神奇的黃金三角形

文／孫杜衡

開普勒曾贊美“黃金分割”是幾何學(xué)中的“瑰寶”。黃金分割法最初由畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，即整段與較大分段之比等于較大分段與較小分段之比，數(shù)學(xué)史上稱為“中外比分割”。底邊與腰的比為黃金數(shù)的等腰三角形被人們譽(yù)為最美黃金三角形。下面，讓我們一起來感受黃金三角形的神奇吧。

黃金三角形分兩類，如圖1，一類是頂角為36°，兩個(gè)底角為72°的三角形，其底邊與腰之比等于；另一類是頂角為108°，兩個(gè)底角為36°，其腰與底邊之比等于，我們分別稱它們?yōu)椤包S金一號(hào)”和“黃金二號(hào)”。

圖1

我們只要能抓住黃金三角形“角”和“邊”的特征，就容易識(shí)別它，然后用數(shù)學(xué)工具作出它，并能運(yùn)用它解決數(shù)學(xué)題。

作一作：不用量角器，使用直尺和圓規(guī)，你可以作出黃金三角形嗎？

沒有量角器，我們只能從“邊”去思考，比較直接的思路是構(gòu)造出兩條長度之比為的線段，如果能聯(lián)想到在數(shù)軸上可以表示出的點(diǎn)，那么，問題就迎刃而解了，如圖2。

圖2

其實(shí)，解決問題的關(guān)鍵是找出一條線段上的黃金分割點(diǎn)。如圖3，設(shè)線段AC=1，過點(diǎn)C作CD⊥AC，使CD=AC，連接AD，以點(diǎn)D為圓心，DC的長為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)E，以點(diǎn)A為圓心，AE長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)B，點(diǎn)B就是線段AC的黃金分割點(diǎn)。

圖3

歐幾里得曾經(jīng)介紹過一種作法。如圖4，設(shè)正方形邊長為1，E為AC中點(diǎn)，連接BE，延長CA到F，使EF=EB，以FA為邊長做正方形FAHG，點(diǎn)H是線段AB的黃金分割點(diǎn)。只要找到了線段的黃金分割點(diǎn)，就可以輕而易舉地畫出黃金三角形。

圖4

分一分：“黃金一號(hào)”的72°角與“黃金二號(hào)”的108°角是互補(bǔ)關(guān)系，這兩個(gè)圖形可以拼成一個(gè)大的黃金三角形，如圖5，那么一個(gè)黃金三角形是否可以分割成若干個(gè)小的黃金三角形？如圖6，在△ABC中，∠A=36°，∠ACB=72°，CD是∠ACB的平分線，試找出圖中所有的黃金三角形，并說明理由。

圖5

圖6

圖6中有3個(gè)明顯的黃金三角形，但我們?nèi)绻鞒觥螧的平分線BE，連接DE，如圖7，這時(shí)就能找出5個(gè)“黃金一號(hào)”：△ADE、△CBD、△BCE、△COE、△BOD；4個(gè)“黃金二號(hào)”：△DOE、△COB、△CED、△BDE。再作出△ADE兩個(gè)底角的平分線，重復(fù)上述的操作，最上面總有一個(gè)黃金三角形等著我們?nèi)ゲ僮鳎缓蟮玫綗o窮個(gè)黃金三角形，就像一條黃金鏈一樣，十分神奇。如果我們再把OF、OG連接起來，在出現(xiàn)倒置的黃金三角形△OFG時(shí)，還能清晰地發(fā)現(xiàn)“五角星”，如圖8，每個(gè)“五角星”是由5個(gè)“黃金一號(hào)”和5個(gè)重疊的“黃金二號(hào)”組成的。

圖7

圖8

黃金三角形在古代中東和中世紀(jì)西方建筑中經(jīng)常出現(xiàn)，如古埃及的金字塔、埃菲爾鐵塔等。現(xiàn)代建筑中的黃金三角形也顯示出和諧、簡潔之美，如蘇州拙政園中的亭臺(tái)樓閣，蘇州大學(xué)的鐘樓、方塔以及貝聿銘設(shè)計(jì)的蘇州博物館新館。