沒有數學老師的數學課堂

/吳麗瑋

具體可視的數學

我女兒五歲時進入新西蘭一所小學讀一年級。開學一個月后，她驕傲地向我宣布：“我在學校每天都只想學習，不想玩。”

我被她的說法逗笑了，問她為什么。“上課的時候有意思，在外面玩有時會想不出玩什么。”

她口中最好玩的課是數學。有一天回來她跟我說，偶數就是能找到朋友的數。至于什么是“朋友”，她突然瞇起眼齜牙咧嘴地表演：“擠擠擠擠擠……”兩只手分別把指尖攢在一起，像小雞嘴似的往一塊撞，“兩個好朋友長得一模一樣，它們擠擠擠擠擠，擠在一起就是偶數。”表演完她樂不可支，補充道，“這是多賓斯小姐教我們的動作，我們當時都笑得躺地上了。”

對于五歲的孩子來說，老師教他們“找朋友”顯然比“能被2整除”要容易理解得多。但怎么知道一個數能不能找到一個一模一樣的“好朋友”呢？這對他們有點難。

這是一年級的第三個學期。經過了從零開始的二十多周學習，學生們已經開始學習跳數計數，兩個兩個地數，五個五個地數，或者十個十個地數。為了能讓他們數得更熟練，老師會找一些真人唱兒歌的視頻或者動畫，連續一星期的數學課上大家先要唱著數一遍。老師也會發信給家長說：“雖然我們不鼓勵去背口訣表，但現在希望孩子們可以快速反應出2+2、3+3、4+4、5+5、6+6、7+7、8+8、9+9分別等于幾，同時也能迅速回答4、6、8、10、12、14、16、18可以分成哪兩個相等的數。”在這個基礎上，才有了奇數與偶數的概念，以及“好朋友”的說法。

找“好朋友”的方法并不總是奏效。送孩子上學的路上，我經常會隨口說一個數，讓她報出奇偶，結果常常卡殼。“1、3、5、7、9結尾是奇數，2、4、6、8、0結尾是偶數。”這個簡便方法我重復說了很多遍，但她依然記不住。

老師似乎看上去并不著急，也并不會使用死記硬背的方法讓孩子掌握奇偶數這個概念，他們在學校依然在各種玩。

比如釣魚游戲，每個人拿著帶磁鐵的魚竿把池子里寫著數字的魚形紙片釣上來，再把它們分別放在奇偶數的框里。我看老師發來的視頻，我女兒看著3犯難了，經過旁邊一個同學的提醒，她跑去一張百數表上查詢。每行十個數字，一共十列，奇數列是黑色，偶數列是紅色。當她跑去查看的時候，老師夸獎道，“去查表是很棒的”。

還有一個“賓果”游戲是全班同學的摯愛。在白板上寫下四個數字，如果跟老師報出的數字一致就可以畫去，全部都畫掉后就高喊“Bingo”，取得勝利。老師會在學習跳數、“找朋友”和奇偶數時相應地變化口令，讓孩子做出識別。

一年級的一個重要任務是認識位值，一組有順序的數字里，每一位分別代表什么意思。老師會使用至少六七種方式讓學生們認識位值，使用的教具也多極了。比如樂高塊，一個兩位數的數字，可以用幾個十個一組的樂高塊和幾個單獨的樂高塊來表示？還可以使用叫“十框”的表格，每排五個格，把彩色圓片和方片以此填到格子里等等。

在使用教具認識位值的基礎上，加減法的算法更是門類繁多。可以使用尺子形狀的數值軸、樂高塊、“十框”、百數表，還可以使用現在時髦的湊十法，當然，扳指頭老師也不會干涉。

再比如認識平面和立體圖形。老師在教室的各個區域分別擺上橡皮泥、透明塑料的圖形、白板和iPad，同學們分組輪番嘗試不同區域的活動，逐步建立起一些判斷來，平面圖形是立不起來的，立體圖形各個方向可能會長什么樣。

可視化學習是新西蘭數學教學的常用方法。美國斯坦福大學教育學知名教授喬·博勒對視覺化思維在數學學習中的作用曾做過分析，大腦中的背視覺神經通路是數量運算的核心工作區域，孩子在進行數學運算時，大腦中會展現出一幅視覺圖景，用形象的方式來解決抽象的數學問題。

我當然承認老師廣泛提供可感可觸材料的好處，可當一年級結束時，我看到依然有小朋友在扳著指頭算一位數加減法，我還是覺得不太對勁。老師為什么不鼓勵小朋友使用更有效率的方法？在這次采訪時，我把這個問題提給了新西蘭教育大綱數學部分的編寫者文斯·萊特。

“從教育心理學上講，聯系已知內容進行理解是最容易的，所以在數學教學中聯系實際會讓孩子對學習更感興趣。”萊特說道，但和其他科目相比，數學的獨特性是最顯著的，“在科學課里講‘下落’的概念時，孩子可以明明白白地在現實生活中看到東西從上而下掉落。但數學不是這樣，數學概念全部是人為創造出來的。現實中并不能直接找到‘三角形’，你只能是看到房頂的每個頂點在不同的位置，根據邊角的位置關系來推測出它是一個‘三角形’。天氣預報說今天有40%的概率會下雨，但你不能從現實中直接感受到40%是什么。我認為，從現實引入概念，只是理解數學的第一步，幫助學生在此基礎上掌握數學概念才是數學老師面臨的最大挑戰。”

沒有課本，沒有考試和排名

新西蘭的數學基礎教育，可以用“毀譽參半”來形容。

一方面，它代表著新西蘭教育大綱中最獨特的部分。新西蘭大綱的獨特之處在于，只有教學目標和教師配套的指導用書，沒有指定課本。按照大綱前言中的敘述，這是充分考慮未來社會對人提出的新要求所進行的設計，它的目標是使學生成為自信、連接、積極參與的終身學習者。每一個學生都是獨特的，教學方法當然不一而足，老師不應局限在某一課本之上。新西蘭因這一大綱面向未來的前瞻性，在一些國際機構評選的未來教育排名中始終名列前茅。與亞洲在數學教育上強調扎實的基本功和刻苦的練習相比，新西蘭在數學上最能體現教育手段的差異性。

喬·帕特里克是奧克蘭長灣小學副校長，她既是該校數學教研組組長，也是奧克蘭大學教育學院計算能力教學培訓師。作為一個有近40年教齡的資深教師，她親身經歷了新西蘭在數學教育改革上的不斷演進。帕特里克告訴我，雖然新西蘭現有的教學大綱誕生于2006年，但在上世紀80年代中期，新西蘭的學校已經在嘗試使用一套名為“小學低年級數學”的新教育模式，“雖然那時候還有指定的課本，但所用的教材變得更寬泛了，這套模式也強調低年級學生的數學學習要圍繞著活動的方式進行”。

1999年，奧克蘭教育學院教授彼得·休斯在考察美國和澳大利亞的教育變革后，強烈建議新西蘭教育部對本國的數學教育進行改革。帕特里克回憶說：“休斯博士根據國外的研究成果提出了很多建議，比如如何正確理解孩子在認識數字時的階段性。”她說道，同樣算出5+3的結果是8，但孩子們實際的計算能力卻并不一定相同。“有的孩子無法把兩組數連在一起，需要用兩只手分別比出5和3，再從1開始，一個個地數下去，一直數到8。有的孩子已經有了集數的概念，他們知道兩個數相加時，5是不變的，所以在5后面接著數出6、7、8。顯然，會第二種方法比使用第一種的能力要強，那么接下來在學習9+6時，有集數概念的孩子更容易明白如何將數字重新組合，把9湊成10，再加上5。我在當時是不懂這二者的區別的，那時對教學有很多困惑，不明白為什么有的孩子總是計算上有困難。”帕特里克說，正是在這種新思想的推動之下，建構主義教育理論在新西蘭流行起來，“比如蘇聯心理學家維果斯基的‘最近發展區’理論，老師們開始討論如何識別孩子現在處在哪個發展區內，從而要給予他們與其能力最接近的教學資料，顯然只使用一本固定的教材是遠遠不夠用的”。

2018年，我在新西蘭采訪一個優秀的初中科技課老師，他的一番話給我留下了深刻的印象。“我覺得新西蘭的教學大綱是世界上最好的，因為它給了老師極大的自由空間。”這位老師來自英國，以前曾是一名足球俱樂部的技術教練，在新西蘭讀了教育學位后成為中學教師。在成為專職的科技課老師之前，他當過七年級一個班的班主任，在沒有課本的束縛之下，盡情發揮著自己的才智，幫助學生更好地理解數學。他給我舉了一個例子，大綱中要求七年級某學期有三周的數學課學習測量，他組織全班同學分組把校園各個角落量了個遍，回到教室后大家把數據匯總起來，使用電腦軟件把校園進行了復原。最終，他的班級在學期末的測評中，整體成績增幅高出了同年級其他班一倍之多。

而另一方面，新西蘭數學教育的有效性也飽受各方質疑。

新西蘭教學大綱涵蓋一年級到十三年級的基礎教育全學段教學內容。它將教學階段共分為八個級別，每個級別對英語、數學、藝術、自然科學、社會科學、體育等科目的教學目標進行逐個描述。考慮到學生的個體差異，這八個級別分別跨越不同年級，比如級別一覆蓋到一至三年級、級別二覆蓋到二至六年級、級別三覆蓋四至八年級等等。

新西蘭教學大綱中數學部分從第一級別開始，就分為了數字與代數、幾何與測量、統計學三個門類。即便是面向一年級小學生，它也明顯地體現出對于過程的重視，比如會用到“交流與解釋”“翻譯描述”“調查情況”等詞匯，這也大大弱化了新西蘭對于統一考試的重視程度。

新西蘭小學低年級沒有任何結構化的考試形式，每個學校三年級以上會有選擇性地參加一些統一考試，但也不會作為評判的主要標準，因此也不會有排名，再加上沒有課本，家長和社會公眾想了解學校整體的教學進度和質量并不容易。

很多人把經濟合作與發展組織每三年組織一次的PISA（Programfor International Student Assessment）國際考試作為評價標準，在這個面向各國15歲學生的標準化考試中，新西蘭近幾年表現不佳。2018年，新西蘭學生的數學考試成績排在37個國家中的第22位，引起了國內輿論強烈的批評。在那次考試中，數學排在第一位的是中國，但是僅有北京、上海、江蘇和浙江四個省市作為代表參加。

作為大綱的編寫者和數學教育專家，萊特對PISA考試的結果持有一分為二的態度：“它說明我們在教學中存在一些問題，比如對于運算等基礎知識的掌握，這跟我們設立大綱的初衷是背道而馳的。大綱的靈活性讓教師們都非常重視數學的應用能力，會設置很多場景來學習數學，但對于基本概念的要求，我認為是缺失的。這也是為什么今年我們要重新修訂大綱，我們希望能將學習的目標更明確化，更有目標性。”

但萊特并不認為PISA的結果意味著新西蘭數學教育的失敗。“首先，新西蘭提供的是全國普遍性的樣本。而且新西蘭一向不重視考試，所以不會對此做針對性的準備。很多能力是無法在統一的筆試過程中檢驗出來的，比如我們認為團隊合作解決問題的能力很重要。”

雖然新西蘭少有公開的考試，但老師對學生數學能力的評估卻時時刻刻以察覺不到的方式進行著。

我曾經參觀過惠靈頓一所名叫埃姆斯伯里的創新型學校，它們教學樓里班級之間不設圍墻的教學環境非常有特色。在各個角落里，總是有很多孩子或者圍著老師，或者自己進行著各種討論和小組項目。

五年級的一個班級正在數學課上學習分數乘法。老師提出了一個問題：2/3+3/4的結果是多少？有的學生脫口而出：5/7。老師不動聲色，接著問道：“你怎么向我證明這個答案是正確的？”接著，她安排學生們組成各個小組，進行分組討論，“5/7到底對不對？如果不對的話，你認為答案應該是什么？”

分數是新西蘭小學階段數學的一大難題。在起步階段，老師經常使用比薩教具來幫助學生理解抽象的分數，于是有的小組迅速開始在白板上畫起了比薩圖。2/3個比薩，加上3/4個比薩，兩部分都超過了一個比薩的一半，加起來肯定大于1，所以5/7是錯的。

但2/3+3/4究竟該怎么算呢？老師沒有教學生使用最小公倍數對分母進行通分的方法，想得出結果全憑自己摸索。有的小組開始抓耳撓腮起來，有的小組陷入激烈的互相否定之中。老師在各個小組中間穿行，多數時候只是在一旁默默地聽，一堂課就在沒有主導的討論中過去了大半。

針對這樣的課堂教學模式，該校副校長德梅拉扎·托普告訴我，老師正在觀察每一個小組是否在進行“富有產出的掙扎”過程。“富有產出的掙扎”指的是有助于解決問題的嘗試和犯錯的過程。“孩子們如果是嘗試著這樣或那樣做，發現都不對；或者小組里有個人說，我們應該這么做，但另一個人反駁說，不對，然后講出理由，這些情況都說明他們沒有迷失方向，即便他們還沒有找出正確的路線，但至少他們辨別出什么是錯的，而且在進行著改變。”托普說，這是一種皮亞杰所說的“非平衡狀態”，適度的挑戰性會在一開始為學生帶來焦慮感，但他們通過正確道路上的探索，很快就會期待通過問題的解決來獲得成就感。在這種情況下，老師不會介入，避免對他們的思路進行干擾。

但老師如果看到小組進行的“無產出的掙扎”，它無助于問題的解決，老師應該迅速地加入討論，“提問、啟發，甚至是直接告訴他們，讓他們回到正確的軌道上，能轉換成‘產出掙扎’模式”。比如老師看到某個小組無從下手，提出了一個較為簡單的問題，如何計算1/3+1/2？當在一塊比薩上將需要計算的面積都涂上陰影之后，孩子們想到，可以用1減去最后那塊沒有陰影的部分。

一堂課下來，老師講授知識點的時間非常有限，但托普卻認為這是更高效的學習模式。“我們特別看重數學的小組討論和互相學習。”她說道，“如果老師全程參與進去，就會變成專家式的‘你說我聽’的過程。聽的效率是很低的，因為往往是說話的那個人最聚精會神。而當孩子們自主討論時，他們的參與感會非常強，形成的也是一個平等的會話模式，從別人那學習，相互幫助理解新的問題，并且會在合作中獲得新的發現。”

而組織好小組討論，也是一個成功數學老師的必備技能。“課講得深入、善于啟發等等，這都不能代表全部，傾聽和觀察同樣也非常重要。老師觀察著每個小組的討論，記錄下來每個孩子究竟理解了什么，在理解哪些概念上有困難，哪個孩子是需要在小組討論時專門進行單獨談話的，‘我發現你在這個問題上有困難，不如我們試試先做這個練習，它對你有幫助’。”

“做好記錄，追蹤每一個孩子的學習進展是老師在教數學時特別重要的一項工作。”托普說，“這意味著老師并不需要總是給孩子做測驗，通過每天的傾聽和觀察來了解孩子會了什么、不會什么。”

全科教師教數學

新西蘭數學教育與中國的另一個顯著的不同，是一般沒有專職的數學老師，小學和初中往往都采用一個班主任教全部科目的形式。

取得教師資質的全科老師，往往學的是綜合的教育學學科，而非數學專業背景，但全科老師模式依然被西方很多國家認為是更科學的。

王井健是奧克蘭花園小學高年級班主任。他的本科就讀于中山大學歷史系，但這并不妨礙他順利執教五、六年級的數學。“新西蘭的教育大綱非常適合全科老師的教學。”王井健告訴我，“全科老師有兩個最明顯的優勢。一是熟悉每一個學生的個性和學習特征，比數學單科老師更能安排適合每個學生的學習任務；二是更容易進行整體性教學，數學不一定只在數學課上，學習的方法會有很多。”

王井健說道，在他的班級里，每星期純粹學習數學的時間可能只有60～90分鐘，“其余都是綜合性的學習”。比如學習分數，藝術課、音樂課、英語課都可以做出相應的安排。除此之外，學校每個學期都會制定一個主題，各個班級會依照這個主題制定小組項目，將學生本學期各科目的收獲都有所囊括。比如，上學期學校的主題是“文化”，班上會圍繞著什么是文化、不同民族有哪些文化、文化有怎樣的表現等等展開活動。“我們的項目是要制作一種能夠代表年級文化的食物，這個就涉及很多方面了。”王井健說，選擇食物就要調查每個人的口味，會用到上學期所學的統計學概念，“高年級使用百分比，低年級會計算人數。在制作食物時會學習怎樣通過食譜配比來調整具體的食材用量。”

但對一名新手全科老師來說，剛步入課堂一定會經歷非常懵懂的狀態。一位學校的數學教研負責人告訴我，她剛剛入職的前兩年，幾乎都不知道自己在教些什么。“會有一個有經驗的老師來當我的導師，但沒有課本確實挺難掌握方向的。”兩年之后，她選擇去倫敦進修，經過了多個學校的歷練，才終于獲得了教學的自信。

長灣小學副校長帕特里克每周都會在學校里為老師組織數學工作坊。“我們的工作坊首先是講教學框架的，接著是關于各科目的具體指導。對于新老師來說，我的建議是不妨使用一些教材作為參考。學校在老師入職培訓中發揮著非常重要的作用，但光靠一個學校的力量還是不夠的。”

美國數學教育研究教授保羅·科布在研究系統如何促進數學教育質量時曾指出，很多國家的數學教學大綱大約都會以每十年更新一次的頻率往前推進，“編寫完，發現失敗了，于是重新書寫，結果又失敗了，循環往復。問題其實并不出現在大綱制定上，而是國家的教學研究機構，它們沒有花足夠的力氣把大綱向一線教師做出解釋，從而讓大綱成為有實踐意義的參照”。

科布在對美國小學教師進行實證研究后指出，一個成功的大綱，應該讓教師在課堂實踐中能夠向學生清晰地陳述出學習目標，具備讓學生實現這些目標的指導性實踐能力，同時擁有足夠的資源，用持續性、有針對性的專業技術來指導課堂教學。同時，教師應該成長在以學校為單位的學習環境中，具有有效的測評手段獲知哪些學生存在學習困難，并能夠使用針對性的教育資源來幫助這些學生。

澳大利亞數學教師培訓專家羅賓·懷特現在是新西蘭一家教育機構的負責人。三年前，他受新西蘭教育部之邀，來新西蘭幫助教師提高數學教學能力，他以保羅·科布的實證研究為參考，以每年12次的工作坊形式為參與培訓的數學老師們提供教學指導。“我們的培訓有三個目標：讓老師具備連貫的教學能力，形成集體合作的教研網絡，同時幫助學校創建一個數學教研領導團隊，每個學校的校長是幫助老師提高教學能力的最核心要素。”

“我的首要任務是讓老師充分理解大綱。”懷特說，“即便是有15年或者20年教齡的老師，都可能存在不夠了解大綱的問題。當我讓他們去把大綱里的每個字都說出來時，他們會拍著腦門說：‘天哪，我竟然沒有看到大綱中在這里寫著要提高推斷能力！’這是非常常見的問題，因為大綱可能在書寫的時候不夠清晰直白。”圍繞著大綱，12次的工作坊培訓每期都會有一個非常實用的主題，包括如何在不同的語境和語言能力下提高學生的數學認知能力、如何評估學生在每個學習階段的能力水平、如何在鼓勵學生自主探索時擁有課堂進度的控制能力、如何掌握提問的技術從而激活學生的思考和潛能的發揮、如何結合日常生活提高學生的計算能力等等。

2001年，美國數學專家基爾帕克里特和斯瓦福特等人出版了《加起來：幫助孩子學習數學》一書，書中提出了體現學生數學能力的五種技能，包括流利度、理解、解決問題、推理和富有成效的處置能力，它們成為世界很多國家進行課程設置時的重要參考。“這五個能力是相互聯系、相互纏繞的。亞洲國家強調基礎運算能力，澳大利亞大綱把‘有成效的處置問題能力’放在突出重要的位置，這些都是不正確的。”懷特說道，“我希望新西蘭課程大綱的更新，能將數學能力的這幾個方面做出清晰的表達，這樣老師們才能在日常教學中把培養應用、建模等能力設計進去。”

該如何衡量新加坡的數學教學水平呢？教學百花齊放，并且沒有看得見摸得著的能力測試，很難評說。但我想至少有一點能窺見新西蘭數學教育的一個側面。我在新西蘭一個教育論壇搜索信息時，看到一篇文章被推薦閱讀，推薦者說，作者使用的統計學方法非常有創見。我打開一看，有點吃驚。這是一篇醫護工作者寫的護理學主題的論文，用數學方法統計患者接受治療的頻次和強度與康復情況的關系。能夠把數學知識應用到并不直接相關的自然科學主題之下，或許這就是萊特期待的新西蘭學生該具備的數學能力。