與“圖形的密鋪”相會

文／劉佳

如圖1，用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，使圖形之間沒有空隙，也沒有重疊地鋪成一片，叫作圖形的密鋪。這樣的圖案能給我們一種美的享受。

圖1

作為初中生，我們在感受這些美麗圖案的同時，要學會從中發現、研究一些數學問題。例如，這些美麗的圖形都是由哪些單獨的圖形進行拼接而成的呢？為什么這些圖形能進行密鋪？是不是所有的圖形都能進行密鋪？接下來，我們就去“會一會”這些美麗的圖形。

一、用邊長相同的同一正n邊形密鋪

問題1現實生活中，我們經常會看到用正三角形、正方形、正六邊形地磚鋪設地面的現象，它們能鑲嵌成一個平面，應滿足什么條件？全等的正五邊形能否進行密鋪？

【思路分析】因為是相同的圖形，所以在拼接的時候只要把相同的邊靠在一起即可，是不是只要考慮這些就可以了呢？其實，我們還需要考慮在每一個頂點處若干個正三角形的內角之和或者正方形的內角之和或正六邊形的內角之和等于360°。

【設計方案】正三角形和正方形的密鋪很容易想象，因為有公共頂點的若干個正三角形或正方形的內角之和等于360°。正六邊形的每個內角是120°，因此，我們可以想象在每個頂點處有3個正六邊形的內角。

全等的正五邊形的每個內角是108°，而不是整數，所以正五邊形不能進行密鋪。

問題2哪種邊長相同的正多邊形地磚能夠密鋪地面？

【思路分析】如果使用同一種正多邊形，那么就要滿足在一個頂點周圍有整數個正多邊形的角圍成360°。

【設計方案】正n邊形的每個內角等于如果設在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，而這些角的和應為360°，所以有由此可以化為（n-2）（k-2）=4，所以n-2一定是4的因數。因為4的因數只有1、2、4，所以n-2=1或n-2=2或n-2=4，解得n=3或n=4或n=6。也就是說，相同的正多邊形作平面鑲嵌，只有三種情況能密鋪：正三角形、正四邊形和正六邊形。

二、用邊長相同的正多邊形組合密鋪

問題3用邊長相同的正三角形、正六邊形兩種地磚組合能夠密鋪地面嗎？

【思路分析】要使這兩種地磚組合能夠密鋪地面，就必須滿足：有公共頂點的若干個正三角形的內角與若干個正六邊形的內角的和等于360°。

【設計方案】假設在公共頂點處有m個正三角形和n個正六邊形，可得方程60°m+120°n=360°。這個二元一次方程的解必須是正整數，可解得

我們可以拼出如圖2所示的密鋪圖形。

圖2

問題4用邊長相同的正五邊形和正十邊形兩種地磚組合能夠密鋪地面嗎？

【思路分析】參照上面的方法，假設在公共頂點處有x個正五邊形和y個正十邊形，可得方程108°x+144°y=360°，這個二元一次方程的正整數解為但能否保證每個頂點處都能拼成360°呢？

【設計方案】對于正五邊形與正十邊形的組合，盡管其內角能夠圍繞一點拼成360°，但不能擴展到整個平面。如圖3，當在A、B兩點處密鋪時，點C處則無法實現密鋪。

圖3

問題5在邊長相同的正三角形、正方形、正六邊形地磚中，選擇哪些地磚組合能夠密鋪地面？（除去問題3中已經研究過的正三角形和正六邊形的組合）

【思路分析】這三種圖形組合，除了已經研究過的正三角形與正六邊形組合，還有正三角形與正方形組合，正方形與正六邊形組合，以及正三角形、正方形和正六邊形組合。

【設計方案】當邊長相同的正三角形與正方形地磚組合時，設在一個頂點周圍有m個正三角形的內角和n個正方形的內角，那么這些角的和應滿足60°m+90°n=360°，這個二元一次方程有正整數解，即

當邊長相同的正方形與正六邊形地磚組合時，設在一個頂點周圍有x個正方形的內角和y個正六邊形的內角，那么這些角的和應滿足90°x+120°y=360°，這個二元一次方程沒有正整數解，即邊長相同的正方形與正六邊形地磚組合無法密鋪。

當邊長相同的正三角形、正方形、正六邊形地磚組合時，設在一個頂點處有a個正三角形的內角、b個正方形的內角和c個正六邊形的內角，那么這些角的和應滿足條件60°a+90°b+120°c=360°，這個三元一次方程有正整數解，即