灰色時序模型在建筑物沉降觀測中的應用

潘順宇，付 饒

（1.山東正元數字城市建設有限公司，山東 煙臺 264670）

灰色時序模型是一種應用廣泛的預測模型，在植被生長、社會發展、貨運儲量、建筑沉降等方面都有比較成熟的改進模型[1-3]?；疑Ｐ拖拗朴谧陨淼捻憫浇M成，導致在長期預測中會出現比較明顯的指數增長趨勢，這種增長趨勢在建筑沉降預測中與實際沉降情況會有所出入[4-7]，相關學者對此方面的改進工作有較多研究[8-9]。本文在前人工作的基礎上，首先驗證了背景值優化中梯形公式的作用充當近似的數值積分公式，然后根據牛頓柯達斯系數表討論各種情形下背景值優化的方法與積分區間，并結合傅里葉級數的殘差修正方法對灰色模型進行進一步改進。

1 灰色時序模型

由以上變化，且X(0)和X(1)之間滿足式（2）所示的關系：

對X(1)進行變換，生成緊鄰均值序列z(1)(t)，如式（3）所示：式中，t=2，3，…，n，至此可得灰色模型的基本形式如式（4）所示：

根據最小二乘準則求式（4）的最小二乘解，其參數a、u計算如式（5）所示：

則灰微分方程為：

令X(1)(1)=X(0)(1)，可得X(1)(t)。

對累加公式（1）進行改寫，將最后一項從累加符號中單獨列出。

將式（8）進行移項，得到一次累減還原后的原始序列。

以上過程即為傳統灰色時序模型的預測過程，在此基礎上，對灰微分方程式（6）在[t-1，t]上積分。

根據積分理論展開等式左側第一項。

使用梯形公式代替式（10）左側第二項。

綜合以上各式可得與式（4）完全一致的灰色模型，以上推導說明灰微分方程中的第二項積分使用梯形公式代替時，該式與灰色模型的白化方程是形式一致的。考慮到數值積分中存在辛普森公式、柯達斯公式等其他積分替代公式，下面介紹使用其他形式的數值積分代替梯形公式的情形。

2 數值積分改進的灰色時序模型

數值積分公式來源于牛頓柯達斯公式，根據柯達斯系數表，可以得到不同階次的數值積分公式，柯達斯系數關系如表1所示。

表1 部分Cotes系數

由表1可知，根據數值積分可得n=1，2，3，4時的數值積分公式，分別對應T（梯形公式），S（辛普森公式），Q（n=3），C（柯達斯公式），如式（13）～（16）所示。

對式（16）進行積分，由于式（13）～（16）中，步長函數是根據積分區間確定的，因此對不同階次的數值積分公式，應選擇其n取值長度的積分區間，以確保步長公式能取到函數的整值，這一點是確保使用數值積分改進后計算公式依然能使用離散點的前提，常規灰色時序模型已經使用式（13）的公式，下面列出其他三式改進的灰色模型。

n=2時，積分形式如式（17）所示：

將式（17）左側第一項展開，如式（18）所示：

使用n=2的數值積分公式代替式（17）左側第二項，如式（19）所示：

式（17）可為式（20）所示的形式：

改寫為矩陣形式，如式（21）所示：

求式（21）的最小二乘解，解算式同式（5），參數變化如下：

n=3時，積分形式如式（22）所示：

將式（22）左側第一項展開，如式（23）所示：使用n=3的數值積分公式代替式（23）左側第二項，如式（24）所示：

式（22）可為式（25）所示的形式：

n=4時，積分形式如式（26）所示：

將式（26）左側第一項展開，如式（27）所示：

使用n=4的數值積分公式代替式（26）左側第二項，如式（28）所示：

式（26）可為式（29）所示的形式：

3 基于傅里葉級數的殘差修正

為方便與上述推導區分，殘差修正部分對灰色模型所用的符號標記進行了更改，原始序列和預測序列的殘差序列如式（30）所示：

式中，e(k)=X(0)(k)-X^(0)(k)，2≤k≤n。

將上式中殘差序列用傅里葉級數表示如式（31）所示：

式（31）整理成矩陣形式如式（32）所示：

系數解算如式（34）所示：

將系數值代入到式（31），求得殘差序列E^a(k)如式（35）所示：

4 實例驗證

本文所用驗證數據，為某建筑沉降監測的15期成果，監測時間為2014-05～2016-01，測量中誤差為0.72 mm，其中前九期用于計算模型參數，后六期用于驗證模型精度，為說明本文所提及的數值積分改進的灰色模型的計算方法，以下將基于柯達斯公式改進的系數計算過程列出。

柯達斯公式計算過程如下：

將按X(0)式（1）累加形成X(1)(t)：

按式（3）生成緊鄰均值序列z(1)(t)：

此時式（21）中，B=[-0.067 0，-0.091 0，

按照式（5）解算系數結果為：[au]T=[-0.198 6-0.149 6]T。

分別使用T（梯形公式），S（辛普森公式），Q（n=3），C（柯達斯公式）結合灰色模型進行沉降參數計算，前九期擬合成果與真值的差值如表2所示。

表2 擬合成果與真值的差值對比

表2的擬合成果中，4種模型未有明顯的精度區別，從數值上看，內符合精度相當，但其差值分布情況不同，差值增大或減小與n的次數未有明顯的線性規律，有關本部分成果的使用將在后續的殘差修正中提及。后6期的預測成果如表3所示，在預測精度評定中使用真誤差和絕對值的平均值作為衡量標準，圖1為小數制的曲線。

表3 預測成果誤差對比

由表3及圖1，可以看到C和Q公式下的灰色模型預測精度已經非常接近，各期預測精度較高，且隨期數推移的誤差增長比較平緩；S和T公式的預測精度不僅偏低，且其誤差不穩定。隨著預測時間的推移，誤差的絕對值會接近或突破10 mm；本組驗證說明數值積分的改進對灰色模型背景值平滑起到了比較明顯的作用，但在n=2時其改進效果并不明顯；在n=3時即可達到較高的預測精度，隨著n的增大，最小二乘解算式中的系數矩陣會減小行維度，考慮到灰色模型經常應用在少數據的情形中，因此在原始序列較短的情況下可以選擇使用n=3的改進公式，其精度相較n=4時損失較少。

圖1 預測曲線

下面結合傅里葉級數的殘差修正方法驗證本文使用的幾種灰色時序模型與該修正方法的適用性，由于傅里葉級數系數解算過程矩陣較大，因此沒有列出代入數據的矩陣計算過程，殘差修正的大致思路如下：

1）計算表2的差值成果，以此作為式（30）的差值成果。

2）根據傅里葉級數的殘差修正方法進行參數計算，得到式（35）所示的殘差修正計算式。計算表3的預測成果。

3）根據式（35）計算表3中各期預測成果的殘差修正值。將修正值改進到表3的預測成果中，完成基于傅里葉級數的殘差修正。

根據以上過程，計算表3預測數據的傅里葉級數殘差修正成果，如表4所示，圖2為小數制的表4曲線。

表4 殘差修正的預測成果誤差對比

由表4和圖2可知，傅里葉級數改進后4種模型的平均誤差都有所下降，不同的模型下降0.5～3 mm不等，但傅里葉級數的殘差修正并不能非常明顯地提升精度，例如T的平均修正誤差為6.93 mm，依然低于S未修正的5.06 mm，說明這種殘差修正方法可以在原模型的范圍內提高精度，但不能克服模型自身精度偏低的缺陷。其中Q的平均誤差經過改正已經低于C，這與Q和C未改正的平均誤差本來就接近有關系，因此不能說明Q的殘差修正成果精度一定高于C，但是此處的成果驗證了前文的結論，在原始序列較短的情況下可以選擇使用n=3的改進公式。

5 結論

本文討論了數值積分在灰色時序模型中的背景值優化方法，通過實例驗證了其優化效果，當n取3、4時，背景值優化能夠比較明顯地提升沉降預測精度，本文實例中的平均誤差分別為2.50 mm和2.68 mm?；诟道锶~級數的殘差修正方法在各種背景值優化方案中均能提高預測精度，但未能起到越級精度提高的效果，當n取3時其預測精度高于n取4的方案，平均誤差為1.82 mm。在實際預測中，基于傅里葉級數殘差修正的n取3與n取4的2種數值積分改進方案均能獲得較高的沉降預測成果，可以根據原始序列的長度靈活選擇使用。