時滯反饋控制下憶阻振蕩耦合電路穩定性研究

閆德鑫，曾以成

（1.湖南交通工程學院，湖南 衡陽 421001；2.湘潭大學，湖南 湘潭 411105）

0 引 言

在電路中加入能夠記憶所通過電荷數量的憶阻器充當電路中的非易失性存儲器，可以多方面、多角度地優化電路設計與應用。憶阻器具有非線性特性，將其應用于一些常規的非線性電路中能夠根據需要產生振蕩信號，提升非線性電路混沌動力學研究時相關參數的可控性。憶阻器加入振蕩電路后，會改變原始電路的頻譜結構，而利用電路頻譜結構的本質特性可以使得在電路元器件參數和憶阻器狀態不同的情況下，出現差異較大的電路振蕩效果。大部分振蕩耦合電路都會表現出一定的振蕩與非線性，其穩定性一直是研究熱點。利用諧振補償、建立特征方程等方式探討電路的穩定性邊界，雖然取得了一定成果但計算較為復雜。

時滯反饋控制以具有連續時間特性的物理量激勵作為控制反饋量，降低了對控制對象真實參數的依賴性，常用于對非線性系統的振動研究。基于上述憶阻器加入電路后的拓展應用背景展開討論，為進一步優化憶阻器在耦合電路中的參數可控性，本文將對時滯反饋控制下憶阻振蕩耦合電路的穩定性進行研究分析，實現特定條件下的電路穩定性動力學分析，為后續的耦合電路研究提供理論支撐。

1 建立憶阻振蕩耦合電路模型方程

其中，為串聯憶阻振蕩電路的電感；、、分別為第一、第二、第三個串聯憶阻振蕩電路的節點電壓值。在所構成的三憶阻振蕩耦合電路中，電路回路中的各個支路電流符合如式（2）所示的關系：

在三憶阻振蕩耦合電路模型中，振蕩電路電感與電流、電壓之間的關系滿足式（3）：

對上述公式中的電壓、電流進行一定時間段內的積分處理，即可得到憶阻振蕩耦合電路中磁通量、電荷與耦合電感之間的關系，經過線性化處理與矩陣形式化簡，得到下式：

2 向耦合電路添加時滯反饋控制約束

在憶阻振蕩耦合電路中，由于接入憶阻器改變了電路中的電流、電壓變化，使得電路處于混沌狀態。在耦合電路中加入時滯反饋控制后，可以控制耦合電路中因憶阻器引發的電路狀態變化延遲一定時間，并在控制器的控制下，與延時反饋共同作用于電路，從而實現對耦合電路的穩定控制。

根據所構建的憶阻振蕩多耦合電路模型，本研究設計一種反饋信號為電流的時滯控制器，將該控制器的輸入端和輸出端接入端并聯至憶阻振蕩多耦合電路中，得到結構如圖1所示帶有時滯反饋控制的耦合電路。

圖1 接入時滯反饋控制器的耦合電路結構圖

本研究選用的時滯反饋控制器核心為電流運算放大器，在作用于耦合電路時，將電路中各節點的電壓、、之和作為控制器輸入，將反饋電流輸入至最后一個耦合電路的結點上。時滯控制器的狀態方程為：

其中，為控制器的時滯；為控制變量；、分別為控制器的輸出與輸入。控制器的延遲時間只與控制器內部的電阻、電容有關，控制反饋的強度僅與控制器內部的電阻R有關。將上述狀態方程作用于耦合電路，對電路的穩定性進行分析。

3 時滯控制下的耦合電路穩定分析

將控制器的狀態方程與所構建的耦合電路方程聯立，得到如下條件控制約束的電路狀態方程。

其中，C為控制器的電容；R為控制器的內部電阻。以三憶阻振蕩耦合電路為基礎，忽略在線性變化時交叉耦合項，可以判定上述方程在達到穩定解時，穩定解的振幅、相位、位移與時間存在明顯的相關關系。在時滯反饋控制下，時間的二階變化幅度較小可以忽略，在將上式轉變為微分形式后，構建等式得到耦合電路處于穩定狀態時各個節點狀態量的振幅值A。對于各個節點狀態量振幅，按照下式計算得到電路穩定性判據矩陣：

時滯反饋控制器的延遲時間從0 開始逐漸增大時，對應的控制器電容、電阻會發生變化，導致如式（6）所示的耦合電路狀態方程的特征根數量出現變化。在電路處于不同模式的振蕩狀態時，耦合電路狀態變量的振幅不同，令式（7）中等式右側為0，進行等式求解。根據線性代數的理論，若矩陣求解得到的特征根中，所有特征根的實部均小于0，則確定的耦合電路穩定點為真實的穩定點，實際電路運行過程中各項參數與穩定點對應的耦合電路狀態方程一致時，則該電路處于穩定狀態。若經過求解，矩陣的特征根實部不全部為負數，則表明上文求得的穩定點不是真實的穩定點，其對應的振蕩電路未處于穩定狀態。

4 數值模擬仿真實驗

上文從理論層面分析了時滯反饋控制下憶阻振蕩耦合電路穩定性，本節將以數值模擬的形式來驗證時滯反饋控制對耦合電路穩定性是否有積極作用。

4.1 實驗準備與設計

在Multisim 12.0 中，根據如上所述的理論研究內容建立一個憶阻振蕩耦合電路模型，搭建模擬電路，用于本次模擬實驗分析。設定該模擬振蕩耦合電路的時滯反饋控制參數，在電路的輸出端、憶阻器兩端接入示波器、電流表、萬用表等設備，以測量模擬電路中的實驗參量。

為使本次數值模擬仿真實驗的結果更加直觀、可信，采用對比實驗模擬電路在時滯反饋控制下是否具有穩定性表現的方式來完成仿真實驗研究。因此，在兩次電路穩定性相關實驗過程中，除電路有無時滯反饋控制的差異之外，其余對模擬耦合電路的振蕩影響因素均保持一致，從而保證數據采集過程中變量變化的唯一性與實驗過程的可控性。根據上文的研究內容，模擬電路處于穩定狀態下的具體參數均已知，通過接入控制器與否來改變電路狀態方程參數。以模擬電路采集的電荷、磁通量為實驗數據，驗證分析時滯反饋控制對耦合電路穩定性的影響。

4.2 實驗數據與分析

在模擬實驗時間內，是否應用時滯反饋控制條件下，模擬電路中憶阻器兩端的電荷量、變化情況的統計數據如表1所示。

表1 模擬電路中憶阻器兩端的電荷量變化統計（×10-3C）

由表1中的數據可知，在不同情況下，憶阻器兩端的電荷量隨時間的變化而發生變化。無時滯控制下，電路中憶阻器兩端的電荷量差異要明顯大于接入控制器。不接入控制器時，同一電荷量在不同時間點的數值波動較為劇烈，而接入控制器后，模擬電路中同一電荷量的電荷數據波動程度減弱。這說明接入控制器后，電路的振蕩程度減少了，電荷的無用消耗減少了。由電荷與電流之間的關系可以看出，未接入控制器時電路處于不穩定的狀態，接入控制器的電路在達到穩定點時，電路處于穩定狀態。

為使實驗數據的展示形式更直觀，在MATLAB 2014 軟件中繪制如圖2、圖3所示的不同模擬條件下憶阻器兩端的電荷量波動圖。

對圖2和圖3中的波形進行對比可知，模擬電路中加入時滯反饋控制器后，其接入的憶阻器兩端電荷量的波動曲線更加穩定，電路電源接通狀態下，電荷量波動呈現一定的周期性，并且在電路停電后隨著時間的變化而出現穩定的衰減最后收斂的情況。而在未加入控制器的模擬電路中，憶阻器兩端的電荷量表現出明顯的波動，且不具有明顯的規律，其電荷量曲線不出現收斂。

圖2 無時滯反饋控制的電荷量波動

圖3 時滯反饋控制下的電荷量波動

在控制器是否接入模擬電路的兩種情況下，電路中的磁通量隨時間的變化波形對比圖如圖4所示。

圖4 模擬電路中磁通量與時間的變化關系圖

由以上仿真電路磁通量測量值可知，在接入時滯反饋控制器的電路中，電路中經過節點電壓的磁通量幅值變化更穩定，磁通量隨時間的變化呈現出一定的規律性。在未接入時滯控制器的電路中，節點磁通量在不同時間點的變化程度不同。從磁通量的變化曲線來看，在反饋控制下，模擬耦合電路節點的磁通量變化整體上處于一個穩定的狀態。

綜合上述分析可知，對于憶阻振蕩耦合電路來說，加入時滯反饋控制器后，可以形成具有一定規律的振蕩波形。從憶阻器的電荷量、電路的磁通量兩個參量與時間的變化關系來看，兩個參量存在較為明顯的周期性特點，這說明時滯反饋控制對憶阻振蕩耦合電路的穩定性具有積極的調控作用。

5 結 論

全文通過搭建模型與分析的方式，總結得出在時滯反饋控制下，接入憶阻器的振蕩耦合電路穩定性明顯提升，并以數值模擬仿真實驗的形式對相關的理論內容進行了真實性驗證。仿真實驗驗證結果表明，在含有憶阻器的振蕩耦合電路中加入時滯反饋控制環節，確實可以減少耦合振蕩對電路穩定性的干擾，降低各電路參量的波動幅度，提升耦合電路的穩定性。經過上述的研究分析，為今后拓展憶阻器的應用范圍與開展耦合電路的研究提供了理論參考。