核心素養視角下的2022年上海高考數學卷分析*

201101 上海市七寶中學 童永健 卜照澤

隨著“雙新”課改的推進，2022年是上海采用二期課改教材高考的最后一年

.

同時，在疫情導致上海高考推遲的影響下，對這一年的考生而言，高考注定是特殊而不平凡的

.

2022年上海高考數學卷一如往常，遵循整體平穩，確保有序，又不忘突出考查學科核心素養的原則

.

前者體現在試題的結構體量保持穩定、全面考查基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，有較多“常規”知識和技能的考查，讓考生“能得分”

.

而后者則體現在對考生能力考查的重視，部分試題穩中有新，考查學生多元化思維、在情境中進行問題解讀、在探究過程中進行思考與分析，讓考生不輕易“得高分”

.

今年的高考試題對《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱“課標”)提出的六大數學核心素養均有體現

.

從教師的視角看，今年的高考試題對基礎知識的考查比重更大，填空題、選擇題整體難度偏易，解答題中檔題居多，涉及的知識面廣，對考生要求較高；而對考生而言，考生普遍反映今年的高考試題較往年更有難度

.

要順利應對高考的挑戰，圍繞核心素養的復習策略和能力培養途徑是值得思考的方向

.

一、 注重邏輯推理素養，彰顯復雜問題分析能力

課標對邏輯推理素養有如下描述：“(學生)能夠在比較復雜的情境中把握事物之間的關聯，把握事物的發展脈絡……”正如課標所指出的，今年的高考試卷在難題中特別體現對考生邏輯推理素養的考查

.

對于“水平三”的邏輯推理素養，課標指出：“……對于新的數學問題，能夠提出不同的假設前提，推斷結論，形成數學命題

.

對于較復雜的數學問題，能夠通過構建過渡性命題，探索論證的途徑，解決問題……”今年上海卷在第12、16、20、21題等位置的難題提升了不少難度，并對邏輯推理和數學抽象素養進行了較多考查，這也成為考生反映整張試卷偏難的原因之一

.

壓軸位置問題難度的提升對考生核心素養、綜合分析及數學運用能力、解題時思維的靈活運轉，乃至高壓下心理抗壓能力都提出了更高的要求

.

例1

(2022上海高考-12) 已知函數

f

(

x

)的定義域為[0,+∞)，且滿足函數的值域為

A

，若集合{

y

|

y

=

f

(

x

),

x

∈[0,

a

]}可取得

A

中所有值，則實數

a

的取值范圍為________

.

分析：

這是一道抽象函數的問題

.

首先，要讀懂題目，便需要一定的數學抽象素養，對于滿足條件的抽象函數

f

(

x

)，求

x

的取值范圍，使得

f

(

x

)能夠取遍值域中所有的函數值

.

由于沒有具體的函數解析式，解題時只能從嘗試入手，這也是探究及問題解決的思路，符合上海卷在創新型問題特別是難題中希望考生探索發現過程的一貫思路

.

代入代入不難推測出當

x

≥1時，總能在[0,1]中找出對應的自變量，使得函數值相同，故

a

≥1均滿足題意，進一步思考

a

∈[0,1]之間，區間[0,1]可分為[0,

a

]和(

a

,1]兩段，應做到任取

x

∈(

a

,1]，在[0,

a

]中總有另一個自變量

x

與之對應，使

f

(

x

)=

f

(

x

)，且故應計算求得此時，對任意

y

∈

A

,

y

=

f

(

x

)，若

x

∈[0,

a

],自然符合題意;若

x

∈(

a

,1],因為所以則有設則同理，若

x

∈(1,+∞)，也可找到對應的

x

∈[0,

a

]，使得

f

(

x

)=

f

(

x

)=

y

.

經過嘗試后發現本題頭緒逐步清晰，“柳暗花明”，在思考過程中，要求考生進行縝密的邏輯推理，一旦想“通”后即可快速得到答案

.

這類問題是典型的圍繞“對于從沒見過的新問題，如何去解決”的考查，對能力水平的要求較高，上海高考壓軸題中也經常出現類似的問題

.

例2

(2022上海高考-16) 已知平面直角坐標系中的點集

Q

={(

x

,

y

)|(

x

-

k

)+(

y

-

k

)=4|

k

|,

k

∈

Z

}

.

①存在直線

l

與

Q

沒有公共點，且

Q

中存在兩點在

l

的兩側；②存在直線

l

經過

Q

中的無數個點

.

則( )

A.①成立,②成立 B.①成立,②不成立

C.①不成立,②成立 D.①不成立,②不成立

分析：

與填空題第12題類似，研究本題可從“嘗試”入手，代入不同的整數

k

值，可得集合

Q

中的點滿足一系列圓心在拋物線上的圓，圓心坐標為(

k

,

k

)，半徑為不難發現，當

k

>0時，隨著

k

增大，半徑的增長速度小于圓心坐標

k

和

k

.

對命題①，當

k

很大時，上下兩圓不相交，如

k

=100時，(

x

-100)+(

y

-100)=400,

r

=20;

k

=101時，(

x

-101)+(

y

-101)=404,

r

≈20

.

1，取

l

:

y

=100

.

5，顯然

l

與兩圓不相交，命題①正確

.

對于命題②，需找到一根直線與無數個圓相交，即直線與某圓開始后的任何一個圓相交，但這做不到，由于

y

=

x

當

x

取值很大時，圖像近似垂直于

x

軸，故若存在滿足條件的直線

l

，也可近似看成垂直于

x

軸，不妨設

l

:

x

=

t

(

t

>0)，要說明即不等式成立，解得故只需取為取整符號)，直線

l

與此圓以及之后的圓都不相交，此時

l

僅與有限個圓相交；若

l

斜率存在，由于冪函數增長趨勢比一次函數快，故必然存在某圓開始后的所有圓與直線

l

都不相交，進而命題②錯誤，故選B

.

本題充分體現選擇題的特點，考生通過嘗試、探究及推理，可猜到正確答案，而并不用嚴格證明，同時，命題②的嚴格證明也是十分困難的

.

在解題過程中，腦中應有一系列以拋物線上點為圓心的圓的圖像，是對抽象字母變化過程的直觀想象；對于兩個命題，在不同情況下分析判斷獲得信息，也是對直線與圓相交情況逐步明晰過程中的邏輯推理

.

從近年上海高考題的命題特征看，能夠通過“嘗試”“猜測”解題的填空題、選擇題屢見不鮮，同時這也往往是尋找思路的突破口

.

填空題、選擇題往往有較大的思維量及較小的運算量，需要考生多分析思考，如此命題與解題的路徑，也更能體現對考生綜合素養的考查

.

例3

(2022上海高考-21) 數列{

a

}中，

a

=1，

a

=3，若對任意

n

(

n

≥2)，都存在正整數

i

(1≤

i

≤

n

-1)，使得

a

+1=2

a

-

a

.

(1)求

a

的所有可能值；(2)命題

p

：若

a

,

a

,

a

,…,

a

成等差數列，則

a

<30，證明命題

p

為真

.

寫出命題

p

的逆命題

q

，并判斷命題

q

的真假，若命題

q

為真則證明，若命題

q

為假，請舉出反例；(3)若對任意正整數

m

，

a

2=3，求數列{

a

}的通項公式

.

分析：

本題圍繞一個新定義的遞推關系，對其相關的數列進行討論

.

小問(1)幫助考生理解題意，在讀題時應關注到

i

為“存在”，且注意

i

的范圍

.

小問(2)結合等差數列，其實是判斷充分非必要條件，證明命題

p

為真，由{

a

}為等差數列及

a

=1，

a

=3可得

a

=1+2(

n

-1)=2

n

-1，{

a

}遞增，且

a

=15，則

a

=2

a

-

a

<2×15-

a

=29<30，而其逆命題為若

a

<30，則

a

，

a

，

a

，…，

a

成等差數列，在此稍作嘗試也不難得出反例

a

=1,

a

=3,

a

=5,

a

=2

a

-

a

=9,

a

=2

a

-

a

=13,

a

=17,

a

=21,

a

=25，

a

=29<30，滿足條件，但

a

，

a

，

a

，…，

a

不是等差數列

.

小問(3)難度陡增，首先說明{

a

}遞增，由小問(1)，

a

-

a

>0,所以

a

-

a

=2

a

-

a

-

a

>0,故

a

-

a

>0，以此類推得

a

+1-

a

>0

.

在解題時，仍應從“嘗試”入手，易知

a

=1,

a

=3,

a

=5，

a

=3=9,

a

=3=27，因此可以得到通過計算可以得到

i

=

j

=2，

a

=16，又有通過計算得

i

=

j

=4,

a

=45

.

更具一般性，有進而2

a

+

a

=3

.

通過歸納，猜想

i

=

j

=2

m

-2，即接下來即用數學歸納法證明

.

1° 當

m

=1時，

a

=5，成立；2° 假設

m

=

k

(

k

∈

N

)時，則

m

=

k

+1時，記3+1=2

a

′+

a

′(

i

′≤2

k

+1,

j

′≤2

k

+2)，若

i

′=

j

′=2

k

，則成立，以下嘗試說明

i

′,

j

′不可取其他值

.

若

i

′<2

k

,由{

a

}單調性，

a

′<

a

2=3,

a

′=3·3-2

a

′>3,故

j

′>2

k

，①

j

′=2

k

+1時，不成立；②

j

′=2

k

+2時，

a

′=3·3,2

a

′+

a

′=2

a

′+3·3>3·3，不成立；若

i

′=2

k

+1，則不成立，故

i

′只能取2

k

，此時

a

′=3·3-2·3=3，即

j

′=2

k

，進而通過數學歸納法證得了成立，因此得到結論與前兩年相比，今年上海高考的壓軸題難度有所提升，涉及往年并不常見的數學歸納法，對部分考生而言，相對陌生的解題方法導致了難度的增加

.

同時，在短時間內找到問題解決的思路，并完成證明，對考生的問題分析能力、數學思想方法的靈活運用和邏輯推理、數學抽象、數學運算等素養都提出了較高的要求

.

以上三題的解題思路均涉及了問題解決時的猜想和歸納，深入剖析邏輯推理素養考查的具體內涵，體現從特殊到一般的數學思想方法，也體現從具體到抽象的思維過程

.

分析和解決這類問題的能力是高等學府入學選拔考試進行篩選的標準，也可以作為高中數學核心素養的培育方向和目標

.

二、 加強數學運算素養，助推平穩心態順利解題

與2021年一樣，2022年上海高考部分題目的答案在數據上依然“不常規”，如第11題結果為5開四次根，第17題求得的線面角非特殊角，第19題小問(1)求得的角也非特殊角，小問(2)輔助角公式所得三角函數的系數為等，這也是讓許多考生直呼困難的一大原因

.

運算結果的“不常規”容易導致考生對自己的作答產生懷疑，從而內心產生波動

.

一方面，解題時總擔心之前的運算有誤，會反復回去檢查，影響解題速度和專注度；另一方面，得到“不常規”的答案，與復習過程中習慣的模式有區別，考生往往心里沒底，若連續出現這樣的現象，會降低考試解題時的信心，引起緊張，導致水平無法發揮

.

這些題目表明，在現實問題中所遇到的數據往往不是“湊”好的，而考生是否具備足夠的數學運算素養，以應對復雜的現實中的運算，也是高考所希望體現的

.

圖1

例4

(2022上海高考-19) 如圖1，

AD

=

BC

=6,

AB

=20，∠

ABC

=∠

DAB

=120°，

O

為

AB

中點，曲線

CMD

上所有的點到

O

的距離相等，

MO

⊥

AB

,

P

為曲線

CM

上的一動點，點

Q

與點

P

關于

OM

對稱

.

(1)若

P

在點

C

的位置，求∠

POB

的大小；(2)求五邊形

MQABP

面積的最大值

.

分析：

近年來，上海高考試卷的第19題一般考查考生的數學建模素養，但今年此位置的題目僅是一道三角知識背景下的圖形題，現實情境的去除應是出于平衡難度、減少閱讀量的考量，在函數關系確立的過程中，仍對數學建模素養有所涉及

.

小問(1)利用兩次余弦定理即可求得結論，小問(2)對圖形進行分割，不難得到

S

=2(

S

△+

S

△)，進一步結合小問(1)的提示，設則此處應對函數

S

能否取得最大值及何時取得最大值作出說明，故當即時，本題關系式建立相對容易，如存在現實背景，作為數學建模，應對模型和結論在現實情境下是否適用與合理展開分析

.

另外，本題結論數據的設置應是契合實際背景下產生的非整數或特殊值，另一方面也增加了運算量，對考生數學運算與數據分析素養的考查有所體現

.

例5

(2022上海高考-20) 如圖2，已知的左、右焦點為為

Γ

的下頂點，

M

為直線上一點

.

(1)若

a

=2，

AM

的中點在

x

軸上，求點

M

的坐標；(2)直線

l

交

y

軸于點

B

，直線

AM

經過點

F

，若△

ABM

有一個內角的余弦值為求

b

；(3)若橢圓

Γ

上存在點

P

到直線

l

的距離為

d

，且滿足

d

+|

PF

|+|

PF

|=6，當

a

變化時，求

d

的最小值

.

圖2

分析：

解析幾何大題在每年高考試卷中都是對數學運算素養考查最適合的載體，2022年上海卷的解析幾何問題也推陳出新，摒棄傳統的設直線、聯立、韋達定理，而是更多考查了數學思想方法在解題中的應用

.

小問(2)題干并未明確哪個角的余弦是此處就涉及分類討論的思想，由題意得故即易知①此時②則可見，本題數據也不簡潔，在討論中，也可選擇利用兩直線所成角公式求解，但計算更為繁瑣，所以通過觀察和思考，選擇合適的方法是減少運算量的有力保障

.

小問(3)也不是常見的聯立求解，而是考查了點到直線的距離公式、參數方程的應用以及函數與方程的思想

.

設由距離公式得，存在

θ

，使方程成立，即得<0，舍)或得又結合推得故進而課標對數學運算素養要求為“理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結果”

.

可見數學運算素養并不僅指計算，也包括概念公式的理解和應用、求得結果過程中的思路、方法的探求，對問題的分析、計算路徑合理性的評估等

.

本題將分類討論、函數與方程的思想等融入點到直線的距離、兩直線所成角等基礎的解析幾何公式的考查中，對考生數學運算素養同樣有一定的要求

.

可以看到，數學考試中的運算往往會較大程度影響考生的心態，在復習和訓練中，練就較強的運算能力，以應對不同復雜程度的運算，強化考試過程中的心理承受度，能夠助力考生正常發揮，順利解題

.

三、 兼顧其他核心素養，融合思想方法體現思維

在偏重邏輯推理和數學運算素養的同時，整張高考卷在其他核心素養的考查上也有所體現，融合數學思想方法的全方位考查，能較好地體現考生綜合性思維，進而起到區分選拔的目的

.

例6

(2022上海高考-18) 已知

f

(

x

)=log(

x

+

a

)+log(6-

x

)

.

(1)若將函數

y

=

f

(

x

)的圖像向下平移

m

(

m

>0)個單位，經過點(3,0)、(5,0)，求

a

與

m

的值；(2)若

a

>-3且

a

≠0，解關于

x

的不等式

f

(

x

)≤

f

(6-

x

)

.

分析：

本題小問(1)的本質是解方程組，考查了函數圖像變換、對數方程等知識點，也考查了考生的數學運算素養

.

小問(2)是解帶參數的對數不等式，解帶參數的不等式在高考中較少出現，其解決的關鍵是掌握好分類討論的思想

.

同時，應充分考慮對數函數中真數大于0的限制，這對考生而言是一個易錯點

.

由題意，

f

(

x

)=log[(

x

+

a

)(6-

x

)]≤log[(6-

x

+

a

)

x

]=

f

(6-

x

)，有故-

a

<

x

<6，且故0<

x

<6+

a

，由單調性得(

x

+

a

)(6-

x

)≤(6+

a

-

x

)

x

，得

ax

≥3

a

，進而討論

.

①當故-

a

<

x

≤3；②當故3≤

x

<6

.

本題處在第18題的位置，由于此類題目平時訓練不多，也會為考生帶來一定困擾

.

與其他問題一樣，第18題同樣緊扣基礎知識，對分類討論的思想方法提出要求，可見在今年的高考中，函數與方程的思想和分類討論思想是更多被涉及的，相較之下，對數形結合的思想的要求較往年稍有減弱

.

如第10題結合等差數列求和公式與其二次函數圖像上的性質，通過簡單的運算較易得到答案

.

例7

(2022上海高考-15) 如圖3，正方體

ABCD

-

A

B

C

D

中，

P

,

Q

,

R

,

S

分別為棱

AB

，

BC

，

BB

，

CD

的中點，聯結

A

S

，

B

D

，空間任意兩點

M

,

N

,若線段

MN

上不存在點在線段

A

S

，

B

D

上，則稱

M

,

N

兩點可視，下列選項中與點

D

可視的為( )A

.

點

P

B

.

點

B

C

.

點

R

D

.

點

Q

圖3

分析：

要順利解決本題，應先讀懂題目，題目涉及新定義的概念，能夠考查學生數學抽象的素養

.

簡單而言，本題中的“可視”即求過點

D

,且與

A

S

,

B

D

都異面的直線，即求與

D

A

S

與

B

D

D

不共面的點，易知

A

D

∥

PS

,

D

D

∥

B

B

，故選D

.

以立體幾何為代表的直觀想象素養是每年高考的必考內容，在選擇題中，考生可將選項代入進行觀察，前提依然是對題意的解讀，在本題中化歸和轉化的思想體現突出

.

從核心素養的視角看，無論是簡單題還是難題，每道題都對一個或多個核心素養的考查有所體現，圍繞核心素養引申出數學問題的解決路徑和方法，不變的依然是數形結合、函數方程、化歸等數學思想方法

.

兩者并不矛盾，要順利解決高考中的問題，特別是“新”問題，需要用思想方法“武裝”思維，使核心素養有所體現，這是高考考查的目標，也是高中數學教學的重要任務

.

四、 2022年上海高考數學卷帶來的思考

上海高考的數學題素有“重視思維過程，簡化運算過程”的特點，特別是填空題、選擇題，較少有復雜的運算，卻對問題的理解和分析有較高的要求

.

今年高考雖然在數學運算上給考生設置了一些困難，但試卷整體思維水平的體現依然遠超純運算，這也符合上海高考一直以來的趨勢

.

高考卷的難度分配和命題方向始終有跡可循

.

第一，從核心素養的視角看，高考緊密地圍繞了課程標準提出的六大核心素養

.

每年高考卷的命題都會對各個核心素養進行全方位考查，兼顧全面性，也不乏側重點

.

同時，對考生核心素養相互融合下綜合能力和思維水平的考查，在中檔題及難題中有較多體現

.

核心素養的培養過程是一個長期又復雜的工程

.

高考越來越多考查能力，而非解題技巧，如何讓學生在學習的過程中培養自身素養，通過能力“推得”技巧，是高中數學面對的一大課題

.

筆者認為，數學核心素養的依托是數學思想方法的滲透，用數學的思維分析問題、解決問題的訓練，能夠有效提升學生個人的能力水平，進而從“應試”中解放出來

.

高中階段的數學教學應以知識為載體，在教學練習中不斷融入和強調數學思想方法，以知識習得、兼顧能力提升為目的，雙管齊下，共同關注

.

第二，“雙新”課改將對2023年上海高考的數學學科帶來較大的變化

.

教師在復習和教學中依然能夠遵循核心素養的培養為主線、基礎知識的習得為依托、在其周圍不斷開枝散葉的方針，并參考多年來上海高考卷的難度、結構和命題特色，選擇有針對性和適用性的復習策略

.

近年來高考始終追求平穩，立足基礎

.

題型變化不大，難度分配合理，無論是哪個層次的考生，都應放眼基礎，力求“不該丟分的”一分不丟，而“努力能得分的”作為錦上添花，這是復習的方向和重點，也是確保高分的基石

.

要做到這一點，即要求對所學知識點有較全面的認識，學習時強化單元性，復習時站在較高的觀點整體把握

.

數學知識切忌死記硬背，力求在理解中融會貫通

.

第三，對于新教材刪去的內容，在練習中應精挑細選，不加入不考的內容以增加負擔

.

對于新教材改動的內容，教師應更多予以關注，多思考變化帶來的啟示，有些問題也可能來源于此，如單調和嚴格單調表述上的區別引發的問題，導數的工具在單調性、最值、極值求解中的引入等

.

對于新增的內容，應充分研讀課標，以核心素養在新內容中的融入為切入點，如概率統計(續)可能出現涉及數據分析和數學建模素養的解答題，即具有現實背景、需進行數據分析、建立一定數學模型的概率問題或統計問題

.

在“雙新”課改中，數學建模素養特別受到關注，可以看出，2017年-2019年高考試卷的第19題對數學建模問題進行了一系列嘗試和探索，在未來的高考中，側重點可能是數學建模過程中的某個環節，也可能是對現實問題的整體解決思路，甚至可能出現開放式的主觀題

.

在日常教學中，仍應依托新教材豐富的資源，切實組織并開展建?；顒?，將建模素養的培育落到實處

.

第四，數學運算是數學學科較為重要的素養，學生對其的掌握往往是較為薄弱的，這同時也與考生在考場的心態與應變相關聯，是一種能力的體現

.

計算器的使用能夠在很大程度上幫助考生進行運算、觀察函數的性質等，在考試中也可挖掘計算器的“巧用”，充分體現從特殊到一般的思想，特別是面對選擇題，上海的高考題也較能體現填空題、選擇題小題的特點

.

但在平時過多地依賴計算器，會使原本應得到訓練的思維過程被忽視，造成反向的作用，這也應引起足夠的重視

.