gear torsion model

式中：Ia，Ib——主、從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；c ——齒輪副的嚙合阻尼；K（t）——齒輪副的嚙合剛度；Ra，Rb——主從動(dòng)輪的基圓半徑；Ta，Tb——主、從動(dòng)輪的扭矩；e ——靜態(tài)誤差；θa，θb——主、從動(dòng)輪角位移；，——主、從動(dòng)輪角速度；，——主、從動(dòng)輪角加速度

其中，令外部激勵(lì)載荷如式（6）所示：

式中：f0——平均載荷；f1——激振力幅值；ω1——外部激勵(lì)頻率。

則式（5）進(jìn)行歸一化后為

3 動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析

3.1 阻尼比對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

齒輪副嚙合的過程中會(huì)存在摩擦力及變形等現(xiàn)象，進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生熱量，使系統(tǒng)的能量消耗，從而產(chǎn)生齒輪副嚙合的阻尼效應(yīng)。目前研究中，阻尼比等參數(shù)對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)具有顯著的影響，因此針對(duì)內(nèi)部激勵(lì)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響，分析不同阻尼比下的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性。

歸一化后，分別選取平均載荷f0=0.96，外部激振力f1=0.55，激振力頻率系數(shù)n=1,時(shí)變嚙合剛度系數(shù)ε=0.03，阻尼比ξ分別取0.08，0.11，0.14，結(jié)果如圖4 和圖5 所示。

圖4 阻尼比對(duì)幅頻響應(yīng)的影響Fig.4 Effect of damping ratio on amplitude-frequency response

圖5 阻尼比對(duì)時(shí)域響應(yīng)的影響Fig.5 Effect of damping ratio on time-domain response

由圖4 和圖5 可以看出，隨阻尼比的增加，復(fù)雜響應(yīng)占有區(qū)域減少，穩(wěn)定性增加，且振幅進(jìn)一步減小。

3.2 平均載荷對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

如果系統(tǒng)中存在外部激勵(lì)，則齒輪副在嚙合傳動(dòng)的過程中會(huì)有比內(nèi)部激勵(lì)更為復(fù)雜的響應(yīng)，因?yàn)橥獠考?lì)不僅會(huì)引起系統(tǒng)傳動(dòng)過程中質(zhì)量不平衡現(xiàn)象，而且會(huì)導(dǎo)致齒輪的偏心，轉(zhuǎn)子不對(duì)中的現(xiàn)象。根據(jù)式（7）分別選取外部激振力f1=0.55，激振力頻率系數(shù)n=1,時(shí)變嚙合剛度系數(shù)ε=0.03，阻尼比ξ=0.08，平均載荷f0分別取0.96，1.26，1.56，結(jié)果如圖6 和圖7 所示。

由圖6 可知，平均載荷的不斷增加，共振區(qū)域的幅值增加。從圖7 可以得出載荷的增加，幅值增加，但是對(duì)系統(tǒng)趨于穩(wěn)定的時(shí)間影響不大。

圖6 平均載荷對(duì)幅頻響應(yīng)的影響Fig.6 Effect of average load on amplitude-frequency response

圖7 平均載荷對(duì)時(shí)域響應(yīng)的影響Fig.7 Effect of average load on time-domain response

3.3 激振頻率對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

激振頻率的大小影響齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)，當(dāng)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率與激振頻率相同時(shí)，會(huì)出現(xiàn)共振現(xiàn)象。在這個(gè)系統(tǒng)中，共振是不利的，它不僅會(huì)影響機(jī)構(gòu)的壽命，而且嚴(yán)重影響機(jī)構(gòu)的精度和穩(wěn)定性。分析不同激振頻率下的幅頻響應(yīng)和時(shí)域響應(yīng)，分別選取平均載荷f0=0.96，外部激振力f1=0.55，時(shí)變嚙合剛度系數(shù)ε=0.03，阻尼比ξ=0.08，激振力頻率系數(shù)n分別取1.0，1.2，1.4，結(jié)果如圖8 和圖9 所示。

圖8 激振頻率對(duì)幅頻響應(yīng)的影響Fig.8 Effect of excitation frequency on amplitude-frequency response

圖9 激振頻率對(duì)時(shí)域響應(yīng)的影響Fig.9 Effect of excitation frequency on time-domain response

根據(jù)圖9 可以得出，激振頻率增加，共振頻率提前出現(xiàn)，不僅含有激勵(lì)頻率，而且有低頻成分，但是系統(tǒng)主要體現(xiàn)的是超諧響應(yīng)，對(duì)激振幅值影響不是很明顯。從圖9 可得，隨激振頻率增加，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定的時(shí)間會(huì)增加。

4 結(jié)論

利用龍格庫(kù)塔數(shù)值方法對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，可以看出，阻尼比較少時(shí)，系統(tǒng)能量散發(fā)不出去導(dǎo)致能量積累，使得系統(tǒng)穩(wěn)定性降低。阻尼比增加，系統(tǒng)耗能增加，從而使系統(tǒng)逐漸趨于穩(wěn)定狀態(tài)。同樣，隨著外部激振力頻率的不斷增加，不僅基頻提前，而且出現(xiàn)了倍頻的現(xiàn)象和循環(huán)的周期不斷減小。