方程與不等式中的數學思想

201108 上海星河灣雙語學校 胡清湉

現實問題中的數量關系分為相等關系和不等關系兩種

.

其中，相等關系衍生為“方程”，不等關系衍生為“不等式”，方程和不等式是初等數學中解決數量關系現實問題的有力工具之一，簡潔高效

.

又因為兩者蘊含著豐富的數學思想，因此它們成為數學學習過程中一個重要組成部分

.

受傳統教育模式的影響，部分教師在教學過程中忽視知識與概念背后的數學思想，缺乏對于數學概念整體的思考

.

筆者以“一次方程和不等式”為例，深入剖析在教學中需要重點滲透的數學思想

.

一、 方程與不等式的核心思想

從數學學習的角度出發，概念既需要分類，亦需要結構化的思考，將各種知識點和方法融會貫通后抽象成一個概念體系，并能夠使用該抽象的概念體系逐步進行推理和建立模型，以解決更多問題

.

小學到中學階段，無論是國內還是國外的教材，都將“方程與不等式”列為課程標準中的一個舉足輕重的篇章

.

以實際問題為背景，由基本等量關系而建立起來的代數方程有著非常高的實用價值，用方程求解實際問題能夠以靜制動、化逆為順

.

另一個非常重要的原因是，從代數角度來看，方程與不等式為“式”；而從圖形角度來看，方程與不等式則為“形”，它們更是數形結合的產物

.

方程與平面以及空間幾何圖形(如點、直線、曲線、平面、曲面等)都有對應關系；而不等式則是以對應方程為邊界的一些區域

.

方程與不等式之間“對立與統一”的關系使得兩者的聯系更為緊密，它們也是抽象思維和形象思維高度結合的產物

.

二、 方程的初步認識

方程的學習在國內外教材中普遍始于小學高年級階段，在此之前，學生基本使用算術方法解決問題

.

用算術方法解決問題的過程中，學生有時會使用逆向思維，而對于此類問題，使用方程求解能夠起到“化逆為順”的作用

.

如《九章算術》中有以下盈虧問題

.

今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數、物價各幾何？

(1)算術方法求解：在每個人出的金額不變的前提下，人數從8個變成7個時，原本總金額從還能盈余3元變成虧損4元，則人數為(3+4)÷(8-7)=7(個)，物價為8×7-3=53(元)

.

(2)使用方程求解：假設有

x

個人，根據物價不變性質列出等式8

x

-3=7

x

+4,

x

=7(個)

.

在該盈虧問題的方程求解過程中，通過假設變量，順利地將一個實際問題轉化為求解變量的問題，體現出從具體到抽象的思想

.

通過假設變量，能夠將求解“已知”轉化為“未知”，體現出化歸思想

.

算術方法的根本是找出“變化關系”，與算術方法相比，方程的本質是找出等量關系，“以靜制動”，通過分析等量關系，從而能夠更為簡潔地解決實際問題

.

一年級到四年級的學生基本使用算術方法解決問題，但隨著解決問題難度的增加，算術問題往往不容易求解，這時方程就體現出它的優勢了

.

例如，對于問題“把一張正方形的紙剪成若干個小正方形，如果剪成邊長為2厘米的小正方形，剪出的小正方形個數比剪成邊長為3厘米的小正方形多20個，兩種剪法都正好用完紙，原來這張正方形紙的面積是多少平方厘米？”根據正方形的面積不變，列出等量關系，根據兩種情況下原正方形面積的表示方法，可以得出相應的方程

.

按照順向思維，找準等量關系就能夠迅速求解，簡言之，這就是“方程思想”

.

學生在小學階段重點學習一元一次方程的求解方式，一元一次方程的解在數軸上實質即為一個點

.

作為方程的初步學習，一元一次方程的思想也為后續初高中方程和不等式的學習奠定了基礎

.

三、 方程的“式與形”

方程的“式與形”示意圖如圖1所示

.

圖1

一次方程(或稱線性方程)是初中學習的重點，其主要包括一元一次方程、二元一次方程、三元一次方程

.

與之相對應的是一次方程組，主要包括二元一次方程組、三元一次方程組

.

前文已經提及一元一次方程的解在數軸上體現為一個點

.

再看二元一次方程，它的代數形式為

Ax

+

By

=

C

(

A

,

B

,

C

是實數)，其在直角坐標系中所有符合條件的點的集合{(

x

,

y

)|

Ax

+

By

=

C

}為一條直線，即一次函數

.

因而，在美國Common Core課程標準中，二元一次方程被稱為“Linear Equation with two variables”(含有兩個變量的一次方程)

.

作為函數而言，其性質也值得深入討論，在此僅從方程組角度進行剖析

.

二元一次方程組在初中數學學習中占據很重要的部分

.

對于二元一次方程組的解集，從“數”的角度出發，可以通過聯立方程組求得公共解；從“形”的角度出發，可以通過繪制直線圖形求得公共解

.

將解集與公共點有機結合，這其中蘊含的就是數形結合思想，無形的式與有形的圖結合在一起，把抽象的代數問題轉化為形象化的問題，便于學生理解和分析

.

典型例題如下

.

例題

某手機話費運營商提供兩種話費套餐，套餐1為基礎月租費40元，此外每分鐘收取0

.

2元電話費；套餐2為月租費60元，不限電話使用時間

.

請問每月打多少分鐘電話時，兩種套餐總價一樣？

求解：

假設每月打電話

x

分鐘，每月話費總價為

y

元，則可以列出二元一次方程組通過求解，可得方程組的解如果從圖像上分析，可以清晰地看出這兩個二元一次方程代表的兩條直線的位置關系是相交，而交點(100,60)正是該方程組的解(如圖2所示)

.

從代數角度看，通過聯立方程組得到公共解；從圖形角度看，兩條直線的交點就是方程組的公共解

.

在該典型例題的講解過程中，將代數方程組的求解問題與兩直線位置關系結合進行教學，學生能夠對于方程組的本質有更深入的理解，從而更好地理解數形結合思想

.

圖2

美國Common Core課程標準將二元一次方程組中兩個方程之間的兼容性和獨立性分為三類，即平行(無交點)、相交(1個交點)、重合(無數個交點)，對應inconsistent system(不兼容系統),consistent and independent system(兼容且獨立系統),consistent and dependent system(兼容且依賴系統).

在國內外課程體系中，兩條直線的三種位置關系判斷也有類似的闡述

.

美國教材在八年級講解如何通過直線的斜率和

y

軸截距進行判斷(如圖3所示)；而滬教版教材中，這部分內容在高二年級講解，采用的方法基本為使用系數行列式進行判斷

.

對比這兩種方法，其本質都是通過一定的代數式運算，得出有關圖形之間的關系，并能夠得出方程組解的個數的判斷

.

圖3

在內容安排上，國內外一致將二元一次方程組的代數求解放在六年級、七年級左右，并強調通過“代入”和“加減”消元法求解方程組，這樣求解方程組的思想即是“化歸”的算法思想

.

學生在后續學習分式方程、根式方程以及高次方程時，都可以使用化歸思想，體會不同類型的代數方程可以相互轉化的辯證觀點

.

以此類推可以得到的是，三元一次方程的代數形式為

Ax

+

By

+

Cz

=

D

(

A

,

B

,

C

,

D

是實數)在空間坐標系中所有符合條件的點的集合{(

x

,

y

,

z

)|

Ax

+

By

+

Cz

=

D

}是以為法向量的空間平面

.

一次方程從一元、二元到三元，在代數形式上層層遞進，在幾何圖形上步步進階

.

中學階段的方程學習基本到三元一次方程為止，當延伸到高等應用數學分析等量關系時，線性方程具備獨特的規律性，許多非線性方程都可以通過線性方程進行有效模擬，是數學建模的首選

.

四、 不等式的“式與形”

不等式的“式與形”示意圖如圖4所示

.

圖4

一元一次不等式

Ax

>

B

或

Ax

≥

B

(

A

,

B

是實數)的解集體現為數軸上的某一段

.

例如，2

x

-6≤-8的解集用集合表示為{

x

|

x

≤-1}或者(-∞,-1],在數軸上體現為以-1為端點(包括-1)向左延伸的射線，這即是數軸表示法，數軸表達方式也是數形結合的開端

.

對于一元一次不等式組來說，結合集合關系建立起來的交集與并集的運算更豐富了不等式組的內涵

.

例如，以下一元一次不等式組(包含2個不等式)的解集表示如表1所示，假設其中常量

a

>

b

，并僅討論>或<的情形(≥或≤的情況可以類比得到)

.

在美國Common Core課程標準中，一元一次不等式組解集的表示被設置在八年級上學期學習，前序知識為一元一次不等式以及集合的初步認識，這讓八年級的學生初步體會了數形結合的思想.不過，因為涉及“邏輯判斷”思想，基于集合概念的一元一次不等式組的解集的運算，對于八年級學生來說仍然是一個難點，所以，需要經過逐步消化后才能夠在高中進一步拓展，這也符合了美國教材螺旋上升的基本框架.在國內的滬教版教材中，不等式組以交集為關聯方式的形式被設置在六年級下學期學習，前序知識為二元一次方程組的學習，但這部分的內容僅以基本不等式為表達形式，并沒有加入集合的概念，僅加強了以數形結合為主的不等式組在數軸上的解集表示.滬教版教材涉及的集合概念將在高一展開深入講解，這也能夠讓學生在初中階段更好地打下運算求解、推理論證和數學表達能力的基礎.此外，滬教版初中教材的另一個特點是沒有出現不等式組以并集為關聯方式的形式，但是學生在解決實際問題過程中采用的“分類討論”策略，其實就是并集邏輯思想的具體體現.

表1

一元一次不等式組的解集表示 (a>b)交集的式交集的形-∞,a ∩-∞,b =-∞,b a,+∞ ∩b,+∞ =a,+∞ -∞,a ∩b,+∞ =b,a a,+∞ ∩-∞,b =?并集的式并集的形-∞,a ∪-∞,b =-∞,a a,+∞ ∪b,+∞ =b,+∞ -∞,a ∪b,+∞ =-∞,+∞ a,+∞ ∪-∞,b =a,+∞ ∪-∞,b

二元一次不等式的代數形式為

Ax

+

By

>

C

或

Ax

+

By

≥

C

(

A

,

B

,

C

是實數)，其在直角坐標系中所有符合條件的點的集合，是以

Ax

+

By

=

C

為邊界的半平面區域

.

如此，二元一次方程與二元一次不等式在平面內高度融合在一起，“相等”代表邊界線，“不等”代表半平面區域

.

如以下例題

.

例題

請用不等式組表示出圖5中的點線與實線的重合區域

.

圖5

分析：

圖中點線區域的邊界線方程為

y

=

x

-2，點線區域位于邊界線的上方，所以描述點線區域的不等式即為

y

>

x

-2

.

圖中實線區域的邊界線方程為實線區域位于邊界線的下方，所以描述實線區域的不等式即為從而可以確定不等式組為方程和不等式有機地結合在圖像中，體現出“對立與統一的”思想

.

首先要看出“邊界線”等同于“方程”，再者就是要把“半平面區域”看作“不等式”，“相交部分”即為“不等式組解集”，從而圖像問題與代數問題能夠進行相互表達

.

本質上，二元一次不等式組類型的問題能夠很好地培養和發展學生的空間觀念和數感，從而進行形象思維和抽象思維的交叉運用，使得多種思維互相促進，有助于培養學生靈活應用數學知識的能力

.

在線性規劃問題中，二元一次不等式組或多元一次不等式組是“約束條件”，再加上“目標函數”，即為完整的線性規劃問題

.

線性規劃是運籌學中一個重要分支，主要研究線性約束條件下目標函數的極值問題

.

美國Common Core課程標準中，將通過線性規劃建模實際問題中的找出約束條件以及求解目標函數極值問題，分為兩步，分別設置在八年級、十年級學習

.

如八年級階段有如下例題

.

例題

某動物園管理員準備為山羊區做一個圍欄，圍欄的長至少要80米，圍欄周長不超過310米，問圍欄可能的長、寬分別是多少？

圖6

求解：

假設圍欄的寬是

x

米, 長是

y

米，因此圍欄符合的不等式組為如圖6，根據不等式組的圖像表示形式，容易得到圖解為點線和實線重合區域，而兩條直線代表的方程，正是重合區域的邊界線

.

在問題中“數”的表達形式，聯系到“形”的表現形式，把似乎是純代數的問題，在“形”的引導下，有了最好的解決方式，由抽象到具象，形中有數，就是“數形結合”的思想方法

.

滬教版教材統一設置在高二學習，這樣能夠讓學生初步感受整體“建模思想”，尤其是對于略復雜的實際背景問題，如何準確描述出目標函數和約束條件，把實際問題轉化為線性規劃問題，也是用數學解決生活問題的很好的實踐體驗，而這類問題也是現代管理科學的重要理論基礎

.

至此，筆者已對方程與不等式的概念體系進行了初步探究，并根據實際教學過程中需要體現出的教學重點展開分析，旨在培養學生對方程與不等式的結構化思考，重點體會其中蘊含的數形結合思想，認識相互之間的對立與統一，培養學生抽象思維、邏輯推理和建立模型等方面綜合運用的素養和能力，感受數學文化之美，關注對于創新思維和創造能力的培養

.