從“聯”向“變”：數學整體性教學的有效策略

江蘇省蘇州市吳中區華東師范大學蘇州灣實驗小學 皋 嶺

系統論認為，人們對事物的認知具有整體性。所謂“整體性”，簡而言之就是“整體大于部分之和”，即它不僅表示包含事物各部分或要素的個體特性，還表示事物各部分或要素個體特性之和以外的整體特性。基于整體性視角，我們在數學教學過程中，要充分發掘各部分或要素之間存在的關聯，催生單一部分或單個要素不具備的整體性變化，追求“1+1＞2”的教學效果。為此，從“關聯”趨向“變化”就成了開展數學整體性教學的有效策略，也成為促進學生形成與發展數學核心素養的重要保障。

一、分析缺“聯”少“變”的教學現象

（一）只見樹木，不見森林

在義務教育階段數學課程內容的實施過程中，教師往往采用分課時的方式，把相關聯的數學課程內容拆分成一個個分散的“點”來進行組織教學。一些對課程內容缺乏整體把握的教師，不能抓住課程內容各部分之間的關聯與變化，人為割裂課程內容的整體性，使得數學課程的實施“只見樹木，不見森林”。如教師就點教點，每個教學課時僅對單一知識點進行教學與訓練，缺乏與相關知識點的關聯，從而形成“碎片化”的教學樣態；就題論題，不在類似數學問題的聯系與變化中，揭示一類問題背后所蘊藏的相通的數學思想方法，而是采用“孤立化”的教學方式；就方法講方法，對待數學方法的多樣化與優化問題缺少整體視角，最終形成“單一化”的解決問題的方法。

（二）撿了“芝麻”，丟了“西瓜”

數學教材編制的課程內容，以單元為單位，通過例題、練習等方式呈現學生探索的數學問題，并且通過大量配套的例題與練習，把需要學生鍛煉形成的數學核心素養隱含其中。數學課堂教學如果僅僅為了得到一道道例題與練習的正確答案，而忽略發掘例題與練習背后關聯著的數學思想方法，缺少對零散教學內容關聯與變化的整體提煉，將會使學生停留在數學學習的表層，而無法達到數學思想方法上的底層貫通。那么，發展學生的數學核心素養終究會是一句空話。正如，我們撿了完成一道道例題與練習教學表層的“芝麻”，卻丟了這些例題與練習教學深層的“西瓜”。

（三）坐而論道，紙上談兵

小學是學生系統學習數學的起始階段，小學階段的數學學習內容與學生實際生活有著廣泛的聯系。因此，在數學課程的實施過程中，教師要十分重視讓學生在解決日常生活中的數學問題的同時，增長知識。只有將數學學科知識與學生生活體驗進行關聯，學生所掌握的數學知識才能變得靈動而有張力。為此，教師應帶領學生走進數學問題的真實情境，尋求解決數學問題的方法，形成數學關鍵能力和必備品格。而在實際的數學課堂教學中，有些教師往往過于強調學習內容的知識性，忽略了知識應用的實踐性，出現許多脫離學生生活實際與活動體驗的低效教學。學生也在這樣的教學中逐漸失去對數學學習的興趣與動力，從而出現“坐而論道，紙上談兵”的教學現象。

二、發掘需“聯”求“變”的內涵價值

關聯是整體性的重要特征，變化是整體性的表現形式。有了關聯，整體包含的各個部分或要素才會組成相互聯系的有機整體；有了變化，整體也就表現出各個部分或要素個體特性之和以外的整體特性。整體性觀照下的數學教學離不開關聯與變化，教師需要發掘出數學教學中原本隱含的關聯與變化，才能凸顯數學整體性教學的價值。結合數學課程的實施，需“聯”求“變”不僅是數學課程內容實施的客觀需要，還是學生構建完備數學認知的重要途徑，更是學生鍛煉并獲得數學核心素養的重要保障。

（一）是數學課程內容體系的建構方式

義務教育階段數學課程內容編排以學段為單位，課程內容相互關聯，逐段遞變，螺旋上升，構成相對系統的知識結構。課標強調，為實現核心素養導向的教學目標，不僅要整體把握教學內容之間的關聯，還要把握教學內容主線與相應核心素養發展之間的關聯。可見，關聯及其催生的變化是課標實施的重要理念。

（二）是數學有效課堂教學的重要抓手

有效的數學課堂教學需要教師在數學知識的關聯中，把握內容貫穿的主線，找準學習起點，厘清數學學習脈絡，促進學生沿著內容主線整體性地學。有效的數學課堂教學還需要教師在諸多教學要素的關聯中，把握內容的主次地位，凸顯核心知識，幫助學生根據內容的重要性由主及次整合地學。

（三）是數學核心素養落地的務實行動

數學核心素養是學生在數學學習過程中逐漸形成的，是他們面向未來社會和個人發展所必備的重要素養。在教學中，教師不僅要重視數學知識體系內部的關聯，還要重視數學與其他學科知識之間、數學與科學技術和社會生活之間的關聯，在豐富而靈動的關聯中，讓學生理解“萬變不離其宗”的數學規律及其包含的基本數學思想，學會用數學的眼光觀察、用數學的思維思考、用數學的語言表達現實世界，從而形成和發展學生的數學核心素養。

三、實施從“聯”向“變”的有效策略

（一）上下關聯，變短為長

數學知識的產生與來源、發展與變化、綜合與應用等具有聯系緊密的內在結構，有效的數學課程實施需要順應數學知識的內在發展脈絡進行上下關聯，在內容上連接知識“點”，形成結構“鏈”，變“短聚焦”為“長視程”，幫助學生用整體的、聯系的、發展的眼光研究數學現象，促進學生對數學知識體系的整體性建構與全方位認知。

例如，教學“三角形的高”時，在學生初步掌握三角形高的概念后，教師展開如下探究：

1.“三角形的高”與“直線外一點到這條直線距離”相聯系

課件先隱去三角形中與這條高無關的兩條邊，保留一組相對的頂點、底及高（如圖1），讓學生將其與以前學習的“直線外一點到直線的距離”（如圖2）進行比較。

圖1

圖2

2.“三角形的高”與“兩條平行線之間的垂直線段”相聯系

在釘子板上平移三角形的這個頂點，圍出不同的三角形，讓學生找出它們的高（如圖3），比較并思考為什么這些三角形高的長度相等。

圖3

3.“三角形的高”與“銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形”相聯系

在釘子板上把這個頂點繼續向一邊平移，得到直角三角形、鈍角三角形（如圖4），研究并理解這三種不同類型三角形的高所具有的共同特質。

圖4

（二）左右關聯，變小為大

鄭毓信教授指出，整體性教學“應當超出單獨的每一節課、每一具體的學習內容并從更大范圍進行分析與思考”。教師要從分散在不同單元板塊、不同類型的數學知識中，整合具有內在關聯的內容進行學習，體現數學知識的左右橫向關聯，放大數學探究視域，在復雜數學知識中探索共性規律，形成簡約認知，從而減輕學生的學習負擔，提升他們的數學學習成效。

例如，在教學“乘法分配律”時，教師通過畫點子圖、長方形面積計算、豎式計算等形式，讓學生充分理解乘法分配律的要義。

（1）出示問題：光明小學四年級有10個班，五年級有8個班，每個班領24個籃球，四、五年級一共要領多少個籃球？

（2）用點子圖直觀表示四、五年級

（三）內外關聯，變靜為動

學生學習數學需要強化內部的數學知識與外部的其他學科知識、科學技術和社會生活之間的聯系，在實際情境和真實問題中，經歷發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，積累活動經驗，變靜態的數學知識為靈動的思想方法，促進核心素養的形成和發展。

例如，在學習“折線統計圖”這一單元時，教師設計“身高增長的秘密”主題活動，讓學生運用折線統計圖的相關知識研究少年兒童身高增長的規律。

（1）收集整理自己一年級入學以來逐年體檢的身高數據，繪制自己一到五年級身高增長變化情況的單式折線統計圖，研究了解哪一階段身高增長得較快，哪一階段身高增長得較慢。

（2）根據《中國兒童身高管理現狀調研報告》提供的標準身高數據，選擇與自己同性別的標準身高數據，繪制自己一到五年級以來身高增長與同性別標準身高變化進行對比的復式折線統計圖，研究自己的身高與同性別標準的身高比較情況。

（3）繪制3～15周歲男生和女生標準身高變化情況的復式折線統計圖，研究了解不同性別少年兒童身高增長的普遍規律。

（4）將自己的身高增長變化與其他同性別學生進行比較，研究了解促進身高增長的因素，科學制訂計劃。

實踐證明，從“聯”向“變”不僅充分體現了數學教學的整體特質，還是形成和發展學生數學核心素養的有效教學策略，在學生綜合素質的全面提升中發揮著重要作用。