第52屆國際物理奧林匹克競賽實驗試題1的介紹與解答

李文華,王 槿,惠王偉,劉麗颯,宋 峰,孔勇發

(南開大學 a.物理科學學院; b.基礎物理國家級實驗教學示范中心，天津 300071)

2022年7月10-17日，南開大學物理科學學院率領中國代表隊參加了由瑞士主辦的第52屆國際物理奧林匹克競賽(International Physics Olympiad，IPhO).參賽的5名中學生全部獲得金牌，并取得團體第一、總分第一、實驗總分第一和理論總分第一的優異成績.比賽采取線上方式，其中實驗考試首次采用全線上遠程虛擬考試.實驗試題有2道，分別為行星(Planet)和柱狀二極管(Cylindrical diode)[1].實驗試題總分20分，試題1計12分，試題2計8分.本文介紹了實驗試題1的命題并給出解答，并對題目結構及學生的答題情況做簡要分析.

1 試 題

你發現自己在陌生的行星上，卻不知道如何到達的.要做的第一件事是更多地了解你所在的這顆行星.你還記得伽利略是如何用落球做實驗的，并受此啟發建造了高度為H=2 000 m的理想豎直的塔(圖1).有了這座塔，便可以從塔上任意高度h(球的底部到地面的高度)拋球.由于受所能獲得的材料限制，因此只能拋下半徑5 cm≤r≤50 cm，密度0.1 g/cm3≤ρ≤10 g/cm3的球.

圖1 藝術家對本題的夸張描繪

任何時候都從靜止開始釋放球，并能夠測量球下落到地面所經歷的時間t，以及球的落點位置距其拋點間的水平距離s.

在開始實驗前，對這顆行星做了以下觀察:

1)根據恒星的運動，發現自己正處于該行星赤道的某處.

2)這顆行星有大氣層，但大氣密度小,可以忽略大氣浮力.

3)地表溫度為T0=20 ℃.

4)似乎有一股沿著赤道吹的風，在整個塔的高度上風速均勻，忽略塔對風速的影響.

1.1 仿真軟件介紹

在已知球拋下的高度h、球半徑r和密度ρ時，命令行程序模擬球的下落時間t和球落點位置偏離塔基的距離s的測量.在相應的提示后通過鍵盤可輸入對應參量的值，并通過按回車鍵(Enter鍵)進行確認.

開始操作前，在界面提示時輸入以下授權密碼:12345678.888.如果輸入密碼錯誤，程序將進入測試模式，此時需要重啟程序.

軟件程序單個模擬周期的典型輸出界面如圖2所示.

圖2 軟件程序運行的典型界面

首先輸入以m為單位的高度h(0～2 000之間的數),然后輸入以cm為單位的球半徑r(5～50之間的數)，最后輸入以g/cm3為單位的球密度ρ(0.1～10.0之間的數).每次輸入都要用回車鍵(Enter)確認.程序將輸出以s為單位的t和以m為單位的s.

然后程序進行循環，重復上述過程.輸入超出實驗范圍的值，程序界面會給出報錯提示“Value Out Of Bounds”,然后返回到回答錯誤的提示界面.

輸入的高度h四舍五入到1 m，r四舍五入到1 cm，ρ四舍五入到0.01 g/cm3(嘗試輸入更精確的數是毫無意義的).

實驗結果有隨機誤差，以模擬實際實驗操作中的有限精度.參賽選手可以通過觀察輸出數值的波動得到誤差的大小.

任何時候需要退出程序，可按Ctrl+C鍵.

1.2 常量列表及有用的關系式

1)引力常量G=6.67×10-11m3/(kg·s2).

2)理想氣體常量R=8.314 J/(mol·K).

3)0 ℃=273.15 K.

4)橫截面積為A、速度為v的球在密度為ρa的大氣中受到的大氣阻力為

Fd=0.24Aρav2.

(1)

5)絕熱大氣的密度分布為

(2)

式中，γ為絕熱系數，μ為大氣的摩爾質量，g為自由落體加速度，h為距離地面的高度.此密度分布到大氣頂部(該處溫度T=0 K)均適用.

1.3 試題

1.3.1 A部分：行星的屬性(3分)

A.1 做適合的測量，并在答題卡中給定區域畫出合適的圖，確定該行星上的自由落體加速度g.給出結果的不確定度分析.(2.0分)

A.2 在行星上，從塔出發沿赤道向遠方行走，發現你能看到塔的最大距離為L=230 km(你與塔頂的直線距離).該星球的半徑Rp是多少?可假設你的高度遠小于塔的高度.(0.5分)

A.3 估測該行星質量M，并給出結果的不確定度分析.哪一物理因素對你估算結果的準確性影響最大?在答題卡中勾選此物理因素(表1).(0.5分)

表1 答題卡上所列出的影響因素

1.3.2 B部分:大氣的屬性(6.5分)

B.1 做適合的測量，并在答題卡相應區域繪制適當的圖，確定行星表面的風速u.給出結果的不確定度分析.(2.0分)

B.2 通過實驗得到額外的數據，或者重新使用以前的數據，并在答題卡相應區域繪制適當的圖，確定行星表面的大氣密度ρa0.給出結果的不確定度分析.(1.0分)

B.3 假設大氣是絕熱的，絕熱系數γ=1.4，做適合的測量，在答題卡相應區域畫出合適的圖，確定大氣層的厚度H0.給出結果的不確定度分析.(3.0分)

B.4 計算大氣的摩爾質量μ和塔底部的氣壓p0.給出結果的不確定度分析.(0.5分)

1.3.3 C部分：1 d的時長(2.5分)

C.1 做適合的測量，在答題卡相應區域畫出合適的圖，確定該行星上1 d的時長Tp.給出結果的不確定度分析.

2 試題解答

2.1 A部分：行星的屬性

設置r=50 cm，ρ=10 g/cm3，實驗數據如表2所示，做t2-h關系圖如圖3所示.

表2 不同高度釋放大而重的球的落地時間

圖3 t2-h關系曲線

A.2題中，在沿赤道遠離塔的方向，最遠可看到塔尖的距離L=230 km，可以構畫出圖4所示的幾何關系，再利用勾股定理，可得

圖4 遠處望向塔尖的距離關系

得到行星半徑為

A.3題可根據行星表面物體所受萬有引力約等于重力的關系來估算行星的質量.此題建立在A.1中已求出重力加速度g和A.2中已求出行星半徑Rp的基礎上，得到行星的質量為

由誤差傳遞可得到行星質量的不確定度為

在此計算中，主要用到星體的重力加速度g和半徑Rp，5個選項中，只有第4項星體的自轉產生的離心力對自由落體模型中的重力加速度造成影響，對行星質量估算造成的影響最大.

2.2 B部分：大氣屬性

2.2.1 B.1：求解風速

此部分需要求解風速的大小,因此不能再忽略大氣的作用.而由式(1)可得，大氣阻力(或風速)與物體的受風面積A和速度v2成正比關系，此時需通過設置落球的大小和密度，使其所受重力與大氣阻力相當，即考慮利用小而輕的球從塔的不同高度落下的情況.在大氣阻力和重力共同作用下，根據式(1)，球在下落初期做變加速運動，一定時間后達到恒定速度而勻速運動，此時水平方向速度即是風速.

設置r=5 cm，ρ=0.1 g/cm3，得到表3所示數據.

表3 不同高度輕球下落時間和水平位移的測量數據

根據表3中的數據做小輕球落地的水平位移s與落地時間t的關系曲線，如圖5所示.若將小球達到恒定速度前的位移表示為s0，則總位移可表示為

圖5 水平位移s與落地時間t的關系曲線

s=s0+u(t-t0)

.

(3)

從圖5中可以看到，數據在t=5.0 s左右為速度變化的拐點，對拐點之后的數據進行線性擬合，得到斜率即為風速u=1.31 m/s，不確定度Δu=0.04 m/s.

2.2.2 B.2：地表大氣的密度

相比于B.1部分，小輕球在豎直方向存在：

h=h0+vt0(t-t0),

(4)

利用B.1部分的實驗數據，做h與t的變化曲線如圖6所示，對變化恒定部分進行線性擬合,得到速度vt0=27 m/s，不確定度Δvt0=2 m/s.

圖6 行星表面小輕球落地時間隨釋放高度的變化

小球達到恒定速度時滿足

(5)

(6)

此時，大氣密度為

不確定度為

2.2.3 B.3：大氣層的厚度

由式(2)可知，當大氣的絕熱系數γ=1.4時，可以得到

(7)

(8)

此時采集到的實驗數據如表4所示，進一步處理可以得到表5的分布結果.

表4 在不同高度釋放小輕球，等間隔落下3次的實驗數據

表5 不同高度的大氣密度值分布

圖7 大氣密度隨高度的變化

2.2.4 B.4：大氣的摩爾質量和塔底的氣壓

由式(2)可以得到：

則大氣的摩爾質量為

不確定度為

根據理想氣體定律，塔底的氣壓為

不確定度為

2.3 C部分：1 d的時長

行星的1 d時長等于其自轉周期，需要考慮行星的自轉運動.根據題目所給信息可以得到，題目中的行星為類地行星，類地行星的自轉周期主要受到其所在星系的恒星、自身衛星以及由星體間的萬有引力造成的潮汐力的影響[2].答案給出的一種思路為通過求解行星的自轉角速度ω來得到其自轉周期.

由星體自轉引起的離心力和科里奧利力會影響落體小球的運動軌跡.由于塔的高度H遠小于行星半徑Rp，離心力幾乎與重力作用重合.科里奧利力作用于小球上，使其產生加速度為

acor=-2ω×v,

(9)

此加速度方向垂直于小球的速度方向和行星的自轉軸方向，且沿赤道方向隨著下落速度線性增大.則落體小球在水平方向上的加速度可以表示為

ax=2ωvy+adrag.

(10)

(11)

表6 科里奧利力影響下球下落高度與水平位移數據

圖8 科里奧利力作用下落球的水平位移隨下落高度的變化

擬合得到直線的斜率為

不確定度為Δk=0.11×10-5m-1/2.行星自轉周期即1 d的時長為

不確定度為

3 分析討論

3.1 題目分析

實驗試題1考查內容的物理知識背景為力學中較為經典的自由落體和萬有引力定律，相對難度較低.虛擬軟件程序沒有采用可視化的場景界面，而是通過黑盒子界面進行物理模型推演和計算.題目的難點在于物理模型的構建，即如何選擇合理的實驗參量以達到理論近似的實驗條件.比如風速恒定的情況下，在A.1和C.1部分，需要構造忽略大氣阻力的實驗條件，選擇大而重的球；而在B.1～B.3部分，需要選擇小而輕的球，構造受大氣阻力影響較大的實驗條件.實驗過程中需要采集比較多的數據,通過作圖法得到相應的物理量，并估算不確定度，對大部分參賽選手來說比較費時且需要細心設計.

A部分是解決后續題目的前提，如圖9所示，A.1問求得的自由落體加速度g在A.3，B.2以及C.1問中均被用到；B.2在求得地表大氣密度后，才能在B.3中用于求解大氣厚度H0，而求得H0后，才能在B.4中繼續求解得到大氣摩爾質量μ和塔底氣壓p0.這使得題目之間有較大的連續性，如果前面題目數據誤差較大，會對后續題目的解答造成影響.這也可從圖9中所有獲獎選手的各題平均得分率的變化趨勢中看出，B.2～B.4的得分率都很低.除了自由落體和萬有引力定律，試題還考查了科里奧利力.科里奧利力的知識點并未在題設中給出，而是在答題卡的A.3問中的題目選項中簡單介紹.大部分選手對此物理概念了解不深，導致C.1總體得分較低.

圖9 試題1中各題目的聯系及所有獲獎選手與中國隊選手各題平均得分率的對比

3.2 答題情況分析

所有獲獎選手(優秀獎以上)約占總參賽人數(368人)的82%.其總分的平均得分率人數占比分布如圖10所示，得分率在60%以上有23人，約占總人數的6.25%.中國隊選手的總得分率均在90%以上，從圖9中可以看到，中國隊選手只有在A.3問上得分率較低，為68%.此問中大部分中國隊選手選錯了影響因素而失掉0.2分，其他小題平均得分率均在90%以上.

圖10 試題1總分得分率區間的人數占比

4 結束語

本屆國際物理奧林匹克競賽實驗試題首次采用線上虛擬實驗的形式，一方面弱化了對選手實驗動手能力的考查，另一方面加大了對選手實驗設計思維和數據處理能力的考查.本屆物理奧賽的虛擬實驗模式對基礎物理實驗教學有一定的借鑒作用.

致謝：感謝南開大學本科生李建勛和郭豐在試卷翻譯過程中的協助.感謝參與本次奧賽培訓、選拔與遠程考試的各位老師！感謝中國科學技術協會、中國物理學會、天津市物理學會等單位和部門對賽事的支持！