以終為始：圓錐曲線問題中設(shè)線的基本原則

朱 瀟

(湖北省武漢大學(xué)附屬中學(xué) 430064)

筆者在文[1]中以圓錐曲線中的設(shè)線方式問題為例，分析了不同設(shè)線方式對于計算量的影響．在最近一次高三復(fù)習(xí)課“同課異構(gòu)”研討活動中，有教師提出關(guān)于設(shè)線方式的一個觀點(diǎn)：如果直線過

x

軸上定點(diǎn)，選擇“反設(shè)”(

x

=

ty

+

m

)；如果直線過

y

軸上定點(diǎn)，選擇“正設(shè)”(

y

=

kx

+

b

)，這樣就可以減少計算量．筆者認(rèn)為這種觀點(diǎn)不僅值得商榷，還固化了學(xué)生的思維，不利于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)．在圓錐曲線解答題中如何選擇合適的設(shè)線方式？如何將其背后的算理內(nèi)化為學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)？筆者認(rèn)為“以終為始”是圓錐曲線問題中設(shè)線的基本原則；在課堂上將“怎么做”扭轉(zhuǎn)為“為什么這么做”，可在幫助學(xué)生理解算理的同時，讓提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)成為可能．

1 一定要“正設(shè)”嗎？

例1

(2017·北京)已知拋物線

C

：

y

=2

px

過點(diǎn)

P

(1，1)．過點(diǎn)作直線

l

與拋物線

C

交于不同的兩點(diǎn)

M

，

N

，過點(diǎn)

M

作

x

軸的垂線分別與直線

OP

，

ON

交于點(diǎn)

A

，

B

，其中

O

為原點(diǎn)．求證：

A

為

BM

中點(diǎn)．

解法1

(正設(shè)) 易知拋物線方程為

y

=

x.

設(shè)直線

l

的方程為設(shè)直線與拋物線交于

M

(

x

,

y

)，

N

(

x

,

y

)

.

由得4

k

x

+(4

k

-4)

x

+1=0，令

Δ

>0，則且由韋達(dá)定理知直線

OP

的方程為

y

=

x

，則

A

(

x

,

x

)；直線

ON

的方程為則因?yàn)?0，所以故

A

為

BM

中點(diǎn)．

解法2

(反設(shè)) 設(shè)直線

l

的方程為由得令

Δ

>0，則

t

<0或

t

>2，且由韋達(dá)定理知由解法1易知,則得證．解法分析 本例中直線過

y

軸上一定點(diǎn)．通過對比發(fā)現(xiàn)，“反設(shè)”反而比“正設(shè)”計算量要小很多．究其本質(zhì)原因，證明目標(biāo)需要找三個點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，通過分析易知，將變元統(tǒng)一用縱坐標(biāo)表示，有利于構(gòu)建坐標(biāo)之間的關(guān)系．如設(shè)則要證

A

為

BM

中點(diǎn)，即證2

y

y

=

y

+

y

，由韋達(dá)定理很容易看出該式恒成立．

2 一定要“反設(shè)”嗎？

例2

(2021·湖北模擬)設(shè)橢圓的離心率為且內(nèi)切于圓

x

+

y

=9．(1)求橢圓

C

的方程；(2)過點(diǎn)

Q

(1,0)作直線

l

(不與

x

軸垂直)與該橢圓交于

M

，

N

兩點(diǎn)，與

y

軸交于點(diǎn)

R

，若試判斷

λ

+

μ

是否為定值，并說明理由．

解法1

(反設(shè)) (1)橢圓方程為(過程略)

.

(2)若

l

與

x

軸重合，則

M

(-3,0),

N

(3,0),

R

(0,0),

Q

(1,0)，由題意易知所以若

l

與

x

軸不重合，設(shè)

l

的方程為

x

=

ty

+1(

t

≠0)，設(shè)

M

(

x

,

y

),

N

(

x

,

y

),

R

(0,

y

)

.

由得(

t

+9)

y

+2

ty

-8=0，則

Δ

>0，且①

.

由可知所以②

.

因?yàn)?p>R

(0,

y

)在直線

l

上，則將①代入②，則綜上，

解法2

(正設(shè)) 由題意知，直線

l

的斜率一定存在

.

設(shè)

l

的方程為

y

=

k

(

x

-1)，設(shè)

M

(

x

,

y

),

N

(

x

,

y

),

R

(0,

y

)

.

由得(1+9

k

)

x

-18

k

x

+9

k

-9=0,則

Δ

>0，且

由可知所以=

解法分析 本例中直線過

x

軸上一定點(diǎn)．通過對比發(fā)現(xiàn)，雖然“正設(shè)”的韋達(dá)定理結(jié)構(gòu)較“反設(shè)”稍顯復(fù)雜，但不用考慮直線與

x

軸重合的情況，同時目標(biāo)式只含有關(guān)于

x

、

x

的對稱結(jié)構(gòu)；而“反設(shè)”需要將

y

用進(jìn)行代換后再使用韋達(dá)定理求解．從本質(zhì)上看，使用哪種直線設(shè)法源于對題目共線條件的翻譯方向，翻譯之后的式子(目標(biāo)式)為設(shè)線方式提供了參考．

3 如何選擇合適的設(shè)線方式

3

.

1 設(shè)線方式的本質(zhì)分析

從以上兩例可以看出，簡單根據(jù)直線上定點(diǎn)所在坐標(biāo)軸位置就確定直線的設(shè)線方式是不妥的．部分教師的類似論斷僅僅只是站在聯(lián)立消元后一元二次方程的簡潔性上，認(rèn)為二次三項(xiàng)式含參的部分越少、次數(shù)越低，計算量越?。畬υO(shè)線方式的考慮除了簡化韋達(dá)定理的形式以外，還應(yīng)結(jié)合解題目標(biāo)作進(jìn)一步分析．由解題目標(biāo)分析出待解式子需要關(guān)于

x

的韋達(dá)定理還是關(guān)于

y

的韋達(dá)定理，進(jìn)而決定選擇何種設(shè)線方式．比如例1中分析出只需證明2

y

y

=

y

+

y

即可，例2中分析出只需求即可．所以設(shè)線方式的本質(zhì)不在于設(shè)線方式的選擇，而在于解題目標(biāo)分析及目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)．

3

.

2 設(shè)線方式的原則

書寫解題過程通常是按照設(shè)線(設(shè)點(diǎn))——聯(lián)立——韋達(dá)定理——翻譯目標(biāo)條件(結(jié)論)——利用韋達(dá)定理等步驟呈現(xiàn)的,而解題思維則通常需要從目標(biāo)條件(結(jié)論)出發(fā)，找到其等價條件或者結(jié)論，進(jìn)而尋找關(guān)于

x

,

x

或者

y

,

y

的待證式子，進(jìn)而選擇設(shè)線方式．這種書面呈現(xiàn)與思維過程的互逆性導(dǎo)致學(xué)生在課堂上只是被動承認(rèn)過程的可行性而忽視了思維的生成性．所以設(shè)線方式選擇的原則應(yīng)該是“以終為始”，以題目中關(guān)鍵條件或者待證結(jié)論為“終”，分析解題思路之“始”，即選擇合適的設(shè)線方式，并將這一思維過程在課堂中著重生成出來．下面以2021年一道高考試題加以說明

.

例3

(2021·北京)如圖1，已知橢圓過點(diǎn)

A

(0，-2)，以四個頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為求橢圓

E

的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線

l

過

P

(0，-3)且斜率為

k

，交橢圓

E

于不同的兩點(diǎn)

B

，

C

，直線

AB

，

AC

分別交

y

=-3于點(diǎn)

M

，

N

，若|

PM

|+|

PN

|≤15，求

k

的取值范圍．分析 本題第(2)問解答中可以將直線

l

的方程設(shè)為

y

=

kx

-3的原因除了直線過

y

軸上定點(diǎn)以外，更多是因?yàn)楹诵臈l件|

PM

|+|

PN

|≤15可以翻譯成目標(biāo)式子(終)轉(zhuǎn)為關(guān)于

x

的韋達(dá)定理較為簡潔，從而選擇“正設(shè)”(始)．

有些問題核心條件或結(jié)論的轉(zhuǎn)化較為復(fù)雜，需要進(jìn)行二次轉(zhuǎn)化，形成新的目標(biāo)式子，進(jìn)而再選擇設(shè)線方式．但無論是哪種類型，培養(yǎng)學(xué)生的目標(biāo)意識，遵循“以終為始”的設(shè)線原則，進(jìn)而發(fā)展用程序化的思想理解、表達(dá)問題的能力，才是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的最終訴求．

3

.

3 設(shè)線方式教學(xué)的價值旨?xì)w

高三復(fù)習(xí)課的專題分類經(jīng)常是題型導(dǎo)向，而“設(shè)線方式問題”是方法導(dǎo)向．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》中要求利用8課時左右時間專門講《推理與證明》，內(nèi)容要求結(jié)合學(xué)習(xí)過的實(shí)例講解綜合法、分析法等，體現(xiàn)證明數(shù)學(xué)命題的方法性．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020修訂)》中刪除了《推理與證明》，提倡將證明數(shù)學(xué)問題的方法以滲透的方式融合在平時教學(xué)內(nèi)容中．“設(shè)線方式問題”的教學(xué)就是一個很好的載體．本專題中，在學(xué)生習(xí)得“以終為始”的設(shè)線原則的同時，教師通過帶領(lǐng)學(xué)生分析題目關(guān)鍵條件(結(jié)論)，以分析法的思路得到解題的起點(diǎn)，然后以綜合法的步驟書寫解題過程，將書寫過程、思維過程與綜合法、分析法對應(yīng)，真正從“教題型”中解脫出來，進(jìn)而走向“教方法”

.

這一過程也為發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)提供了可行場域．

4 結(jié)語

在解題過程中目標(biāo)意識是最為重要的．圓錐曲線中目標(biāo)意識是“終”，設(shè)線方式是“始”．“以終為始”是解決這類目標(biāo)導(dǎo)向很明確的問題的基本原則．長期以來，我們習(xí)慣于呈現(xiàn)解題方法，忽視了思維的過程．表現(xiàn)為教師在課堂里直接告訴學(xué)生諸如“拋物線開口向右選擇反設(shè)、面積問題中水平寬為定值時選擇反設(shè)”等總結(jié)好的套路，固化了學(xué)生的思維．在解題教學(xué)中遵循“以終為始”的基本原則，生成火熱的思考，有助于幫助學(xué)生“知其然，知其所以然”，進(jìn)而“知何由以知其所以然”．