混凝土圓形構(gòu)件等效矩形應力參數(shù)的計算分析

章勝平，陳 旭，楚秀娟

(1.昆明理工大學 建筑工程學院，云南 昆明 650504；2.昆明學院 建筑工程學院, 云南 昆明 650214)

0 引 言

鋼筋混凝土圓形截面受壓構(gòu)件常用于橋墩、鉆孔灌注樁等結(jié)構(gòu)，設計中需要計算其壓彎承載力[1-2]。GB 50010—2010《混凝土結(jié)構(gòu)設計規(guī)范》(后簡稱《規(guī)范》)等相關規(guī)范中壓彎承載力計算均采用混凝土矩形受壓區(qū)等效矩形應力模型。在美國ACI協(xié)會規(guī)范中，等效矩形應力模型參數(shù)基于實驗數(shù)據(jù)確定[3]。L.F.KHAN等[4]對非矩形受壓區(qū)參數(shù)進行了實驗研究。等效矩形應力模型參數(shù)與材料性能有關，一種新材料出現(xiàn)后需做新的實驗獲得新的參數(shù)，因此針對不同材料(如高強、高性能混凝土)，大量實驗研究相繼開展，H.C.MERTOLD等[5]基于21個試件提出了一套適用于高強混凝土的參數(shù)；J.PENG等[6]基于實驗分析了應變梯度對參數(shù)的影響。盡管如此，確定參數(shù)時實驗數(shù)據(jù)還是無法充分。

因此，等效矩形應力模型參數(shù)基于材料本構(gòu)關系理論模型，以理論推導方式確定更為合理[7]。M.K.AL-KAMAL[8]基于高強混凝土本構(gòu)特性提出等效三角形應力理論模型；F.YUAN等[9]推導了FRP約束混凝土參數(shù)理論模型。在《規(guī)范》等效矩形應力模型中，對C50及以下強度等級混凝土，參數(shù)α1和β1取為定值，其推導過程中有兩個重要假定。其一，假定截面為矩形。《規(guī)范》指出參數(shù)β1用于圓形截面會帶來一定誤差。騰智明[10]、E.COZENZA等[11]、R.D.LAORA等[12]推導圓形截面壓彎簡化計算公式過程中，采用了矩形截面的參數(shù)取值(β1=0.8)。圓形與矩形比較，材料分布差異大，如果假定合力位置相同，將高估圓形截面抵抗彎矩，偏于不安全。其二，假定混凝土受壓邊緣應變εc1為定值(等于壓彎極限應變εcu=-3.3‰)這符合大偏心受壓破壞力學特性，但不符合小偏心受壓破壞，如在C50及以下混凝土的軸壓情況下，應變偏差為39%。因此α1和β1與受力有關，受力大時應變大受力小時應變小。受力對矩形和圓形影響程度不同，圓形是否可與矩形一樣忽略此影響[13]？圓形橋墩柱在軸壓或小偏心受壓工況破壞時脆性大，將此情況處理為大偏心受壓矩形截面，從理論上說不合理也不安全。

圓形截面存在寬度方向變化非線性，解析公式冗長復雜推導難度大，通常用條帶法[14]。筆者采用解析法，考慮所有可能受力(考慮εc1≠εcu)情況，推導圓形截面等效矩形應力模型參數(shù)解析解，通過條帶法數(shù)值解驗證解析解，通過數(shù)值分析給出α1和β1建議值，以期為我國規(guī)范修編提供理論參考。

1 公式推導

1.1 等效矩形應力模型

混凝土結(jié)構(gòu)應用較多是在C50及以下強度等級混凝土。基于構(gòu)件的壓彎承載力設計采用混凝土單軸本構(gòu)關系。《規(guī)范》給出了C50及以下混凝土的受壓應力-應變?yōu)閽佄锞€-矩形關系(不考慮抗拉強度)。假設應力、應變以受拉為正，受壓為負，則C50及以下混凝土本構(gòu)關系計算公式為：

(1)

式中：σ為應力；ε為應變；fc為混凝土軸心抗壓強度設計值；ε0為軸壓極限應變，ε0=-2‰；εcu為壓彎極限應變(極限點)，εcu=-3.3‰。

拋物線-矩形關系是基于實驗數(shù)據(jù)得出的經(jīng)驗模型，雖然該簡化模型數(shù)學形式已較簡單，但用于壓彎承載力計算仍有不便，因此《規(guī)范》在壓彎承載力簡化計算公式中對它做了進一步簡化。假定截面為矩形，將拋物線-矩形等效處理為矩形，即混凝土應力為常量(α1fc)，等效應力塊高度對真實受壓區(qū)高度折減系數(shù)為β1，α1和β1為《規(guī)范》等效矩形應力模型參數(shù)，如圖1。混凝土應力等效矩形模型是多數(shù)國家規(guī)范采用的處理方法，精度取決于參數(shù)α1、β1。對C50及以下混凝土，在較多規(guī)范中α1和β1被假定為定值。

圖1 等效矩形模型

從單向受彎力學性能看，圓形截面與矩形截面相比，圓形截面處于劣勢，這是因為材料分布由內(nèi)(形心軸)向外減小。在合力相同條件下，圓形截面對形心軸力臂小于矩形，抵抗彎矩圓形截面小于矩形截面。如果假定兩者受壓區(qū)等效矩形應力高度折減系數(shù)相同，將高估圓形截面彎矩承載力，偏于不安全。

1.2 等效矩形應力模型參數(shù)解析解

按照本構(gòu)關系，由應變計算得到應力，如圖2。假設截面受壓邊緣混凝土應變?yōu)棣與1，混凝土受壓區(qū)高度為x，則高度方向任意位置應變ε與其角度坐標θ關系為：

(2)

式中：z為高度方向坐標，以截面受壓邊緣為原點；r為截面半徑；角度坐標θ以順時針方向為正。圖2中θx為受壓區(qū)高度x對應的角度。

圖2 計算簡圖

在如圖2的等效矩形應力分布模型中，假設α為應力飽滿系數(shù)，β為合力位置系數(shù)，混凝土截面內(nèi)力(軸力Nc和彎矩Mc)為：

(3)

式中：b(·)為截面寬度函數(shù)。

為消除變量混凝土強度等級和截面半徑影響，采用軸力Nc和彎矩Mc無量綱形式[15]，無量綱軸力νc和彎矩μc為：

(4)

則有：

(5)

按照等效前應力分布(拋物線或拋物線-矩形)，軸力和彎矩計算為：

(6)

式中：σc(·)為混凝土應力。

式(5)和式(6)分別是軸力和彎矩按照等效矩形模型和應力-應變本構(gòu)關系的計算公式。聯(lián)立式(5)、式(6)，代入本構(gòu)方程式(1)，去掉積分推導獲得α和β解析解。本構(gòu)方程中混凝土應力是分段函數(shù)，因此解析解推導須分段進行，分為拋物線應力和拋物線-矩形應力兩種情況。

1.2.1 拋物線應力

在小偏心受拉、純彎和大偏心受壓(軸力較小時)破壞情況下，混凝土應力曲線為拋物線。由式(1)第一項、式(2)～式(6)，可推導出等效矩形模型參數(shù)α和β解析解為：

(7)

(8)

求解式(7)、式(8)，化簡整理得到C50及以下強度等級混凝土圓形截面拋物線應力狀態(tài)等效矩形應力模型參數(shù)解析解為：

(9)

(10)

從式(9)和(10)可以看出，α和β的解析解不是定值，與本構(gòu)方程[式(1)]、受壓區(qū)高度(x)和應變(εc1)有關。

1.2.2 拋物線-矩形應力

在大偏心受壓(臨界點區(qū)域)、小偏心受壓破壞情況下，混凝土應力曲線為拋物線-矩形。由式(1)～式(6)，可推導等效矩形模型參數(shù)α和β。解析解為：

(11)

(12)

式中：塑化點對應角度θ0計算公式為：

(13)

求解式(11)、式(12)，化簡整理得到C50及以下強度等級混凝土圓形截面拋物線-矩形應力狀態(tài)等效矩形應力模型參數(shù)解析解為：

(14)

(15)

從式(14)、式(15)可以看出，α和β不是定值，與本構(gòu)方程[式(1)]、受壓區(qū)高度(x)和應變(εc1)有關。

需要說明的是，在推導過程中，筆者采用纖維條帶數(shù)值積分法[16]自編程序[式(7)、式(8)、式(11)和式(12)]驗證解析法公式，結(jié)果表明解析法公式[式(9)、式(10)、式(14)和式(15)]與條帶法完全吻合。

另外，圖2等效矩形應力分布模型按照真實受壓區(qū)高度(x)計算，圖1按照折減受壓區(qū)高度(x1)計算，兩套系數(shù)之間的換算關系是：

(16)

式中:θx1為受壓區(qū)高度x1對應的角度。

2 數(shù)值計算與分析

由式(9)、式(10)、式(14)和式(15)可知，α和β解析解自變量為應變，如果知道偏心受力(拉彎、純彎或壓彎)破壞各種情況可能的應變，則得到所有可能的α和β。鋼筋混凝土構(gòu)件偏心受力破壞有3種可能，即受拉鋼筋屈服(受拉邊緣鋼筋應變εs1=受拉鋼筋屈服應變εy)、混凝土受壓邊緣應變εc1達到壓彎極限應變εcu和旋轉(zhuǎn)點混凝土應變εr達到軸壓極限應變ε0。承載能力極限狀態(tài)軸力與應變具有對應關系[17]，如果按照軸力由軸拉極限至軸壓極限變化，則應變分別按照圖3(c)中的5個區(qū)域變化(用區(qū)域①、②、③、④和⑤表示)。其中，應變AB是大、小偏心受壓臨界狀態(tài)(A點為受拉邊緣鋼筋屈服點，B點為受壓邊緣混凝土壓碎點)，C點為旋轉(zhuǎn)點。εr和εc2計算公式為:

圖3 承載力極限狀態(tài)應變分布

(17)

由式(3)可知，α和β僅與混凝土截面抗力有關，與鋼筋抗力無關。基于應變法計算正截面承載力，混凝土截面抗力與鋼筋抗力之間沒有耦合關系，即滿足疊加原理。因此α和β計算公式推導過程中，不考慮鋼筋內(nèi)力。鋼筋對應變圖有兩個地方的影響，其一，受拉邊緣鋼筋位置定義了圖3(c)中A點高度位置；其二，受拉鋼筋屈服應變εy定義了圖3(c)中區(qū)域③和區(qū)域④的分界點。但通過數(shù)值分析可知，這兩個地方對α和β的結(jié)果幾乎沒有影響。

圓形截面弓形混凝土受壓區(qū)應變按照區(qū)域②、③、④和⑤變化，受壓邊緣混凝土應變εc1由0變化至εcu，受拉邊緣鋼筋應變εs1由1%變化至e0，由式(9)、式(10)、式(14)和式(15)計算α和β，由式(5)計算無量綱軸力νc和彎矩μc，計算流程如圖4。圖4中，i為計數(shù)變量，Δ為應變增量(筆者取Δ=-0.05‰)。

圖4 計算過程

C50及以下強度混凝土圓形截面按照圖4計算流程，得到α和β曲線，如圖5(a)。為了比較，在圖5(b)同時給出了C50及以下強度混凝土矩形截面α和β曲線。

圖5 α和β曲線

比較圖5的圓形和矩形截面，可知：

1)《規(guī)范》建議的定α和β按照矩形截面區(qū)域③、④分析得到，即圖5(b)中“α=0.798，β=0.412”，換算為《規(guī)范》參數(shù)有 “α1=0.969，β1=0.824”。從圖5(a)可見圓形與矩形截面不同，圓形截面區(qū)域③、④中α和β不是定值，α從0.731增加至0.837，β從0.494減小至0.440。

2)無論矩形或圓形截面，α曲線從0變化至1，反映了混凝土截面應力從0變化至軸壓的過程。雖然區(qū)域②中α變化幅度大但應力小，因此將區(qū)域②中α取值假定為區(qū)域③具有合理性。

3)β曲線變化幅度小，圓形與矩形比較β曲線變化幅度更小，圓形β趨近于0.5(即β1=1.0)，表明圓形截面混凝土合力位置趨近于形心軸；雖然“β=0.5”與“β=0.4”在數(shù)值上相差不大，但加之圓形寬度方向變化非線性，軸力-彎矩偏差較大。

由此可見，對于α和β解析解，圓形截面與矩形截面差別大。那么對于混凝土抗力，按照α和β解析解計算，與按照《規(guī)范》定值參數(shù)“α1=1.0，β1=0.8”計算，結(jié)果如何？為此，基于應變法，分別按照α和β解析和定值參數(shù)計算圓形和矩形截面混凝土抗力，結(jié)果見圖6。

圖6 軸力和彎矩曲線

圖6中，矩形截面無量綱混凝土軸力-彎矩為：

(17)

式中：b為截面寬度；h為截面高度。

由圖6可以做出以下分析：

1)《規(guī)范》中“α1=1.0，β1=0.8”應用于圓形截面時，在小偏心受壓區(qū)域會高估壓彎承載力〔圖6(a)〕，由圖6(b)可見矩形截面偏差小于圓形。經(jīng)過比較分析，建議可將等效矩形應力定值參數(shù)修正為“α1=0.954，β1=0.829”，修正之后曲線位于解析解內(nèi)側(cè)偏于安全，且偏差較小。

2)按照修正參數(shù)“α1=0.8，β1=1.0”計算得到的曲線與解析解在大偏心受壓區(qū)幾乎重疊，表明在大偏心受壓區(qū)，圓形截面仍然能夠與矩形截面一樣采用定值等效矩形應力模型參數(shù)，采用筆者定值修正參數(shù)能夠較好估計圓形截面壓彎承載力；雖然按照修正參數(shù)在小偏心受壓區(qū)略低估壓彎承載力，但低估軸力增加了安全度，與設計原則“控制軸壓比，避免小偏心受壓脆性破壞”相一致。

3 結(jié) 論

等效矩形應力模型由國內(nèi)外相關規(guī)范普遍采用，模型定值參數(shù)由矩形截面假定按照實驗結(jié)果反算或理論推導方式確定。圓形截面寬度變化非線性，材料分布集中于形心軸，如果套用矩形截面等效矩形應力模型定值參數(shù)，會造成壓彎承載力結(jié)果偏差較大。利用圓形截面微元面積和力臂三角函數(shù)表達式，按照軸向-彎曲承載力極限狀態(tài)所有可能的應變分布，涵蓋大、小偏心受壓區(qū)域，推導圓形截面等效矩形應力圖參數(shù)應力飽滿系數(shù)和合力位置系數(shù)解析解，給出弓形混凝土受壓區(qū)壓彎承載力解析解計算流程。通過解析解開展數(shù)值分析，可以獲得下列結(jié)論：

1)參數(shù)α和β解析解不是定值，與本構(gòu)關系和受力有關。圓形截面中β變化幅度小，趨近于0.5，混凝土合力位置趨近于形心軸。在大小偏壓臨界點，矩形截面α和β是定值，圓形截面α和β不是定值。

2)相比矩形截面，《規(guī)范》中“α1=1.0，β1=0.8”用于圓形截面壓彎計算偏差更大，作者建議可將圓形截面定值參數(shù)修正為“α1=0.954，β1=0.829”。