數學中的真與美

/丘成桐

從古到今，無論是科技、數學或人文科學，內容愈來愈豐富，分支也愈來愈多。考其原因，一方面是由于工具愈來愈多，能夠發現不同現象的能力也比以前大得多；一方面全世界的人口大量增長，不同種族、不同宗教、不同習俗的人在互相交流后，不同觀點的學問得到融會貫通，迸出火花，從而產生新的學問。

數學之為學，有其獨特之處。它本身是尋求自然界真相的一門科學，但數學家也如文學家般天馬行空，憑愛好而創作，故此數學可謂是人文科學和自然科學的橋梁。

數學家研究大自然所提供的一切素材，尋找它們共同的規律，并用數學的方法表達出來。這里所說的大自然比一般人所了解的來得廣泛。

我們認為數字、幾何圖形和各種有意義的規律都是自然界的一部分。我們希望用簡潔的數學語言將這些自然現象的本質表現出來。

數學是一門公理化的科學，所有命題必須由三段論證的邏輯方法推導出來，但這只是數學的形式，而不是數學的精髓。大部分數學著作枯燥乏味，而有些卻令人嘆為觀止，其中的區別在哪里呢？

大略言之，數學家以其對大自然感受的深刻程度，來決定研究的方向。這種感受既有其客觀性，也有其主觀性，后者則取決于個人的氣質。氣質與文化修養有關，無論是選擇懸而未決的難題，或者創造新的方向，文化修養皆起著關鍵性的作用。文化修養是以數學的功夫為基礎，自然科學為輔，但是深厚的人文知識也極為要緊。因為人文知識也致力于描述心靈對大自然的感受，所以司馬遷寫《史記》除了“通古今之變”外，也要“究天人之際”。

歷代的大數學家如阿基米德、牛頓，莫不以自然為宗，見物象而思數學之所出，即有微積分的創作。費馬和歐拉對變分法的開創性發明也是由于探索自然界的現象而引起的。

近代幾何學的創始人高斯認為幾何和物理不可分。他說：“我越來越確信幾何的必然性無法被驗證，至少現在無法被人類或為了人類而驗證，我們或許能在未來領悟到那無法知曉的空間的本質。我們無法把幾何和純粹是先驗的算術歸為一類，幾何和力學卻不可分割。”

20世紀幾何學的發展，則因物理學上重要的突破而屢次改變其航道。當狄拉克把狹義相對論用到量子化的電子運動理論時，發現了狄拉克方程，以后的發展連狄拉克本人也嘆為觀止，認為他的方程比他的想象來得美妙，這個方程在近代幾何的發展中起著關鍵性的作用。

我們對旋子的描述缺乏直觀的幾何感覺，但它出于自然，自然界賦予幾何的威力可說是無微不至的。

廣義相對論提出了場方程，它的幾何結構成為幾何學家夢寐以求的對象，因為它能賦予空間一個調和而完美的結構。我研究這種幾何結構垂三十年，時而迷惘，時而興奮，自覺同《詩經》《楚辭》的作者，或晉朝的陶淵明一樣，與大自然渾為一體，自得其趣。

捕捉大自然的真和美，實遠勝于一切人為的造作，正如《文心雕龍》說的：“云霞雕色，有踰畫工之妙。草木賁華，無待錦匠之奇。夫豈外飾，蓋自然耳。”

在空間上是否存在滿足引力場方程的幾何結構是一個極為重要的物理問題，它也逐漸地變成幾何中偉大的問題。盡管其他幾何學家都不相信它存在，我卻鍥而不舍，不分晝夜地去研究它，就如屈原所說：

“亦余心之所善兮，雖九死其猶未悔。”

我花了五年工夫，終于找到了具有超對稱的引力場結構，并將它創造成數學上的重要工具。

當時的心境，可以用以下兩句來描述：

“落花人獨立，微雨燕雙飛。”

數學的文采，表現于簡潔，寥寥數語，便能道出不同現象的法則，甚至在自然界中發揮作用，這就是數學優雅美麗的地方。

我的老師陳省身先生創作的陳氏類，就文采斐然，令人贊嘆。它在扭曲的空間中找到簡潔的不變量，在現象界中成為物理學界求量子化的主要工具，可謂是描述大自然美麗的詩篇，直如陶淵明“采菊東籬下，悠然見南山”的意境。

從歐氏幾何的公理化，到笛卡爾創立的解析幾何，到牛頓、萊布尼茨的微積分，到高斯、黎曼創立的內蘊幾何，一直到與物理學水乳相融的近代幾何，都以簡潔而富于變化為宗，其文采絕不遜色于任何一個文學創作。它們軔生的時代與文藝興起的時代相同，絕對不是巧合。

數學家在開創新的數學想法的時候，可以看到高雅的文采和嶄新的風格。例如歐幾里得證明存在無窮多個素數，開創反證法的先河。高斯研究十七邊形的對稱群，使伽羅瓦群成為數論的骨干。這些研究異軍突起，論斷華茂，使人想起五言詩的始祖蘇李唱和詩與詞的始祖李太白的《憶秦娥》。

我們現在來看另外一個例子，來解釋數理與人文共通的地方：文學家和科學家都想構造一個完美的圖畫，但每個作者有不同的手法。

在漢朝，中國數學家已經開始研究如何去解方程式，包括計算立方根；到宋朝時，已經可以解多次方程，比西方早幾百年，但解決的方法是數字解，對方程的結構沒有深入的了解。

一個最簡單的問題就是解二次方程：

x^2 + 1 = 0

這個方程沒有實數解，事實上，無論 x 是任何實數，方程的左邊總是大于零，所以這個方程式沒有實數的解，因此中國古代數學家不去討論這個方程式。

大約在四百多年前，西方數學家開始注意這個方程，文藝復興后的意大利數學家發現它跟解三次和四次方程有關。他們知道上述二次方程沒有實數解，就假設它還是有解，將這個想象中的解叫做虛數。

虛數的發現，可了不起得很！它可以媲美輪子的發現。有了虛數后，西方學者發現所有多項式方程都有解，而且解的數目剛好是多項式的次數。所以有了虛數后，多項式的理論才成為完美的理論。完美的數學理論很快就得到無窮的應用。

事實上，其后物理學家和工程學家發現虛數是用來解釋所有波動現象最佳的方法，這包括音樂、流體和量子力學里面波動力學的種種現象。數論研究的重要部分是整數，但為了研究整數，我們不能避免地要大量用到復數的理論來幫忙。在 19 世紀初葉，柯西和黎曼開始了復變函數的研究，將我們的眼界由一維推廣到二維，改變了現代數學的發展。

黎曼又引入了 Zeta 函數，發現了復函數的解析性質可以給出整數中的質數的基本性質。另一方面，他也因此開發了高維拓撲這個學科。

由于復數的成功，數學家企圖將它推廣，制造新的數域，很快就發現除非放棄一些條件，否則那是不可能的。但是哈密爾頓和凱利先生卻在放棄復數域中某些性質后，引進四元數和八元數這兩個新的數域。

這些新的數域影響了狄拉克在量子力學的構想，創造了狄拉克方程。從這里可以看到數學家和物理學家為了追求完美化而得到重要的結果。

其實物理學上很多偉大的發現，是偉大的科學家通過一些思考的實驗和他們深入的洞察力得到的。

愛因斯坦創造廣義相對論時，人類觀察到的宇宙空間實在不大，他卻得到數學家的大力幫助。

在愛因斯坦完成廣義相對論后，魏爾和很多科學家開始融合引力場理論和電磁場理論，魏爾率先提出規范場的理論，經過十年的掙扎，才將麥克斯韋的電磁理論看作和廣義相對論類似的規范場論，在物理學上，這是一個偉大的突破。

有趣的是，魏爾說：“假如理論和見到的現象界有沖突，而這個理論漂亮而簡潔的時候，我寧愿相信理論。”這個看法對規范場理論的發展，有很大的幫助！

在這里，我們看到文學家和科學家類似的地方。狄拉克在完成他的方程后，他說他的方程比他自己更有深度，因為它優美地描述了基本粒子的性質，并在實驗室中得到證明，有些性質是狄拉克在創造這個方程前沒有辦法想象的。這是科學創新中產生的一個奇妙的現象，我們用以了解真理的工具往往會帶領我們向前，不斷地向前摸索！

將一個問題或現象完美化，然后將完美化后的結果應用到新的數學理論，來解釋新的現象，這是數學家的慣用手法，這與文學家有很多相似的地方，只不過文學家用這種手法來表達他們的感情罷了。

舉例來說，在中國古代有很多傳說，很多是憑想象，將得到的一些知識，循當時作者或當政者的需要而完成一些著作，所以我們看到東漢劉向父子作偽經，也看到《山海經》的寫作，夸大地描述很多無法證明的事件。

中國詩詞也有不少的例子。例如，李商隱和李白就創作了“錦瑟無端五十弦”和“白發三千丈”這兩句夸大的詩句。在明清的傳奇小說里，這種寫法更加流行，《西游記》里面描述的很多事情只有很少部分是事實，《三國演義》里孔明借東風的事是作者為了夸大諸葛亮的能力而寫出來的。

文學家為了欣賞現象或者舒解情懷而夸大而完美化，但數學家卻為了了解現象而構建完美的背景。我們在現象界可能看不到數學家虛擬結構的背景，但正如數學家創造虛數的過程一樣，這些虛擬的背景卻有能力來解釋自然界的奇妙現象。在數學家的眼中，這些虛擬背景，往往在現象界中呼之欲出。對很多數學家來說，虛數和圓球的觀念都可以看作自然界的一部分。

現在粒子物理學里面有一個成功的理論叫做夸克理論，它和虛數理論有異曲同工之妙，人們從來沒有看見過夸克，但是我們感覺到它的存在。

有些時候，數學家利用幾千頁紙的理論來將一些模糊不清的具體現象用極度抽象的方法去統一、去描述、去解釋。這是數學家追求完美化的極致，值得驚奇的是，這些抽象的方法居然可以解決一些極為重要的具體問題，最出名的例子就是格羅滕迪克在韋伊猜想上的偉大工作。

物理學家在上世紀 70 年代引進的超對稱也是將對稱的觀念極度推廣，我們雖然在實驗室還沒有見到超對稱的現象，但它已經引發了很多重要的物理和數學上的思維。

近代數學家在數學不同的分支取得巨大的成果，與文學家的手段極為類似。所以我說好的數學家最好有人文的訓練，從變化多姿的人生和大自然界得到靈感來將我們的科學和數學完美化，而不是禁錮自己的腳步和眼光，只跟著前人的著作，做小量的改進，就以為自己是一個大學者。

中國數學家太注重應用，不在乎數學嚴格的推導，更不在乎數學的完美化，到了明清時期，中國數學家實在無法跟文藝復興時期的數學家比擬。

有清一代，數學更是不行，沒有原創性！可能是受到乾嘉考證的影響，大多好的數學家跑去考證《九章算術》和唐宋的數學著作，不做原創性的工作。和同一個時代，文藝復興以后的意大利、英國、德法的學者不斷嘗試的態度迥異。找尋原創性的數學思想，影響了牛頓力學，因此產生了多次的工業革命。

到今天，中國的理論科學家在原創性方面還是比不上世界最先進的水準，我想一個重要的原因是我們的科學家在人文方面的修養還是不夠，對自然界的真和美感情不夠豐富！這種感情對科學家和文學家來說，其實是共通的。我們中華民族是一個富有感情和富有深度的民族，上述的文學家、詩人、小說家的作品，比諸全世界，都不遑多讓！

但是我們的科學家對人文的修養卻不大注意，我們管理教育的官員們卻有很奇怪的教育政策，他們大概認為語文和歷史的教育并不重要，用了一些淺顯而沒有深度的通識教育來代替這些重要的學問，大概他們以為國外注重通識教育的緣故吧。但這是舍本逐末的事情。

坦白說，我還沒有看到過哪個有水準的國家和城市不反反復復地去教導國民們本國或本地的歷史的。我的兩個孩子在美國一個小鎮讀書，他們在小學、在中學將美國三百年的事情念得滾瓜爛熟！因為這是美國文化的基礎。

我敢說：不懂或是不熟讀歷史的國民，他們必定認為自己是無根的一代。一般來說，他們的文化根基比較膚淺，容易受人愚弄和誤導。這是因為他們看不清楚現在發生事情的前因后果。

史為明鏡，它不單指出古代偉人成功和失敗的原因，它也將千年來我們祖先留下來的感情傳給我們，我們為秦皇漢武、唐宗宋祖創下的豐功偉績感到驕傲，為他們的子孫走錯的路而感嘆！中國五千年豐富的文化使我們充滿自信心！我們為什么不好好地利用祖先留給我們的遺產？

或許有人說，我不想做大科學家，所以不用走你所說的道路。其實這事并沒有矛盾。當一個年輕人對自己要學習的學問有濃厚的感情后，學習任何學問都會輕而易舉！至于數學和語文并重，則是先進國家（如美國等）一向認為理所當然的。美國比較好的大學收學生時都看 SAT 的成績，最重要的部分，考的就是語文和數學。

除了考試以外，美國好的中學也鼓勵孩子多元化，盡量涉獵包括人文和數理的科目。美國有很多高質量的科普雜志，銷量往往都在百萬本以上。而中國好的科普雜志不多，銷量也少得可憐，從這點就可以看到中西文化的異同，希望我們會逐漸改進！

我在中國博物館看到羅丹的遺囑，在這遺囑里我們看到雕塑家和科學家有著相同的目標。節錄如下：

生在你們以前的大師，你們要虔誠地愛他們。

可是要小心，不要模仿你的前輩。尊重傳統，把傳統所包含永遠富有生命力的東西區別出來——對“自然”的愛好和真摯，這才是天才作家的兩種強烈的渴望。他們都崇拜自然，從沒有說過謊。所以傳統把鑰匙交給你們，依靠這把鑰匙，你們能避開守舊的桎梏。也正是傳統，告誡你們要不斷地探求真實，并阻止你們盲從任何一位大師。

但愿“自然”成為你們唯一的女神。

對于自然，你們要絕對信仰。你們要確信，“自然”是永遠不會丑惡的，要一心一意忠于自然。

在藝術家眼中，一切都是美的，因為他銳利的目光能夠穿透任何人或物，發現其“性格”，換句話說，能夠發現其外形下透露出的內在真理；而這個真理就是美的本身。虔誠地鉆研吧，你們一定能找到美，因為你們將會發現真實。奮發地工作吧！要有耐心！不要指望靈感。靈感是不存在的。藝術家的優良品質，無非是智慧、專心、真摯、意志。像一個誠實的工人一樣完成你們的工作吧。

在我看來，羅丹教導我們的，何止是藝術，他每一句話都可用在科研的創新上，我們用真摯純樸的感情去找尋大自然的美麗、大自然的真實。

我們都感謝以前的大師，我們在他們的肩膀上向前摸索，但我們也知道他們的道路不是唯一的，讓我們勇往直前，建立我們自己了解大自然的道路！