兩支鏈三平移并聯機構動力學分析與性能優化

李 菊 肖思進 沈惠平 趙一楠 楊廷力

(常州大學現代機構學研究中心， 常州 213164)

0 引言

三平移(3 translation, 3T)并聯機器人對于分揀、抓拿及貼標等速度、精度要求較高的重復性工作，具有明顯的優勢，因此，在食品、藥品和3C電子等領域得到了廣泛地應用。CLAVEL[1]于1988年首次提出了可實現三維高速平動的Delta并聯機械手；趙鐵石等[2]提出了三維移動3RRC并聯機構，該機構結構簡單對稱，運動學求解方便；楊廷力等[3]提出了三平移全轉動副的并聯機構3RRPaR；CHABLAT等[4]提出了滑塊驅動的Orthoglide新型并聯機構，該種機構具有完全解耦特性，且運動學、動力學性能優良。上述三平移機構為完全對稱機構，而在非對稱并聯機構這一大類中，仍存在一部分性能較為優異的機構有待探索和研究。

常用的動力學建模方法主要有：虛功原理法[5-7]、Newton-Euler法[8-10]、Lagrange法[11-13]等。國內外學者用這些方法對各種并聯機構進行了動力學分析[14-20]。文獻[21]提出了采用基于虛功原理的序單開鏈法來分析機構動力學，該方法以單開鏈(SOC)為基本單元，動力學方程系數矩陣可由機構速度分析的結果直接調用，提高了計算效率；而速度分析是確定機構慣性力、力矩所不可缺少的，因此，揭示了機構運動學和動力學之間的內在聯系；沈惠平等[22-23]用該方法分別對單輸入兩滑塊輸出平面沖壓機構、單自由度一平移兩轉動并聯運動振動篩進行了逆向動力學分析。

在優化方面，粒子群算法、遺傳算法、蟻群算法、免疫算法、差分進化算法等[24]智能算法，可用于并聯機構的運動學和動力學性能優化，它們在適用性和可靠性上的優勢更加明顯[25-28]。

本文將運用基于虛功原理的序單開鏈法，對筆者提出的三平移并聯機構2P4R(Pa)-PR(Pa)R[29]進行動力學建模與分析；然后分別以桿件長度和質量參數作為設計變量，以可達工作空間和能量傳遞效率兩種性能指標為目標函數，對并聯機構進行運動學和動力學性能優化。

1 三平移并聯機構及其拓撲分析

1.1 機構設計

如圖1所示，兩支鏈非對稱3T并聯機構由兩條混合支鏈(HSOC)連接靜平臺0、動平臺1組成[28-29]，其中，HSOC1由平面六桿機構(P11-R12-R13-R23-R22-P21，簡稱：2P4R平面機構)和與之所在平面垂直的平行四邊形機構P(4R)①串聯組成；HSOC2由移動副P31、轉動副R32、平行四邊形機構P(4R)②和轉動副R33依次串聯而成。當靜平臺0上的驅動副P11、P21、P31在兩個導軌上滑動時，動平臺1會產生3個方向的移動，且連桿R13R23與導軌(Ⅰ)始終保持平行，機構的三維模型如圖2所示。

圖1 3T并聯機構簡圖Fig.1 Diagram of 3T parallel mechanism

圖2 3T并聯機構三維圖Fig.2 3D diagram of 3T parallel mechanism

1.2 拓撲分析

1.2.1理論基礎

并聯機構方位特征(Position and orientation characteristic, POC)方程[30]為

(1)

(2)

式中MJi——第i個運動副的POC集

Mbi——第i條支鏈末端的POC集

MPa——機構動平臺的POC集

并聯機構全周自由度計算式[30]為

(3)

(4)

v=m-n+1

式中F——機構自由度m——運動副數

fi——第i個運動副自由度

v——獨立回路數n——構件數

ξLj——第j個獨立回路獨立位移方程數

Mb(j+1)——前j+1條支鏈末端構件POC集

由基于序單開鏈(SOC)的機構組成原理知，任一機構可分解為約束度為正、零、負的3種有序單開鏈(SOC)，第j個SOCj的約束度定義為

(5)

式中mj——第j個SOCj的運動副數

Ij—— 第j個SOCj的驅動副數

進一步，一組有序的v個SOC可劃分為若干個獨立子運動鏈(SKC)，而每個SKC僅含一個自由度為零的基本運動鏈(BKC)，對一個SKC而言，須滿足

(6)

因此，SKC耦合度為

(7)

SKC分解為v個SOC(Δj)，可有多種分配方案，取∑|Δj|為最小者。

1.2.23T并聯機構拓撲分析

由式(1)、(2)計算得該3T并聯機構POC為

(8)

其中

可見，該機構可實現三平移。

其獨立位移方程數由式(4)計算得

因此，機構自由度為

(9)

進一步，2個回路的約束度由式(5)計算分別得

因此，這2個回路構成一個SKC，其耦合度由式(7)計算為

(10)

由式(8)、(9)知，當取靜平臺0上的3個移動副P11、P21、P31為驅動副時，動平臺1可產生三維移動輸出。

2 3T并聯機構運動分析

2.1 3T并聯機構位置正解

為表述方便，對圖1所示的機構簡圖重新標注，得到如圖3所示的運動學建模圖。

圖3 機構運動學建模圖Fig.3 Diagram of kinematics modelling

設矩形靜平臺0的長、寬分別為2a和2b，以靜平臺0的幾何中心為原點，建立靜坐標系OXYZ，其中，X軸和Y軸分別垂直和平行于A1A2連線，Z軸由右手法則確定；以動平臺1的幾何中心為基點，建立動坐標系o′xyz，其中，x軸在TS連線上，指向點S，y軸平行于靜坐標系的Y軸，z軸由右手法則確定。

設：AiBi=l1(i=1,2,3),BiCi=l2(i=1,2),C1C2=l3,D1D2=l4,SE2=l7,TC3=l8，TS=2d。平行四邊形機構①的長短桿9、8的長度分別為l6、l5，平行四邊形機構②長短桿12、13的長度分別為l9和l10；B1C1與Y軸正向的夾角為α，D2E2與X軸負方向的夾角為β。

其位置正解為已知驅動副(滑塊)的運動規律，求動平臺上o′的位置(x,y,z)。由文獻[29]可知，其正解為

(11)

其中

由此可知，該兩支鏈的三平移并聯機構具有以下優點：①機構不僅具有位置解析正解，且機構沿Y方向的移動僅由驅動副P11、P21決定，這使機構具有部分輸入-輸出運動解耦性，有利于機構的軌跡規劃及運動控制。②當靜平臺上3個驅動副P11、P21、P32同向同速運動時，該機構可實現Y方向的大范圍移動(大工作空間)；而當3個驅動副取不同的速度時，可實現小范圍內的精確作業。因此，該機構適合于長度方向較大尺寸工件的搬運、抓取、上下料等操作。

2.2 速度和加速度分析

2.2.1動平臺中心速度映射模型

對式(11)求導可得

(12)

其中

該機構動平臺o′與3個輸入之間的速度映射[29]為

(13)

其中

當機構不處于奇異位置時，Jp可逆，則

(14)

2.2.2動平臺中心加速度映射模型

將式(12)對時間t求導，可得

(15)

其中

K1、K2、K3分別為Jp和Jq內每個元素對時間t的導數與對應變量的微分乘積的和，即

當機構不處于奇異位置時，Jp可逆，則有

(16)

式(15)即為動平臺原點o′的加速度映射模型。

2.2.3HSOC1各桿件(角)速度和(角)加速度

連桿2、3、14與驅動滑塊固連，則其質心速度分別為

(17)

所以，R12、R22速度分別為

桿件4、5質心速度、加速度分別為

式中r4、r5——桿件4、5的位置向量

左右兩邊分別叉乘r4/2、r5/2，得桿4、5的角速度、角加速度分別為

2.2.4HSOC2各桿件(角)速度和(角)加速度

由文獻[29]可知，桿6運動始終平行于A1A2,因此，桿6、7、8角速度、角加速度均為0，則

式中Jiv——桿件i速度矩陣

同理，桿9速度和加速度為

等式兩邊叉乘r9，得桿9角速度和角加速度分別為

同理，可得桿12速度、加速度為

等式兩邊分別叉乘r12，則桿12角速度、角加速度分別為

2.3 運動學數值驗證

給定3個驅動副運動規律分別為

(18)

則其速度和加速度變化規律分別是

(19)

(20)

通過Matlab軟件對式(11)～(20)進行編程，可以得動平臺1中心點位置、速度和加速度曲線如圖4a、5a、6a所示。

同時，將樣機導入ADAMS中進行機構仿真分析，得到動平臺1上點o′的速度和加速度仿真曲線，如圖4b、5b、6b所示。

圖4 3T并聯機構動平臺位置變化Fig.4 Position changes of 3T PM moving platform

圖5 3T并聯機構動平臺速度變化Fig.5 Velocity changes of 3T PM moving platform

圖6 3T并聯機構動平臺加速度變化Fig.6 Acceleration changes of 3T PM moving platform

圖4～6表明，由理論推導后經Matlab軟件編程求得的每個時間點的位置、速度和加速度，和ADAMS軟件的仿真數值一致，由此，可以驗證位置、速度和加速度公式推導的正確性。

3 3T并聯機構逆向動力學分析

3.1 運動學參數確定

(1)回路LOOP1中各桿件的速度和角速度矩陣

其中

同理，連桿4、5速度和角速度矩陣分別為

因桿件6只產生平動，因此，桿件6速度矩陣為

(2)回路LOOP2中各桿件速度和角速度矩陣

由式(17)可知，驅動桿14速度矩陣為

動平臺1速度矩陣為

同理，可得桿件9、12、13、15速度和角速度矩陣為：

3.2 系統受力分析

對于動平臺，作用在質心的力為

(21)

式中F——作用在動平臺質心的外力

對于其他構件，其外力(含慣性力)主矢和外力主矩(含慣性力矩)分別為驅動桿2、3、14所受的外力，即

Fi=mig-miai(i=2,3,4)

(22)

從動桿4、5運動方式為平動和轉動，所以其所受外力(矩)分別為

(23)

式中oIi——桿件i相對靜平臺的慣性張量

由第1節可知，桿件6只有平動，所以其所受外力為

F6=m6g-m6a6

(24)

同理，桿件9、12、13、15所受外力(矩)分別為

(25)

Fi=mig-miai(i=13,15)

(26)

驅動力為

Md=[M1M2M3]T

(27)

3.3 動力學方程建立與求解

根據基于虛功原理的序單開鏈法[21]建立的動力學方程式為

Md+BTF+CTM=0

(28)

其中

F=[F1F2…F15]TB=[J1vJ2v…J15v]C=[J1wJ2w…J15w]M=[0 0 0M4M50 0 0M9M100M12M130M15]T

將式(21)～(27)代入式(28)，整理得驅動力Mdi(i=1,2,3)為

(29)

3.4 算例驗證

3個驅動滑塊的運動軌跡同式(18)。

設計虛擬樣機，并確定該并聯機構各構件的屬性參數，如表1所示。

表1 3T并聯機構尺寸、質量參數Tab.1 Parameters of 3T PM

對式(21)～(29)進行Matlab編程計算，得到3個驅動滑塊的驅動力變化曲線，如圖7所示。

圖7 3T并聯機構驅動力的變化曲線Fig.7 Driving force curve of 3T PM

將虛擬樣機導入ADAMS中，步長取0.01 s，仿真時間為10 s，對機構進行動力學仿真，結果如圖8所示。

對比圖7、8，可知3個驅動滑塊的驅動力理論計算值與仿真值變化一致，從而驗證了理論計算的正確性。

圖8 3T并聯機構驅動力的仿真變化曲線Fig.8 Simulation curves of driving force of 3T PM

4 3T并聯機構運動學和動力學性能優化

4.1 運動學性能優化

4.1.1設計變量確定

并聯機構的運動學性能受尺度參數和布置方式等變量影響，本文先對機構尺度參數進行優化。設l1、l2、l3、l5、l6、l9、l10、d分別為桿件2、4、6、8、12、13和桿件1的長度，因此，確定運動學性能優化的設計變量為

(30)

4.1.2約束條件確定

以原始桿長的±50%為設計變化量，確定設計變量的設計范圍，如表2所示。

表2 桿長設計變量及其變化范圍Tab.2 Design variable and range mm

由機構的原始參數計算得到lmax=l1+l2+l3+l5+l6+l9+l10+d，則在優化過程中設計變量必須滿足約束

l1+l2+l3+l5+l6+l9+l10+d≤lmax

(31)

4.1.3目標函數確定

利用表2中機構的原始尺度參數，運用離散化方法，在一定范圍內搜索靜坐標系中間隔為1 cm的空間點所形成的可達工作空間，搜索到的點集可認為是由無數個1 cm3的小立方體組成的三維體即可達工作空間；通過點集的數量可近似估計原始工作空間的體積為

V=40 173×1 cm3=40 173 cm3

(32)

則可將工作空間體積定義為可達工作空間性能指標fV=V，因此，根據其體積確定的目標函數及其設計目標為

maxfV(x)=V

(33)

4.1.4優化過程分析和結果比較

上述優化模型建立后，可利用差分進化算法并借助Matlab對機構運動學性能進行優化計算，但優化計算非常耗時，因此，該方法也可在減少算法的種群規模和迭代次數的情況下，判斷優化設計結果的可靠性，為此，根據文獻[31-32]對算法參數進行初始化設置：種群規模為30，最大迭代次數為200，縮放因子為0～1，交叉因子為0.8～1。

通過上述算法參數的設置，對機構運動學性能進行優化計算，其優化計算過程如圖9所示，隨著迭代次數的增加，目標函數的變化趨向穩定。

圖9 差分進化算法計算曲線Fig.9 Calculation curve of differential evolution algorithm

將機構優化后的尺度參數最優解進行圓整，并對比優化前后尺度參數，如表3所示；可達工作空間性能指標fV從40 173 mm3增加到62 733 mm3，增幅達到56.2%。

表3 優化前后尺度參數Tab.3 Comparison of scale parameters and performance before and after optimization mm

由表3可知，機構的驅動桿長度和動平臺長度減少較多，從動桿B1C1、B2C2和兩個平行四邊形長桿長度增加。機構優化后的可達工作空間得到提升，圖10為優化前后工作空間。

4.2 動力學性能優化

當機構的最優尺度參數確定后，通過優化機構的質量參數，可以進一步達到優化機構動力學性能的目的。

4.2.1設計變量確定別為滑塊1、滑塊2、滑塊3、桿B1C1、桿B2C2、桿件6、桿件8、桿件1、桿件12和桿件13的質量，因此，確定設計變量為

設m1、m2、m3、m4、m5、m6、m9、mo′、m12和m13分

圖10 優化前后可達工作空間Fig.10 Reachable workspace before and after optimization

m=[m1m2m3m4m5m6m9mo′m12m13]

(34)

4.2.2約束條件確定

參考4.1節，以原始質量的50%作為變化量，如表4所示。

表4 質量設計變量及其變化范圍Tab.4 Design variable and range g

通過計算各構件的原始質量，得到

mmin=m1+m2+m3+m4+m5+m6+m9+mo′+m12+m13

(35)

則優化過程中設計變量應滿足總體約束為

m1+m2+m3+m4+m5+m6+m9+mo′+m12+m13≥mmin

(36)

4.2.3目標函數確定

由文獻[33]可知，以能量傳遞效率ζk為指標，可解決慣性矩陣量綱不一致的問題，即

(37)

其中

式中Ek——動平臺動能

T——3T并聯機構整體動能

對于整個機構來說，動平臺動能可認為是該機構的有效能量，且動平臺所占有動能的比例越高，則說明機構能量傳遞效果越好。為評價機構整體的能量傳遞性能，將全局能量傳遞效率性能指標fP定義為

(38)

設原始質量參數下機構的能量傳遞效率為fp0，由此，計算出動力學性能優化的目標函數為

(39)

4.2.4優化過程分析和結果比較

上述優化模型建立后，可利用差分進化算法并借助Matlab對機構動力學性能進行優化計算。參考表4的設置參數，對智能算法進行初始化設置。

通過上述參數設置，對機構動力學性能進行優化計算，結果如圖11所示。

圖11 算法計算曲線Fig.11 Calculation curve of algorithms

由圖11可知，差分進化算法在迭代180次之后開始收斂，說明機構動力學優化得到了最優解，即全局能量傳遞效率性能指標fP提高了63.6%。將優化前后得到的質量參數進行比較，如表5所示。

表5 優化前后質量Tab.5 Comparison of performance indexes about optimization g

5 結論

(1)采用基于虛功原理的序單開鏈法，建立了非對稱3T并聯機構的動力學模型，該法以單開鏈為基本單元，提高了計算效率；并通過比較驅動力的理論計算值與仿真結果，驗證了動力學建模的正確性。

(2)基于差分進化算法，分別以桿長和質量參數作為設計變量，以可達工作空間和能量傳遞效率為目標函數，對3T并聯機構先后進行運動學和動力學性能優化(可達工作空間性能指標fV提高56.2%，全局能量傳遞效率性能指標fP提高63.6%)，為機構設計和樣機研制奠定了基礎。

(3)該3T并聯機構不僅具有位置解析正解，還具有部分輸入-輸出運動解耦性，有利于機構的軌跡規劃及運動控制。該機構適合于長度方向較大尺寸工件的搬運、抓取、上下料等操作。