淺論數學“解題模型”教學四步驟
——以“十字架”模型為例

324400 浙江省龍游縣教育局教研室 徐偉建

324402 浙江省龍游縣小南海初中 余 昊

數學“解題模型”通常是指教師在解題教學中發現并總結出的一些結論性認識，它表現為一種能有效解決某類題型的技巧，是課標、教材中知識的進一步拓展、延伸或更加直觀的表述

.

數學“解題模型”往往是學生解題時聯想的“原型”，是探究問題的固著點，它能夠啟迪解題方向，幫助學生形成良好的解題直覺，并實現解題經驗和方法的有效遷移

.

因此，在日常教學中，以“解題模型”的運用進行專題復習教學深受教師青睞

.

然而，筆者發現，“解題模型”教學中還存在著許多不足之處

.

例如，有的教學“掐頭去尾”，采用“模型+練習”的方式，缺少模型提煉與深度拓展的過程，不知模型從何而來，到何處去；有的模型呈現割裂單一，缺少系統架構；有的模型運用機械重復，問題設計缺少層次感；還有的教學在模型運用之后，缺乏思想方法的提煉滲透等

.

種種數學“解題模型”教學的誤區，使教學陷入“應試教育”的泥淖

.

那么，如何開展數學“解題模型”教學呢？筆者以“十字架”模型的教學設計為例，探討“解題模型”教學的四個步驟

.

一、 模型提煉

數學“解題模型”是抽象的，而數學抽象需要學生經歷觀察、比較、分析、概括等數學學習活動

.

數學概念的抽象需要經歷上述過程，數學“解題模型”的形成也是如此

.

“解題模型”的提煉過程，就是探尋模型出處，促進學生認知模型結構的過程

.

問題1

已知：如圖1，在正方形

ABCD

中，若

E

，

F

分別是

BC

，

CD

上的點，

AE

⊥

BF.

求證：

AE

=

BF.

問題1為浙教版教材八年級下冊“5

.

3正方形(2)”中的習題(P.127第4題)

.

將問題1中的線段

AE

，

BF

位置進行適當平移，可得到如下問題2、問題3

.

問題2

已知：如圖2，在正方形

ABCD

中，若

E

，

F

，

G

分別是

BC

，

CD

，

AB

上的點，

AE

⊥

GF.

求證：

AE

=

GF.

問題3

已知：如圖3，在正方形

ABCD

中，若

E

，

F

，

G

，

H

分別是

BC

，

CD

，

AB

，

AD

上的點，

HE

⊥

GF.

求證：

HE

=

GF.

圖2圖3

解析：

對于問題1，可以直接判定Rt△

ABE

≌Rt△

BCF

，證得

AE

=

BF.

對于問題2，添加一條輔助線，構造Rt△

GMF

(如圖4所示)，則Rt△

ABE

≌Rt△

GMF

,結論得證，也可以平移

GF

，將問題化歸到圖1解決

.

對于問題3，添加兩條輔助線，構造Rt△

HNE

和Rt△

GMF

(如圖5所示)，則Rt△

HNE

≌Rt△

GMF

,結論得證，也可以平移

GF

，

HE

，將問題化歸到圖1解決

.

設計意圖：

問題1源自教材習題，問題2、問題3是問題1的變式

.

以教材習題及其變式題創設問題情境，有兩方面的意義：一是讓學生體會到“解題模型”根植于教材，探尋到模型的出處；二是為學生提供足夠數量的感知材料，便于學生從中發現并提煉出“解題模型”

.

圖4圖5

完成解題后，引導學生思考下列問題

.

思考題1

觀察圖1-圖3，除了正方形之外，它們都有一個怎樣的模型結構？

思考題2

該模型需要具備的條件是什么？結論又是什么？

思考題3

證明結論的方法是什么？

設計意圖：

設計三道思考題，重在讓學生經歷模型的提煉過程

.

思考題1引導學生在觀察、比較、分析圖1-圖3的基礎上,形象地感知解題模型——“十字架”模型

.

思考題2引導學生尋找模型具備的條件，即兩條線段互相垂直，且垂線段的端點分別在正方形的兩組對邊上；結論是這兩條垂線段相等

.

思考題3證明結論的方法是借助正方形的邊和角構造出全等的直角三角形，再運用全等三角形性質得到

.

通過以上問題的探究，促進學生加深對模型結構的認知，為模型的遷移運用奠定基礎

.

典型的“解題模型”通常來源于教材，它是教材知識的拓展延伸

.

為此，情境問題應源自教材中的例題、習題，這能讓學生體會到模型存在的重要基礎，引導學生關注教材

.

模型提煉還應在預設或生成問題的啟發引導下，讓學生自主探究，發現、提煉模型，辨析模型條件，獲得模型結論，掌握證明結論的原理或方法，這些都是模型運用與拓展的前提

.

因此，“解題模型”教學不能忽視模型的提煉過程

.

二、 模型演變

在“解題模型”教學中，應該系統地、聯系地看待“解題模型”

.

在進行教學設計時，應進行如下思考：還有沒有其他模型可通過該模型演變得到？它們之間存在怎樣的聯系？變式模型是否也存在著廣泛的運用？經過深入思考，系統地梳理模型及其變式，讓學生從整體上架構起模型體系

.

例如，通過梳理發現，除了運用于正方形背景中，“十字架”模型在矩形背景中同樣有著廣泛運用，自然就得到如下的演變模型

.

問題4

已知：如圖6，在矩形

ABCD

中，

AB

=8，

BC

=6，點

E

，

F

，

G

，

H

分別在

CD

，

AB

，

AD

，

BC

上，且

EF

⊥

GH.

求的值

.

圖6圖7

解析：

添加輔助線構造Rt△

EFM

和Rt△

GHN

(如圖7所示)，可證得Rt△

EFM

∽Rt△

GHN

，得到

思考：

請你比較矩形和正方形背景中“十字架”模型的條件、結論和證明結論的方法，它們有何區別與聯系？

設計意圖：

問題4使模型的背景由正方形變成了矩形

.

通過解題后的思考，學生進一步明確在矩形背景中，該模型的條件是兩條線段互相垂直(即

EF

⊥

GH

)，且垂線段的端點分別在矩形的兩組對邊上；結論是這兩條垂線段與矩形的邊長對應成比例；解題的基本方法是借助矩形的邊和角構造出相似直角三角形，再運用相似三角形性質解題

.

三、 模型運用

心理學研究表明，數學模型在獲得后若不能得到及時鞏固與內化就會被遺忘，因此，運用、鞏固模型是十分重要的環節

.

模型的運用應遵循知識發生、發展的邏輯鏈條，由淺入深、層層遞進設計

.

通過模型運用環節，促進學生識別模型，運用模型的基本結論和方法解決新問題，達到學習經驗有效遷移的功效

.

問題5

已知：如圖8，在正方形

ABCD

中，若

E

，

F

分別是

BC

，

AB

上的點，且

CF

⊥

DE

，過點

E

作

EG

⊥

DE

，使得

EG

=

DE

，聯結

FG.

試判斷

FG

與

CE

的數量關系和位置關系，并說明理由

.

解析：

FG

∥

CE

，

FG

=

CE.

理由：

根據正方形中的“十字架”模型，可得

DE

=

CF

，因為

EG

=

DE

，

DE

=

CF

，所以

EG

=

CF

;因為

EG

⊥

DE

,

CF

⊥

DE

，所以

EG

∥

CF.

因此，四邊形

ECFG

是平行四邊形，得到

FG

∥

CE

，

FG

=

CE.

問題6

已知：如圖9，在矩形

ABCD

中，

EF

⊥

GH

，與矩形的邊相交于點

E

，

F

，

G

，

H

；

BM

⊥

CN

，點

M

，

N

分別在

CD

，

AD

邊上，若求的值

.

解析：

利用矩形中的“十字架”模型，由

EF

⊥

GH

，可得再由

BM

⊥

CN

，可得所以因為所以

設計意圖：

問題5有一定的綜合性，學生既要識別正方形背景中的“十字架”模型，運用其結論和方法，也要結合平行四邊形判定與性質解決問題

.

問題6在矩形背景中增加模型個數，圖形看似復雜，但若能識別模型，并兩次運用模型結論，再進行適當轉化，問題不難解決

.

問題5、問題6將完整的“十字架”模型置于較復雜的圖形中，增強學生識別、運用模型的能力

.

四、 模型拓展

數學“解題模型”的運用不僅局限于模型的直接運用，還需要適度拓展，通過模型拓展運用，拓寬學生視野，發展學生思維，滲透化歸等數學思想方法

.

模型的拓展運用，通常可采用“虛化”模型結構或者“弱化”模型背景等策略，化“全模”為“半模”，引導學生以模型為固著點，展開積極的聯想，找到解題方向，使問題化生為熟、化難為易，從而達到從運用模型向構建模型的跨越

.

問題7

如圖10，將邊長為4的正方形

ABCD

折疊，使得點

A

落在

CD

的中點

E

處，折痕為

FG

，點

F

在

AD

邊上，求折痕

FG

的長度

.

圖10圖11

解析：

根據圖形折疊(軸對稱圖形)的性質——對稱軸垂直兩對稱點的連線段，聯結對稱點

A

，

E

(如圖11所示)，將問題化歸到正方形中“十字架”模型，易得結論

問題8

已知：如圖12，在四邊形

ABCD

中，∠

ABC

=90°，

AB

=

AD

=10，

BC

=

CD

=5，

AM

⊥

DN

，點

M

，

N

分別在

BC

，

AB

邊上，求的值

.

圖12圖13

解析：

根據∠

ABC

=90°，添加輔助線構造矩形

ABEF

，將問題轉化為矩形內的“十字架”模型(如圖13所示)

.

因為

AB

=

AD

，

BC

=

CD

，聯結

AC

，可得△

ABC

≌△

ADC

，∠

ADC

=90°，所以△

CDE

∽△

DAF

，得設

CE

=

x

,則

DF

=2

x

，

DE

=10-2

x

,

AF

=20-4

x

,

BE

=5+

x.

得到20-4

x

=5+

x

，解得

x

=3，

BE

=8，由矩形內的“十字架”模型，易得

設計意圖：

對于問題7，直接求出折痕

FG

的長度比較繁瑣，通過觀察可以發現，線段

GF

的兩個端點在正方形的一組對邊

BC

，

AD

上，如果另外有一條線段的兩個端點在另一組對邊上，且與

GF

垂直，就可以利用“十字架”模型解決問題，這就為解題提供了聯想的方向

.

依據圖形折疊性質，聯結對稱點

A

，

E

，隱藏的“十字架”模型即浮出水面(如圖11所示)，問題迎刃而解

.

問題8雖然具有完整的“十字架”(

AM

⊥

DN

)，但垂線段

AM

，

DN

的端點并不滿足在矩形的兩組對邊上，觀察圖形特點，借助∠

ABC

=90°，通過添加輔助線構造出矩形背景(如圖13所示)，此時，頓有一種豁然開朗的感覺

.

對于模型的拓展運用不能停留在解決問題的層面，還需要適時反思，感悟其中的數學思想方法

.

例如，解題后引導學生再思考以下問題：你為什么會聯想到“十字架”模型？你是怎樣轉化到“十字架”模型的？在轉化的過程中，你運用了什么數學思想方法？在反思感悟的過程中，學生自然能深刻感受到化歸、類比等數學思想方法的神奇力量，也實現了知識與經驗的有效遷移

.

“解題模型”的拓展運用關鍵在于問題的設計，問題既要有層次性，避免機械重復地講解與練習，也要有適切性

.

問題并非越難越好，好的拓展題應讓學生從題意中聯想到“解題模型”，啟迪解題方向，形成解題思路，讓學生體會到“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的成就感和愉悅感

.

這樣的拓展運用既能起到固本的功效，讓學生體驗到模型學習的意義，又能幫助學生積累聯想經驗，提高解題能力，發展學生思維水平

.

五、結語

數學“解題模型”的教學要讓學生經歷“模型提煉、演變、運用、拓展”這一完整的學習過程，在過程中讓學生探尋模型出處，認知模型結構，架構模型體系，實現從識別模型到構建模型的提升；“解題模型”教學既要注重模型基本結論的運用，也要注重數學思想方法的提煉與滲透，這樣才能發揮“解題模型”教學的更大價值

.