“不聯立”解決一類圓錐曲線中直線過定點問題

魏東升

(福建省廈門雙十中學漳州校區 363107)

圓錐曲線定點問題一直是高考的重點熱點問題，對于這類問題需要考生掌握扎實的基礎知識和基本的解題方法.直線過定點問題常見的解題方法主要有兩種：一種是通過引進參數表示出直線經過的兩個點坐標，再由這兩點確定直線的方程，從而經過化簡得到直線的定點；另一種是直接假設出直線的方程，然后和圓錐曲線聯立，再利用韋達定理找出直線中參數的關系，從而得到直線的定點. 這兩種方法一般都有聯立所設直線和圓錐曲線方程，計算量很大，不易找到定點.本文專注于“不聯立”的思路來找直線過的定點，所給的解決方案具有普遍性：

1 “不聯立”與橢圓

(1)求C的方程；

(2)點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，點D為垂足.證明：存在定點Q，使得DQ為定值.

以下對第(2)問進行探究：

直線過定點(x0,y0)的問題，常通過假設直線的截距式y=kx+b方程，進而找到方程系數之間的關系來求得定點，這種解法是一種常用的方法，也是高考參考答案給出的方法.但許多考生并不能準確找到系數之間的關系，而且有的問題并不能用這種方法.這個時候我們可以嘗試采用另一種思路：

假設點M(x1，y1)，N(x2，y2)，當直線AM，AN的斜率存在且不為0時，設直線AM的方程為y=k(x-2)+1.

因為AM⊥AN，所以直線AN的方程為

(1+2k2)x2-(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0.

所以直線MN的方程為

與第一種思路相比，這種假設直線的方法相對更自然，但最后一步要準確找到直線的定點卻并不容易，我們來看“不聯立”的解決辦法：

整理,得

2x1y2-x2y1-4y2-2y1+2x1+x2-2=0.

同理可得2x2y1-x1y2-4y1-2y2+2x2+x1-2=0.

兩式作差,得

3(x1y2-x2y1)-2(y2-y1)+x1-x2=0.

所以直線MN的方程為

2 “不聯立”與雙曲線

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)證明：直線MN必過定點，并求此定點坐標.

對于第(2)問，常規思路是通過假設直線AB，CD的方程，分別和雙曲線聯立可得M，N的坐標，從而用點斜式的方式得到定點，這個時候還要考慮直線AB，CD和坐標軸平行的情況.我們來看“不聯立”的解決辦法：

作差變形,得

整理,得3x1y2+x2y1-6y2=0.

同理可得3x2y1+x1y2-6y1=0.

兩式作差,得

x1y2-x2y1=3(y2-y1).

所以直線MN的方程為

所以直線MN過定點E(3,0).

3 “不聯立”與拋物線

(1)若P(1，1)是AB的中點，求直線AB的方程；

(2)若k1+k2=1，證明：直線MN必過定點，并求出此定點坐標.

解析對于第(1)問，由題意可得拋物線y2=2x，利用點差法可得直線AB的方程為y=x.

對于第(2)問，其和例2中的雙曲線一樣，都是弦中點連線過定點問題的.我們來看“不聯立”的解決辦法：

整理,得x1y2=x1-1+y1y2.

同理可得：x2y1=x2-1+y1y2.

兩式作差,得x1y2-x2y1=x1-x2.

所以直線MN的方程為

所以直線MN過定點E(0,1).

需要指出的是，例1中的點A(2,1)在橢圓上，所以是利用橢圓方程轉化斜率之間的關系.而例2和例3中的點雖然不在橢圓上，但都是中點，故而可以用點差法的思路迅速得到斜率之間的轉化關系.

圓錐曲線中的定點問題在高考中有廣泛的應用，像這樣以小專題的形式介紹圓錐曲線中存在的問題，短、平、快地一次性徹底地解決與其有關的問題，對學生解題水平的訓練、思維能力的培養和學科素養的提升，想來都是極好的.