指向深度學習的高中數學課堂教學提問策略

陳國良

(江蘇省太倉高級中學 215411)

深度學習是一種基于學生理解的學習，強調學習者以高階思維的發展和實際問題的解決為目標，以整合的知識為學習內容，積極主動地、批判性地學習新的知識和思想，并將它們融入到已有的認知結構中去，并能將已有的知識遷移到新情境解決問題的一種學習．課堂提問是師生交流互動的重要方式，也是促進深度學習的重要手段．正如數學家哈爾莫斯所說“問題是數學的心臟”，問題也是數學教學的心臟，從某種程度上講，課堂教學的成功與否體現在課堂的提問上．但是，當前部分教師由于新課程理念的缺失，對學生的學情研究不夠以及對教學內容的重難點把握不準，在教學中沒有適時提出能促進學生思考的問題，或提出的問題并沒有觸及數學知識的本質，不能有效地將學生已有經驗與新知識產生聯結，加之留給學生進行思考的時間較短，造成學生對問題的思考往往停留于表層或淺層狀態，難以達到深度思考的水平．那么，提出什么樣的問題可以促進學生深度學習呢？基于深度學習的內涵特征，筆者認為在深度學習理念下，能整合關鍵學習內容，能激發學生深層動機，能引導學生自主活動，能推進學生高階思維培育的貫穿整節課的數學任務或數學問題．

1 指向深度學習的數學問題特征

基于深度學習的內涵特征，有利于導引深度學習的數學課堂問題應具備以下特征：

(1)本質性

指向深度學習的數學問題能夠反映數學的本質，數學教學內容的本質通常寓于數學知識的結構體系之中，只有從知識體系的整體架構上進行提問，以結構化的方式引導學生思考，讓學生在系統思維的指引下解決問題，進而感悟數學的本質．

(2)指向性

強調問題的指向性，在于深度學習的過程需要引導學生展開方向明確的自主建構，尤其是要超越淺層思維的束縛，運用指向性明確的問題去培養學生的反思思維、批判思維、創新思維等高階思維．像“是不是”“對不對”這類問題對學生的學習毫無教學價值，“大家還記得指數函數的定義嗎？”這類問題也只能喚醒學生大腦中的靜態知識，無法推進學生自主建構，更談不上高階思維的培養了．

(3)層次性

由于一節課中往往會有一個具有統整性的問題，也就是“大問題”，而大問題往往具有統整性，學生是很難一步到位進行回答的．這就需要教師在教學中根據學情需要，將大問題分解成學生能夠解決和思考的子問題，子問題間具有一定的層次性，它們之間是遞進關系或平行關系，當學生解決完這些子問題，大問題就得以解決．

(4)實踐性

學生學習的過程就是進行分析、思考與探究等一系列學科實踐的過程，一個具有實踐性的問題可以引導學生深度參與、深度思考與深刻反思，整個問題解決的過程就是學生深度學習的過程，就是學生獲取知識、學會學習并通過反思建構自己知識體系的過程．

2 指向深度學習的課堂提問策略

當前數學教學中，存在知識理解淺層性、思維發展低階性等問題，如認知膚淺，缺少思維支點；知識碎片化，思維不成體系；啟發泛濫，缺乏思考空間；思考無序，思維水平處于低位．長期以往，學生將會出現思維固化、懂而不會、會而不精等問題．因此，教師應更新教學理念，改進提問方法，從而提高學生的思維力、學習力，促進學生深度學習．

2.1 追本溯源，在知識本質處提問

美國數學家赫斯說：“問題不在于教學的最好方式是什么，而在于數學到底是什么，如果不正視數學的本質問題，便永遠解決不了教學的爭議．”教師在教學中應注重深度挖掘教材，引導學生追溯知識的本質和內核，促進學生由表及里不斷深入理解知識的本質．

案例1

點到直線的距離公式．

在幾何中，距離的本質是兩個點集中元素之間距離的最小值，這是認識所有距離的統一視角，也是揭示距離本質的認知方向．所以點到直線的距離的本質應是定點與直線上的任一點之間距離的最小值，由此提出問題：

問題1 點

P

(

x

,

y

)到直線

l

:

Ax

+

By

+

C

=0的距離，實際上是點

P

與直線

l

上的任一動點

Q

之間距離的什么值？學生受問題啟發，想到建立函數研究最小值．根據兩點間距離公式，可以表示出

PQ

的距離，即接下來，很自然地進行消元的操作(消去

y

或

x

)，構建出關于動點>

Q

的橫坐標

x

(或縱坐標

y

)的函數

PQ

=或

PQ

=

此時，一些學生可能會被復雜的結構“嚇倒”，教師適時地引導學生思考問題2．

問題2 函數的最值在圖象左右平移時會發生改變嗎？

該問題引導學生從圖象變換的角度來處理函數的最值，學生由此問題會想到借助平移變換研究函數的最小值，從而恰到好處地化解了學生在處理復雜結構時的運算困難．

記它與函數的最小值相同．

令

m

=

Ax

+

By

+

C

，則進一步有(

A

+

B

)

B

g

(

x

)=[(

A

+

B

)

x

+

Am

]+

B

m

．當時，

PQ

取到最小值

上述兩個問題都是引導學生從知識的本質上去進行思考，這樣的提問能推動學生的數學思維由低階上升到高階．

2

.

2 前后關聯，在最近發展區提問

皮亞杰認為：隨著學習者學習的知識越來越多，就應該讓他們認清所學知識之間的聯系，主動構建認知圖式．深度學習意味著聯系與建構，從學生已有認知結構出發，在最近發展區提出新問題，將學生已有認知結構中的知識、方法或活動經驗作為新知識學習的先行組織材料，并能夠通過一些判斷準則與邏輯依據將信息組織成一個結構化的體系，形成一種批判性的認知建構方式與思維方式．教師要認真研究教學內容，找到與學生原有認知結構中的相關知識的關聯，促進學生的思維走向縱深．

案例2

平面的方程與研究．問題1 我們知道，平面直角坐標系中，方程

x

+

y

=1表示直線．那么，在空間直角坐標系中，方程

x

+

y

+

z

=1表示什么圖形呢？已知空間三點

A

(1,0,0),

B

(0,1,0),

C

(0,0,1)，點

P

(

x

,

y

,

z

)是空間任意一點，試探究點

A

,

B

,

C

,

P

共面的充要條件．分析 設是平面

ABC

的一個法向量，則因為容易驗證=(1,1,1)垂直于和所以是平面

ABC

的一個法向量．由此可得

P

∈平面

ABC

?直線

AP

?平面

ABC

?因此，

x

+

y

+

z

=1是平面

ABC

上的點滿足的條件，即平面

ABC

的方程．(用數學的思維方式分析問題)

問題2 請你仿照上面過程：

(1)求過點

A

(

a

,0,0),

B

(0,

b

,0),

C

(0,0,

c

)的平面

ABC

的方程，其中

a

,

b

,

c

均是不等于0的常數．(2)已知=(

A

,

B

,

C

)是平面

α

的一個法向量，且平面

α

經過點

P

(

x

,

y

,

z

)，試求平面

α

的方程．(3)已知平面

α

的方程為

Ax

+

By

+

Cz

+

D

=0，證明(

A

,

B

,

C

)是平面

α

的法向量．(4)求證：點

P

(

x

,

y

,

z

)到

Ax

+

By

+

Cz

+

D

=0的距離為

整個過程從學生已有直線的方程出發逐步伸展到平面、平面的方程、向量研究平面的方程、點到平面的距離公式等維度，學生從理解、運用到分析、探究，經歷了深度學習，增強了數學思維的深刻性，數學學習的過程也呈現出生長性．

2

.

3 質疑引思，在探究實踐處提問

思維往往從疑問開始的，在教學中，教師應注重引導學生對情境中的數學信息進行充分的觀察、提取、概括，并聯系已有知識經驗進行聯想、加工，從而使他們產生疑惑，進而發現和提出問題．質疑可以是生生互相質疑，也可以是師生互相質疑，關鍵是要能夠引領學生深度地思考．

案例3

研究直線族(1-

t

)

x

+2

ty

-2=0(

t

∈

R

)的包絡線．

為了準確認識直線族的包絡線，可以提出以下問題：

問題1 直線

l

:(1-

t

)

x

+2

ty

-2=0(

t

∈

R

)有什么與眾不同之處嗎？學生會帶著這樣的問題去思考，怎么會有不同之處？這個不同之處是怎么產生的呢？必然注意到參數

t

，通過取一些

t

將這些直線畫出來形成最初的感性認識．為了幫助他們形成理性認識，進一步地提出問題2．問題2 你會求點

P

(1,0)到直線

l

:(1-

t

)

x

+2

ty

-2=0(

t

∈

R

)的距離嗎？學生根據點到直線的距離公式可迅速求出點

P

到直線

l

的距離這一問題指向性十分明確，學生完成起來相對輕松，也會質疑——為何要提出這個問題？此時，教師可以繼續提出指向性很明確的探究型問題．問題3 是否存在定點

P

(

m

,

n

)到直線

l

:(1-

t

)

x

+2

ty

-2

t

-4=0(

t

∈

R

)的距離為定值？同樣地，學生運用點到直線的距離公式可表示出距離

d

關于

t

的函數，即進一步啟發：要使

d

為常數，必須滿足什么條件？引導學生觀察結構，思考恒等，進而得出：當且僅當

m

=2,

n

=1時，

d

=2．

在上述問題的學習基礎上，數學直覺思維好的學生能夠猜出該直線族的包絡線是圓，此時，教師可以引導學生換一個視角去探究．

問題4 曲線

C

是直線族

l

:(1-

t

)

x

+2

ty

-4

t

-6=0(

t

∈

R

)的包絡線，求曲線

C

的周長．令

t

=tan

θ

，則直線族(1-

t

)

x

+2

ty

-4

t

-6=0(

t

∈

R

)變形為(

x

- 3)cos 2

θ

+(

y

-2)sin 2

θ

=3，易知曲線

C

即為以(3,2)為圓心、3為半徑的圓．

不難看到，在這個問題解決的過程中，通過問題1和問題2讓學生不斷地質疑，在質疑中形成最初的感性認識，逐步上升至對問題本質的理解——恒等式．問題3超越了問題2的靜態表達的淺層認知，而是引導學生在已明確的對象中探尋“動中求定”的奧秘，這是一種高階思維，而問題4則是在已有成果基礎上進行的深度探究．在課堂上，提出層次鮮明的問題，可以很好地調動所有學生主動參與的積極性，有了主動參與就可能發生深度參與，進而發生深度學習．

2

.

4 多維思考，在思維進階處提問

深度學習意味著遷移與應用，發散思維具有多向性、變異性、獨特性的特點，即思考問題時注重多途徑、多方案地去思考，解決問題注重舉一反三，觸類旁通．在課堂上，為了讓學生運用不同的知識和方法從不同角度解決同一問題，或對于給出已知條件得出不同結論而合理創設問題情境．通過一題多變、一題多問等方式，來引導學生多維思考，促進思維有效進階．

案例4

b

g糖水中含糖量為

a

g，現加入

m

g糖，糖水的味道會變得越來越甜．

問題1 能將問題中的不等關系寫成不等式嗎？

這是學生比較熟悉的“糖水不等式

如果僅僅這樣就題論題，就大大弱化了它的教學功能．可進一步發散成問題2．

問題2

b

g糖水中含糖量為

a

g，現加入

m

g水，糖水的味道會變淡，請把此數量關系寫成不等式．

一些學生受前面影響，不自覺地寫成這顯然是不對的，隨即找錯，得出在這一過程中，學生經歷了探索、質疑、激疑、釋疑．在學生思維漸趨平穩時，再給出問題3．

問題3

b

g克糖水中含糖量為

a

g，若

m

>0，則不等式表示什么？

這是一個逆向問題，離開了具體情境，它表示什么？這是從抽象到具體的逆向思維，問題沒有固定的答案．在上述問題1～3的過程中，學生經歷了由具體到抽象、由抽象到具體的雙向表征的過程．

問題4 你能根據上述問題編制一個相關命題嗎？

問題4的出現給學生的思維提供了一個廣 闊的空間，其中交織著學生相互之間的討論、 交流、辨析等思維活動，學生在問題導向下進行 思考與探索，真正實現了主動地思考，促進了深度學習．

3 結束語

課堂是教學的主陣地、主渠道，通過恰當的數學課堂問題設計，能實現數學學習從知識主線到問題主線、從問題主線到思維主線的轉變，把學生在知識獲得中學習知識轉變為在問題解決中學習知識．這既是數學深度學習賴以發生的孵化器，更是數學深度學習得以維持的助推器．教師要研究課標、研究教材、研究學生，深度挖掘教學內容的教育價值，設計具有思維空間的挑戰性的問題，主要以問題鏈的形式在課堂教學中適時呈現，提升學生的高階思維能力和思維品質，促進深度學習在課堂教學中真實發生．