淺談數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

藺興旺

（甘肅省山丹縣第一中學(xué)，甘肅山丹 734100）

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)，“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”，一語(yǔ)道破數(shù)與形之間千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。數(shù)形結(jié)合思想方法針對(duì)的是數(shù)學(xué)中數(shù)與形兩個(gè)最古老的研究對(duì)象，教師在高中數(shù)學(xué)教改中著力引入數(shù)形結(jié)合思想方法，對(duì)學(xué)生相互轉(zhuǎn)化數(shù)形知識(shí)、解決實(shí)際問(wèn)題幫助是非常顯著的。為此，教師有必要明晰數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中卓越的應(yīng)用價(jià)值，加強(qiáng)開(kāi)發(fā)課程資源、找準(zhǔn)數(shù)形結(jié)合思想方法的有效滲透點(diǎn)，采用多元化措施和手段啟發(fā)學(xué)生感知數(shù)形結(jié)合思想，從而助益學(xué)生思維發(fā)展和對(duì)科學(xué)思想方法的實(shí)踐運(yùn)用。

一、數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值

數(shù)學(xué)中的數(shù)與形具有不可分割的緊密聯(lián)系，并由此衍生出數(shù)形結(jié)合思想方法。數(shù)形結(jié)合思想方法在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域占據(jù)重要地位，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題最基本、最科學(xué)的思想路徑。經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)情分析和理論實(shí)踐調(diào)研，數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值表現(xiàn)在以下幾點(diǎn)。

第一，數(shù)形結(jié)合思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)際用途廣泛，可以輔助學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題思路。高中數(shù)學(xué)問(wèn)題在內(nèi)容和難度上都有所延展，涉及的課型和基礎(chǔ)知識(shí)繁多，很多學(xué)生在思考和解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)不得其法，久而久之難免產(chǎn)生畏難情緒。數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象，學(xué)生解決任何問(wèn)題都繞不開(kāi)它們，所以數(shù)形結(jié)合思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)際用途極為廣泛，如集合、函數(shù)、數(shù)列、立體幾何等相關(guān)問(wèn)題，都離不開(kāi)數(shù)形結(jié)合思想方法的支持。教師根據(jù)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生找到數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化條件，可以輔助學(xué)生快速發(fā)現(xiàn)和構(gòu)建解題思路，從而使學(xué)生研究數(shù)學(xué)問(wèn)題更加快捷明了。

第二，數(shù)形結(jié)合思想方法具有等價(jià)性特征，能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和形象思維能力綜合發(fā)展。大部分高中生都是數(shù)學(xué)形象思維發(fā)展情況較好，而抽象思維能力偏弱，教師在數(shù)學(xué)課程中加強(qiáng)滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，可以明顯改善學(xué)生的思維弱勢(shì)。這主要得益于數(shù)形結(jié)合思想方法的等價(jià)性特征。教師根據(jù)實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題帶領(lǐng)學(xué)生開(kāi)展對(duì)代數(shù)和幾何屬性的分析，使學(xué)生明晰數(shù)形屬性之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，如在圖形中表現(xiàn)數(shù)值或是把數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圖示、圖形等等，可以提高數(shù)學(xué)教學(xué)的直觀性，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和形象思維能力協(xié)調(diào)發(fā)展。

第三，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法，可以避免學(xué)生對(duì)代數(shù)問(wèn)題或幾何問(wèn)題的片面化分析，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的貫連理解效果。現(xiàn)階段大多數(shù)高中生對(duì)數(shù)與形的遷移變式能力都有待加強(qiáng)，面對(duì)幾何或代數(shù)問(wèn)題，分析理解較為片面。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法最突出的優(yōu)勢(shì)，就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)形問(wèn)題和知識(shí)的遷移變式效率，引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)把數(shù)形屬性聯(lián)系起來(lái)探析，這樣既增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)貫連理解效果，也很好地解決了高中階段數(shù)學(xué)知識(shí)跨度大、難度高給學(xué)生造成的學(xué)習(xí)壓力。

二、數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用措施

（一）整合課程資源，拓寬數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用途徑

數(shù)學(xué)課程是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法的主要載體，所以教師需要率先做到對(duì)數(shù)學(xué)課程資源的分析整合，對(duì)哪些數(shù)學(xué)課型適合實(shí)踐數(shù)形結(jié)合思想方法做到心中有數(shù)，從而精準(zhǔn)把握科學(xué)思想方法的滲透點(diǎn)，拓寬數(shù)形結(jié)合思想方法在數(shù)學(xué)教改中的應(yīng)用途徑。

第一，分析數(shù)學(xué)課程內(nèi)容和類(lèi)型，編制數(shù)形結(jié)合思想方法應(yīng)用的課程表格。高中數(shù)學(xué)課程體系具有復(fù)雜性，教師需要根據(jù)數(shù)學(xué)教材和《教學(xué)大綱》，細(xì)致深入地分析數(shù)學(xué)課程內(nèi)容和類(lèi)型，把數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用細(xì)化到具體課時(shí)甚至是具體問(wèn)題。如高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)、集合、方程和不等式、解析幾何、立體幾何、絕對(duì)值以及線性規(guī)劃等課程，都是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法的重點(diǎn)課程。課程分析完成后，教師還要把所有涉及數(shù)形結(jié)合思想方法的課程整理編制成表格，條分縷析地羅列出課程哪部分知識(shí)講授或是問(wèn)題解決需要用到數(shù)形結(jié)合思想方法。比如，針對(duì)立體幾何，教師需要標(biāo)注出幾何點(diǎn)線面性質(zhì)和相互關(guān)系探究可以實(shí)施數(shù)形結(jié)合教學(xué)法，并在下方準(zhǔn)備幾道可以把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)運(yùn)算的典型習(xí)題。其他課程也如法炮制，這樣基于數(shù)形結(jié)合思想方法應(yīng)用的課程資源整合工作就實(shí)施完成了。

第二，根據(jù)數(shù)學(xué)課程表格內(nèi)容，尋找數(shù)形結(jié)合思想方法的合理應(yīng)用措施。教師在明晰高中數(shù)學(xué)課程體系中哪些內(nèi)容適合應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法后，還需要尋找最合理的應(yīng)用措施。在這一步，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)先前編制好的課程表格制訂針對(duì)措施。比如，在集合問(wèn)題和運(yùn)算課程中，教師可以考慮運(yùn)用數(shù)軸、畫(huà)Venn 圖示等形式，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度出發(fā)，思考和處理集合問(wèn)題的交、并、補(bǔ)運(yùn)算過(guò)程，這樣運(yùn)算解題思路就趨向明朗。再如，針對(duì)三角函數(shù)類(lèi)課程，教師尋找數(shù)形結(jié)合思想方法應(yīng)用措施時(shí)，可以繪制單位圓或者三角函數(shù)圖像，引導(dǎo)學(xué)生確定三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間，或是學(xué)習(xí)三角函數(shù)值的大小比較技巧等，這樣學(xué)生處理數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的速率勢(shì)必顯著提高。

（二）創(chuàng)新應(yīng)用形式，引導(dǎo)學(xué)生基于數(shù)形結(jié)合思想來(lái)思考問(wèn)題

數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的高質(zhì)量應(yīng)用，要立足于具體問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生基于數(shù)形結(jié)合思想思考問(wèn)題，所以教師必須創(chuàng)新應(yīng)用形式，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想方法在課程中的具體表現(xiàn)，培育學(xué)生關(guān)聯(lián)數(shù)與形的思維習(xí)慣和技能。

第一，實(shí)施以數(shù)化形教學(xué)。這種數(shù)形結(jié)合思想方法應(yīng)用形式作用于數(shù)量問(wèn)題，如面對(duì)一項(xiàng)數(shù)量問(wèn)題探究任務(wù)，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生詳細(xì)審讀問(wèn)題內(nèi)容，把問(wèn)題內(nèi)容中的已知條件數(shù)據(jù)、隱含條件和所求的答案目標(biāo)分解開(kāi)來(lái)，整理記錄到演算本上，然后聯(lián)系已知條件和所要解答的目標(biāo)，回顧從前學(xué)過(guò)的知識(shí)中是否存在相關(guān)的公式、定理和圖像，如果學(xué)生反饋有，那么教師可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生在演算本上列出圖形表達(dá)式，或是直接繪出結(jié)構(gòu)相適應(yīng)的圖形。最后，教師就可以讓學(xué)生觀察圖形表達(dá)式和具體圖形，借助幾何定理和性質(zhì)概念推理解答數(shù)量問(wèn)題，這樣學(xué)生就能夠掌握應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法解析數(shù)量問(wèn)題的一般思路。

第二，實(shí)施以形變數(shù)教學(xué)。以形變數(shù)應(yīng)用形式作用于數(shù)學(xué)幾何或圖形問(wèn)題，教師在具體教學(xué)中，可以先把幾何或圖形問(wèn)題用電子白板出示給學(xué)生，然后向?qū)W生提問(wèn)：“同學(xué)們，仔細(xì)觀察白板投屏上的圖形和圖像，大家能否闡述它們的特點(diǎn)？把你發(fā)現(xiàn)的圖形性質(zhì)分享出來(lái)吧！”學(xué)生調(diào)動(dòng)幾何圖形知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，反饋出具有解題價(jià)值的圖形性質(zhì)概念，教師認(rèn)同學(xué)生回答之后追問(wèn)：“圖形問(wèn)題的題面中是否存在隱含條件？看看哪些同學(xué)擁有一雙慧眼！”此時(shí)已經(jīng)有部分學(xué)生反饋出問(wèn)題中潛在的幾何意義和定理，教師再次發(fā)問(wèn)：“那么在對(duì)幾何和圖形問(wèn)題的定量上，最直接有效的方法是什么？”有學(xué)生搶答：“借助代數(shù)進(jìn)行定量計(jì)算！”接下來(lái)，教師就可以啟發(fā)學(xué)生把幾何圖形問(wèn)題中涉及的圖形用代數(shù)式表示出來(lái)，然后再代入和題目條件、結(jié)論有關(guān)的公式定理，通過(guò)以形變數(shù)流暢解答幾何代數(shù)問(wèn)題，這樣學(xué)生就能養(yǎng)成良好的數(shù)形結(jié)合思考習(xí)慣。

第三，實(shí)施形數(shù)互變教學(xué)。形數(shù)互變應(yīng)用形式通常作用于同時(shí)具備數(shù)與形的屬性且內(nèi)容較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，教師在實(shí)施數(shù)形結(jié)合思想方法引導(dǎo)時(shí)，應(yīng)當(dāng)根據(jù)實(shí)際的題型內(nèi)容，啟發(fā)學(xué)生從問(wèn)題的已知條件和所求事項(xiàng)出發(fā)，找到其中數(shù)與形的互變條件。比如，在求函數(shù)的值域和最值類(lèi)題型中，教師可以先設(shè)置一個(gè)數(shù)形結(jié)合思考問(wèn)題：“同學(xué)們，大家認(rèn)為函數(shù)題面和哪個(gè)數(shù)學(xué)研究對(duì)象存在對(duì)應(yīng)關(guān)系？”學(xué)生短暫探討后作答：“和圖像、平面直角坐標(biāo)系存在對(duì)應(yīng)關(guān)系。”教師繼續(xù)啟發(fā)：“回答得很正確！那么，如何判斷函數(shù)題目中的幾何意義和代數(shù)屬性呢？”有學(xué)生回答：“可以畫(huà)一個(gè)平面直角坐標(biāo)系建立函數(shù)和圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系。”這樣學(xué)生就順利避免解答問(wèn)題的繁復(fù)計(jì)算和推理，在平面直角坐標(biāo)系中確定函數(shù)的值域和最值。

（三）加強(qiáng)數(shù)形分析，幫助學(xué)生自主實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)與形的等價(jià)轉(zhuǎn)化

目前高中生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用，還比較依賴(lài)教師的引領(lǐng)，只有教師提醒學(xué)生在解題中形數(shù)互變，學(xué)生的思維才會(huì)向數(shù)形結(jié)合發(fā)散。新時(shí)期高中數(shù)學(xué)教學(xué)追求學(xué)生自主思考和探究，教師應(yīng)當(dāng)在這方面傾注更多精力，加強(qiáng)開(kāi)展數(shù)形分析教學(xué)，幫助學(xué)生自主實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)與形的等價(jià)轉(zhuǎn)化。

第一，創(chuàng)設(shè)數(shù)形結(jié)合分析情境。在這一步，教師應(yīng)當(dāng)在現(xiàn)實(shí)生活中提煉數(shù)形結(jié)合問(wèn)題，并引入豐富的資料為學(xué)生創(chuàng)設(shè)數(shù)與形的分析情境。拿某項(xiàng)數(shù)據(jù)的整理統(tǒng)計(jì)來(lái)說(shuō)，教師可以先為學(xué)生出示數(shù)據(jù)涉及的領(lǐng)域，如關(guān)于生活事物、社會(huì)生產(chǎn)以及科學(xué)研究等。教師先把相關(guān)的圖片、視頻和調(diào)查資料展示給學(xué)生，讓學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)整理統(tǒng)計(jì)的背景和目的建立直觀感知。接下來(lái)，教師可以把數(shù)據(jù)計(jì)算軟件和作圖軟件分享給學(xué)生，指導(dǎo)學(xué)生把已知數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計(jì)圖形式，如條狀、扇形、函數(shù)曲線等形式的統(tǒng)計(jì)圖，同時(shí)把具體的數(shù)據(jù)值標(biāo)注在統(tǒng)計(jì)圖的對(duì)應(yīng)位置。最后，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生開(kāi)展對(duì)數(shù)與形等價(jià)轉(zhuǎn)化的語(yǔ)言表述，如指著統(tǒng)計(jì)圖的某一部分說(shuō)出其表示的具體數(shù)據(jù)，以及數(shù)據(jù)值在整個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中的占比，指出哪部分表示的數(shù)據(jù)值最大、哪部分表示的數(shù)據(jù)值最小，這樣學(xué)生就能切身體會(huì)數(shù)與形的等價(jià)轉(zhuǎn)化，并自覺(jué)聯(lián)系數(shù)形結(jié)合思想方法處理數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)整理問(wèn)題。

第二，發(fā)展對(duì)數(shù)與形等價(jià)轉(zhuǎn)化的合作探究。在數(shù)學(xué)研究中，能迅速轉(zhuǎn)化數(shù)的嚴(yán)密和形的直觀是最關(guān)鍵的思維能力，鑒于學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維能力的差異性，教師發(fā)展對(duì)數(shù)與形等價(jià)轉(zhuǎn)化的合作探究活動(dòng)極有必要。比如，教師可以把學(xué)生劃分成多個(gè)探究小組，然后在白板屏幕上出示一組代數(shù)式或數(shù)字命題，以及一組幾何圖像和平面直角坐標(biāo)系圖示，同時(shí)發(fā)布數(shù)形轉(zhuǎn)化探究任務(wù)：“同學(xué)們，左邊的代數(shù)組和右邊的圖示組存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，但是它們的順序打亂了，你能幫它們找到各自的伙伴嗎？”這項(xiàng)探究任務(wù)新奇有趣，學(xué)生合作探究興味很濃。教師在學(xué)生合作分析討論期間，可以指導(dǎo)學(xué)生采用連線的方式把存在對(duì)應(yīng)關(guān)系的數(shù)字命題和幾何圖示連接起來(lái)，并詳細(xì)標(biāo)注屬于哪類(lèi)對(duì)應(yīng)關(guān)系，如實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)、曲線圖像和方程式等，最后小組輪流匯報(bào)連線結(jié)果，這樣學(xué)生就掌握了數(shù)與形自主等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法和技巧。

（四）跟進(jìn)隨堂訓(xùn)練，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想實(shí)踐運(yùn)用能力

學(xué)生初步掌握數(shù)形結(jié)合思想方法后，教師還需要跟進(jìn)實(shí)施隨堂訓(xùn)練項(xiàng)目，鞏固提升學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)踐運(yùn)用成效，促進(jìn)學(xué)生對(duì)科學(xué)思想方法的內(nèi)化和外延遷移。

首先，教師需要基于數(shù)形結(jié)合思想方法的實(shí)踐運(yùn)用導(dǎo)向，為學(xué)生精心篩選和排布隨堂訓(xùn)練內(nèi)容。比如，在高中數(shù)學(xué)課程最常見(jiàn)的不等式問(wèn)題處理中，教師就可以先在白板上出示一個(gè)不等式命題，然后鼓勵(lì)學(xué)生分析不等式命題的條件和結(jié)論，建立平面直角坐標(biāo)系和函數(shù)圖像，引導(dǎo)學(xué)生側(cè)重于分析函數(shù)圖像中的幾何意義，列出對(duì)應(yīng)的解題算式，這樣學(xué)生就能夠運(yùn)用以數(shù)變形和形數(shù)互變正確處理不等式問(wèn)題。然后，教師還要落實(shí)反饋和總結(jié)工作。比如，教師可以先讓學(xué)生反饋解題思路，而通常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的思路在2 至3 種，教師把學(xué)生反饋的解題思路記錄在白板投屏上，接下來(lái)組織學(xué)生開(kāi)展歸納總結(jié)，主要討論哪種數(shù)形結(jié)合解題方法是最快捷的。如，比較集合運(yùn)算訓(xùn)練中運(yùn)用數(shù)軸法和文氏圖法哪種運(yùn)算效率最高，讓學(xué)生根據(jù)集合問(wèn)題的運(yùn)算所求目標(biāo)，對(duì)數(shù)軸法和文氏圖法解題過(guò)程展開(kāi)細(xì)致對(duì)比，總結(jié)出最高效的數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用方式，這樣學(xué)生解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的質(zhì)量也會(huì)顯著增強(qiáng)。

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教改中加強(qiáng)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法，不但可以輔助學(xué)生發(fā)現(xiàn)最簡(jiǎn)潔的解題思路，而且能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和形象思維能力的協(xié)調(diào)發(fā)展，還能提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)理解效果。為此，教師應(yīng)當(dāng)整合數(shù)學(xué)課程資源，拓寬數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用途徑，引導(dǎo)學(xué)生基于數(shù)形結(jié)合思想思考問(wèn)題。同時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)數(shù)形分析，提高學(xué)生對(duì)數(shù)與形的等價(jià)轉(zhuǎn)換能力，跟進(jìn)實(shí)施數(shù)形結(jié)合運(yùn)用的隨堂訓(xùn)練，從而避免學(xué)生對(duì)代數(shù)問(wèn)題或幾何圖形問(wèn)題的片面化理解，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的聯(lián)系和實(shí)踐能力。