基于拓撲優化的FSC 鏤空鏈輪設計

孔云飛，吳華偉，蘇文杭，陳哲

（1.441053 湖北省 襄陽市 湖北文理學院 純電動汽車動力系統設計與測試湖北省重點實驗室；2.441053 湖北省 襄陽市 湖北文理學院 汽車與交通工程學院）

0 引言

中國大學生方程式汽車大賽簡稱FSC，參賽車隊都被要求在一年內設計和制造一輛符合競賽規則和競賽制造標準的賽車。

自2010 年第一屆賽事以來，眾多車隊采取的傳動方式多為鏈傳動和齒輪傳動，目前參賽車隊考慮到賽車追求成本性價比和輕量化，在滿足傳動系統所需穩定性和傳動效率下選擇更易調節安裝、成本較低的鏈傳動方式。但鏈傳動易出問題，鏈傳動比過小會導致賽車動力不足，傳動比過大導致鏈條在小齒輪上包角過小，鏈齒載荷變大，加快齒輪磨損，易出現跳齒與脫鏈現象；且實心鏈輪會產生較大轉動慣量，不利于鏈輪結構穩定與結構效率。

近年來，國內外關于FSC 賽車各系統構件調校與輕量化有大量研究。李任任[1]等優化了傳動比，換選半軸材料，實現輕量化；王嬿舒[2]等運用RS 和GDO 法增加設計參數點，實現鏈輪減重孔優化；戴海燕[3]等對鏈輪肋板數目與減重孔尺寸進行設計與分析達到了輕量化目的；袁守利[4]等運用SIMP 法使車架避免耦合并實現輕量化；蘭鳳崇[5]等提出對轉向節進行拓撲優化設計以提高剛度與模態頻率。由以上文獻可知，目前國內外對于傳動比校核、鏈輪的二次拓撲優化設計與實車驗證較少。為此，本文對傳動比大小進行校核，運用拓撲優化對鏈輪設計進行優化，滿足實際工況下實現輕量化結構設計，并進行實車驗證。

1 FSC 鏈輪設計要求及理論分析

1.1 傳動比計算分析

根據大賽要求，賽車需要考慮結構設計合理與成本控制，兼具動力性、燃油經濟性、耐久性等。為保證賽車能達到所需的的動力輸出，賽車需要有良好的加速度，因此依據賽車輪胎附著極限值可以求出最小傳動比值[6]。對賽車輪胎建立簡要力學平衡模型進行分析，如圖1 所示。圖1中：G——車身重力；Tλ——驅動扭矩；Tf——滾動阻力矩；Fs1——地面支持力；Ft——驅動力。

圖1 輪胎簡要力學平衡示意圖Fig.1 Schematic diagram of brief mechanical balance of tire

根據圖1 得到，驅動輪附著極限為

即驅動扭矩為最大附著力與滾動阻力之和，得：

式中：μ——驅動輪最大摩擦系數1.3；k1——軸荷轉移系數，取1.4；r ——輪胎半徑，取0.23 m；f ——車輪滾阻系數，取0.018；m——車質量，取290 kg；g——重力系數，取9.8 N/kg。前后軸荷比，取48∶52。

驅動扭矩Tλ與發動機輸出扭矩T0的關系為

總傳動比i 與各級傳動比in之間的關系為

式中：ηT——傳動效率，取80%；if——前傳動比，取2.11；i0——主減速器傳動比；T0——55 N·m。

聯立式（2）—式（4），代入已知參數，得到主減速器傳動比下限值i0=2.73。

在不考慮其他客觀因素的條件下，傳動比的增大直接影響著驅動力的增大。當驅動力增加至大于附著力時，地面與車輪的靜摩擦力小于動力，車輪會出現滑動，導致功率損耗和油耗增加。查閱相關文獻得知[7]，附著系數可取為2，對應附著系數得其縱向力為3 000 N。

式中：Ttq——輸出扭矩，為47.53 nm；ig——1擋傳動比，為5.81；ca——鎖緊扭矩比，為0.88；輪胎半徑r，為0.23 m；ηT——傳動效率，為0.8。

將參數代入式（5）得傳動比上限i0max≤3.54 。

據《機械設計手冊》[8]擬定Z1為小鏈輪齒數11，Z2為大鏈輪齒數39，設計鏈傳動相關參數。

滾子鏈修正功率：

式中：P0——輸入功率，為56 kW；f1——工況系數，為1.4；f2——小鏈輪齒數系數，為1.8。

計算式（6）得到 Pc=141.12 kW。

擬定中心距

式中：p——鏈條節距，為15.875 mm。

由式（7）得擬定中心距a0=158.56 mm。

鏈條節數

由式（8）得 x0=46.96。為避免使用過渡鏈節，鏈節數x0取較大偶數48 節。為減少同齒同節嚙合次數，大小鏈輪齒數選奇數，大鏈輪39 齒，小鏈輪11 齒可行，確定主減速器傳動比為3.54。

1.2 鏈輪模型搭建

根據傳動比設計與鏈條選型對大小鏈輪參數進行計算，得到鏈輪齒數為39 齒，節距為15.875 mm，分度圓直徑d=198.44 mm，齒頂圓直徑da=205.22 mm，齒厚為6 mm，運用CATIA 搭建模型，建立初始輪坯并生成大小鏈輪的齒廓齒形見圖2。

圖2 大小鏈輪齒廓齒形圖Fig.2 Tooth profile drawing of sprockets

2 基于拓撲優化鏤空鏈輪設計

大鏈輪通過花鍵安裝在驅動橋上，作為從動輪，受到來自鏈條的緊邊張力，為達到所需的強度與輕量化，選擇強度高、密度小的7075-T6 航空鋁作為材料。根據材料手冊可查得相應材料屬性，見表1。

表1 大鏈輪材料屬性表Tab.1 Large sprocket material properties

根據前文大鏈輪齒廓齒形圖建立模型，如圖3 所示。

圖3 優化前大鏈輪圖形Fig.3 Large sprocket graphics before optimization

實心的鏈輪會產生較大的轉動慣量，進行鏤空設計達到輕量化后的鏈輪能提高局部結構效率，并維持結構穩定。因此，對大鏈輪進行結構拓撲優化，把尋求優化結構轉化為對給定設計區域尋求優化材料分布，本質上可化為0-1 離散型優化問題，其模型為

式中：α——結構整體密度；αi——單元相對密度；K——系統剛度矩陣；U——結構位移向量；F——結構所受向量力；v0——材料體積；v——拓撲優化后體積最大值；C（α）——結構柔度。

運用ANSYS 的Shape Optimization 對大鏈輪進行拓撲優化[9]，將優化目標設為減重30%，計算結果如圖4 所示。對外圍淺色區域進行鏤空設計，得到初步拓撲優化圖5。

圖4 初始拓撲優化圖Fig.4 Initial topology optimization diagram

圖5 初次優化大鏈輪模型Fig.5 Large sprocket model after initial optimization

由初次拓撲優化結果可看出，初次優化的鏤空模型基本符合傳統的鏈輪結構，但鏈輪材料仍有較多剩余，結構效率利用不夠充分，因此對初次優化鏈輪模型進行靜態分析，見圖6、圖7。

圖6 初次優化大鏈輪形變云圖Fig.6 Initial optimization of large sprocket deformation nephogram

圖7 初次優化大鏈輪應力云圖Fig.7 Initial optimization of large sprocket stress nephogram

對鏈輪鏈條嚙合齒施加切向力1 150 N，得到最大形變為0.136 mm,所受最大應力為96.93 MPa，遠小于材料極限，證明該鏈輪模型仍有優化空間。

在初次優化模型基礎上，本文對鏈輪考慮運用二次拓撲優化方法。在第1 次拓撲優化設計完成后對模型進行局部第2 次拓撲優化，將優化目標設定為減重20%，得到分析圖8，并對淺色區域進行鏤空設計。

圖8 二次拓撲優化結果Fig.8 Results of quadratic topology optimization

二次拓撲優化法設計后質量由809.7 g 降至427.5 g，減質48.2%，得到最終優化大鏈輪結構如圖9 所示。

圖9 二次拓撲優化大鏈輪模型Fig.9 Quadratic topology optimization of large sprocket model

3 工況校核驗證

3.1 傳動比校核

前文傳動比的選值為3.54，可通過阻力功率來進行校核檢驗，賽車跑動過程中受到滾動阻力Pf、空氣阻力Pw、坡道阻力Pi和加速阻力Pj等，由此得出發動機輸出功率Pe與行駛阻力功率Pz的關系式。

理論發動機輸出功率Pe為43.72 kW,小于發動機最大輸出功率54 kW,因此傳動比3.54 參考值為有效值可用。

3.2 小鏈輪緊急制動分析

發動機輸出軸直接由小鏈輪連接安裝輸出功率，所受力較大，且因為小鏈輪已經選用11 齒，小鏈輪包角為148.56°，受力齒數為5，嚙合次數比大鏈輪多，所受沖擊大，為保證小鏈輪穩定可靠，采用40Cr 材料制作，并進行淬火、回火等處理，不對其進行過多優化，只進行一定的安全分析。

在實際比賽中，小鏈輪的危險工況為緊急制動時承擔來自發動機的全部轉矩，給小鏈輪5 個受力齒施加法向力為1 300，1 230，1 100，960，855 N，形變應力見圖10、圖11。

圖10 小鏈輪形變云圖Fig.10 Small sprocket deformation nephogram

圖11 小鏈輪應力云圖Fig.11 Small sprocket stress nephogram

由圖10、圖11 可知，小鏈輪緊急制動下最大形變量為0.013 m，小于標準0.1 mm，滿足設計要求；最大應力為88.704 MPa，小于許用應力523 MPa，因此設計滿足實際要求。

3.3 大鏈輪彈射起步分析

大鏈輪危險工況為彈射起步時，鏈條給大鏈輪施加沖擊載荷，起步時，大鏈輪可視為靜止狀態，承受來自鏈條的全部拉力，沖擊力最大，由于鏈輪為旋轉體，所以每個齒均會受到循環沖擊載荷。大鏈輪所受緊邊張力為

最大輸出扭矩Tmax=47.53 nm,初始傳動比iq=2.11，1 擋傳動比i1=2.75，最大傳動效率ηmax=0.95，安全系數K=1.4，分度圓直徑d=6.35 mm。

因為大鏈輪設計為對稱結構，且每齒循環遍歷沖擊，所以只分析3 個鏈輪齒即可反應鏈輪極限工況狀態。對3 個鏈輪齒依次施加1 500，1 400，1 300 N 的切向載荷。

由圖12、圖13 可知，大鏈輪最大形變0.203 5 mm 小于設計預期0.25 mm，滿足設計要求；最大應力262.75 MPa，小于許用應力308 MPa，設計要求滿足實際需要。

圖12 大鏈輪形變云圖Fig.12 Large sprocket deformation nephogram

圖13 大鏈輪應力云圖Fig.13 Large sprocket stress nephogram

3.4 實車物理驗證

將設計完成的鏈傳動系統安裝到整車上，如圖14 所示。

圖14 搭載鏤空設計鏈輪的賽車Fig.14 A racing car with a hollowed-out sprocket

本賽車于校內實驗場地與室外無障礙場地設計裝配完成后，安排2 個月時間針對實車的彈射起步、緊急制動等實際工況練習，并進行高速避障、8 字繞環等項目的訓練。確認該鏈輪與傳動設計無誤后，正式參加了2020 賽季襄陽賽車場高速避障、直線加速、八字繞環,耐久賽等動態項目的測評，測評過程中傳動系統未出現任何異常，并順利完成比賽。大賽結束后，將拆卸下來的大鏈輪于學校實驗室中拆卸并檢測，未檢測出明顯形變與失效，表明該鏈傳動設計優化方式基本達到設計要求。

4 結論

在FSC 賽事鏈傳動系統要求內對傳動系零部件進行了參數設定，確定賽車傳動比為3.54。提出了使用二次拓撲優化方法，增加了大鏈輪的結構效率和穩定性，并使得鏈輪總體減重48.2%。通過ANSYS 對大小鏈輪的危險工況進行靜態分析，并通過2 個月實車檢驗。結果表明，校核的傳動比與鏈輪輕量化設計符合設計要求。

設計優化后，鏈傳動系統提高了整車動力性、經濟性。同時，仿真與實車的驗證均證明了設計的可靠性，為FSC 賽車傳動調校與輕量化設計研究等奠定了基礎。