愛爾特希點(diǎn)集

文／于弢整理

數(shù)學(xué)小故事

匈牙利數(shù)學(xué)家愛爾特希（P．Erdos，1913-1996）提出過這樣一個(gè)問題：在平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，任意三個(gè)點(diǎn)都能構(gòu)成等腰三角形，這樣的點(diǎn)集存在嗎？

數(shù)學(xué)家們的研究成果如下：

當(dāng)n=3時(shí)，是顯然存在的。

當(dāng)n=4時(shí)，有且僅有三種結(jié)構(gòu)：任一等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)及它的外心（注：“外心”是指三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）；任一菱形（注：“菱形”是四邊相等的四邊形）的四個(gè)頂點(diǎn)；正五邊形的任意四個(gè)頂點(diǎn)。

我們來簡單解釋一下。第一種結(jié)構(gòu)如圖1，在△ABC中，AB=AC，D為△ABC的外心。因?yàn)镈為△ABC的外心，所以BD=AD=CD。取A、B、C、D四點(diǎn)中的任意三點(diǎn)可構(gòu)成4個(gè)三角形，分別為△ABC、△ABD、△ACD、△BDC，均為等腰三角形。第二種結(jié)構(gòu)如圖2，易于理解，不再贅述。第三種結(jié)構(gòu)如圖3，A、B、C、D、E是正五邊形的5個(gè)頂點(diǎn)，取其中任意4個(gè)頂點(diǎn)，如點(diǎn)A、B、C、D，可證明△ABC、△ABD、△ACD、△BDC均為等腰三角形。

圖1

圖2

圖3

當(dāng)n=5和n=6時(shí)，也可以找到滿足條件的點(diǎn)集。但當(dāng)n≥7時(shí)，這樣的點(diǎn)集便不存在了。人們將具有這樣性質(zhì)的n個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集稱為愛爾特希點(diǎn)集。

同學(xué)們，你能畫出n=5時(shí)的愛爾特希點(diǎn)集嗎？試一試吧。