由一道中考題說起

文／吳凡

圓是初中數學幾何學習中的重要圖形之一，也是中考的考查熱點。本文由一道中考真題說起，深入剖析和總結歸納，以幫助同學們加深對圓的理解和掌握。

例題（2022·江蘇南京）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D、E在BC上，BD=CE。過A、D、E三點作⊙O，連接AO并延長，交BC于點F。

圖1

（1）求證：AF⊥BC；

（2）若AB=10，BC=12，BD=2，求⊙O的半徑長。

一、分析探究

本題考查三角形和圓的相關知識，涉及全等三角形的性質及其判定、勾股定理、垂直平分線的定義、等腰三角形“三線合一”、軸對稱圖形等知識。解題的關鍵是要弄清已知條件是哪些，隱含條件有哪些，我們可以運用哪些定義或定理來進行證明和求解。我們先來剖析題目中的條件（如圖2）。

圖2

二、解法列舉

第（1）問是證明兩條線的垂直關系，

∵AB=AC，∴∠B=∠C。

證法一（三次全等）：如圖3，連接AD、AE、DO、EO。

圖3

在△ABD和△ACE中，

∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴AD=AE。

在△AOD和△AOE中，

∵AD=AE，AO=AO，OD=OE，

∴△AOD≌△AOE（SSS）。

∴∠DAO=∠EAO。

在△AFD和△AFE中，

∵AD=AE，∠DAF=∠EAF，AF=AF，

∴△AFD≌△AFE（SAS）。

∴∠DFA=∠EFA。

又∵∠DFA+∠EFA=180°，

∴∠DFA=∠EFA=90°。∴AF⊥BC。

證法二（三次全等）：如圖3，連接AD、AE、DO、EO。

由證法一可證△ABD≌△ACE，△AOD≌△AOE，∴AD=AE，∠DAO=∠EAO。

∴∠FOD=∠FOE。

在△OFD和△OFE中，

∵OD=OE，∠FOD=∠FOE，OF=OF，

∴△OFD≌△OFE（SAS）。∴∠DFA=∠EFA。

又∵∠DFA+∠EFA=180°，

∴∠DFA=∠EFA=90°。∴AF⊥BC。

證法三（兩次全等+等腰三角形“三線合一”）：如圖3，連接AD、AE、DO、EO。

由證法一可證△ABD≌△ACE，△AOD≌△AOE，∴AD=AE，∠AOD=∠AOE。

∴△ADE是等腰三角形。

又∵∠DAO=∠EAO，

∴AF⊥DE，即AF⊥BC。

證法四（一次全等+垂直平分線的定義）：如圖3，連接AD、AE、DO、EO。

由證法一可證△ABD≌△ACE，∴AD=AE。

又∵OD=OE，∴AO垂直平分DE。

∴AF⊥BC。

證法五（一次全等+垂直平分線的定義）：如圖3，連接AD、AE、DO、EO。

∵BD=CE，∴BD+DE=CE+DE，即BE=CD。

在△ABE和△ACD中，

∵AB=AC，∠B=∠C，BE=CD，

∴△ABE≌△ACD（SAS）。∴AD=AE。

又∵OD=OE，∴AO垂直平分DE。

∴AF⊥BC。

證法六（兩次全等+等腰三角形三線合一）：如圖4，延長AF交⊙O于點M，連接AD、AE、MD、ME。

圖4

由證法一可證△ABD≌△ACE，∴AD=AE。

∵AM是⊙O的直徑，

∴∠ADM=∠AEM=90°。

在Rt△ADM和Rt△AEM中，

∵AD=AE，AM=AM，

∴Rt△ADM≌Rt△AEM（HL）。

∴∠DAM=∠EAM。

∵AD=AE，∴△ADE是等腰三角形。

又∵∠DAF=∠EAF，

∴AF⊥DE，即AF⊥BC。

證法七（一次全等+圓的相關知識+等腰三角形“三線合一”）：如圖4，延長AF交⊙O于M點，連接AD、AE、MD、ME。

由證法一可證△ABD≌△ACE，

∴AD=AE。

∴△ADE是等腰三角形

∵AM是⊙O的直徑，

∴∠DAM=∠EAM。

∵AD=AE，∠DAF=∠EAF，

∴AF⊥DE，即AF⊥BC。

第（2）問是運用勾股定理或者相似來建立方程求圓的半徑，請看解法：

解法一（勾股定理）：如圖3，在△ABC中，

∵AB=10，BC=12，∴BF=6。

在Rt△ABF中，∠AFB=90°，

設⊙O的半徑為r，則在Rt△DOF中，

DF=BF-BD=6-2=4，OF=AF-AO=8-r。

∴DF2+OF2=DO2，

即42+（8-r）2=r2，解得r=5。

解法二（勾股定理）：如圖4，延長AF交⊙O于M點，連接AD、DM。

由解法一可得AF=8。

在Rt△ADF中，∠AFD=90°，

設⊙O的半徑為r，

∵AM是⊙O的直徑，∴∠ADM=90°，

∴AM2-AD2=FD2+MF2，

即（2r）2-（4 5）2=42+（2r-8）2，解得r=5。

此類問題在圓的證明、計算求解中屬于常見問題，同學們需要先看懂圖形，會識圖，找出其中的基本圖形，結合題目中的已知條件，進行知識串聯，挖掘出隱藏條件，再分析所要證明的結論或所要求解的線段長度，思考證明該結論或要求解的未知量需要哪些角度，最后借助相關定理、定義、判定、性質等知識解決問題。