基于多目標(biāo)規(guī)劃和改進(jìn)模擬退火算法的FAST 拋物面參數(shù)研究

陳志豪，張碩，王和霄

（山東警察學(xué)院，山東濟(jì)南 250000）

FAST 由主動(dòng)反射面、饋源艙及其他相關(guān)系統(tǒng)構(gòu)成，其中主動(dòng)反射面是一個(gè)可調(diào)節(jié)平面，主要包含主索網(wǎng)、反射面板、下拉索、促動(dòng)器及支承結(jié)構(gòu)等。主動(dòng)反射面技術(shù)的關(guān)鍵是把反射面調(diào)整為拋物面，通過(guò)下拉索和促動(dòng)器協(xié)同完成。

首先根據(jù)實(shí)際情況分析影響反射面調(diào)節(jié)的因素，利用各因素的限制，找到最合適的理想拋物面。當(dāng)給定具體操作條件時(shí)，計(jì)算出調(diào)節(jié)各主索節(jié)點(diǎn)伸縮量，以使各個(gè)平面盡量貼近理想拋物面。

為體現(xiàn)饋源倉(cāng)在不同時(shí)間內(nèi)對(duì)無(wú)線電波的吸收效果，可以用功率對(duì)某一接收過(guò)程進(jìn)行衡量。利用各平面間的投影關(guān)系，將需要考慮波的傳播路徑的接收比問(wèn)題轉(zhuǎn)化成無(wú)線電波有效輻射功率問(wèn)題，對(duì)各個(gè)反射面單元的功率積分求和，最終從不同頻率和不同時(shí)間上描述功率。

1 模型建立和求解

1.1 建立理想拋物面

為簡(jiǎn)化模型，將旋轉(zhuǎn)拋物面簡(jiǎn)化為旋轉(zhuǎn)前的二維拋物線，用圓弧替代球面。

1.1.1 基于最小絕對(duì)偏差的規(guī)劃模型

在實(shí)際調(diào)節(jié)主索節(jié)點(diǎn)貼近理想拋物面時(shí)，主索節(jié)點(diǎn)的位移量應(yīng)在合理區(qū)間內(nèi)盡量小[1]。為使各節(jié)點(diǎn)的徑向伸縮量被控制在較小水平內(nèi)，優(yōu)化目標(biāo)使工作拋物面與基態(tài)圓盡可能接近，本文引入最小絕對(duì)偏差（LAD）。首先在x軸上以0.5 m 為步長(zhǎng)在[-150，150]范圍內(nèi)取點(diǎn)，優(yōu)化目標(biāo)為工作拋物線與基態(tài)圓弧的z值LAD 最小，公式為：

1.1.2 基于邊緣優(yōu)化策略的規(guī)劃模型

1.1.3 伸縮量與節(jié)點(diǎn)距離變化率的限制

改變主索點(diǎn)位置時(shí)，主索會(huì)因自身彈性產(chǎn)生一定形變。另外，主索在徑向移動(dòng)中，兩塊不同反射板之間的夾角也會(huì)使主索點(diǎn)間距離改變。相鄰節(jié)點(diǎn)距離變化率不超過(guò)0.07%的要求也是調(diào)節(jié)因素之一，約束表示：

式（3）中：lij為拋物線上任意的節(jié)點(diǎn)向量，即cij變位后的節(jié)點(diǎn)向量；lmn為拋物線上與lij相鄰的節(jié)點(diǎn)向量；cij為圓弧上任意的節(jié)點(diǎn)向量；cmn為圓弧上與cij相鄰的節(jié)點(diǎn)向量。

對(duì)于節(jié)點(diǎn)徑向伸縮量，限制拋物線上各點(diǎn)與基準(zhǔn)圓弧的徑向距離在[-0.6，0.6]內(nèi)，即：

1.1.4 多目標(biāo)規(guī)劃求解

目標(biāo)函數(shù)為（1）和（2）兩個(gè)，約束條件為（3）和（4）兩個(gè)。使用線性加權(quán)和法將多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題求解，將（1）和（2）兩個(gè)目標(biāo)權(quán)重均賦值為1/2。

求解得二維拋物線方程為z=0.002x2－302.04，復(fù)原為理想拋物面方程為500（z－302.04）=x2+y2。

1.2 改進(jìn)的模擬退火算法擬合理想拋物面

FAST 通過(guò)促動(dòng)器移動(dòng)下拉索以控制主節(jié)點(diǎn)的位置，從而形成近似旋轉(zhuǎn)拋物面。由三角反射面板形成的近似拋物面應(yīng)盡可能接近理想拋物面，即反射面板與理想旋轉(zhuǎn)拋物面需有較高的擬合優(yōu)度。因此將由反射面板構(gòu)成的分段函數(shù)與理想拋物面擬合優(yōu)度最高作為優(yōu)化目標(biāo)，公式為：

擬將所有促動(dòng)器徑向調(diào)節(jié)距離作為優(yōu)化參量，由于主動(dòng)反射面共有2 226 個(gè)主索節(jié)點(diǎn)，采用線性搜索法、Monte Carlo 模擬法等無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)2 226 個(gè)參量的優(yōu)化，因此采取模擬退火算法求解。鑒于算法本身限制，在此將部分步驟進(jìn)行了改進(jìn)。

為簡(jiǎn)化迭代步驟，減少運(yùn)行時(shí)間，在程序編寫過(guò)程中對(duì)計(jì)算機(jī)接受新解的邏輯進(jìn)行優(yōu)化，節(jié)省了大量的運(yùn)算時(shí)間，同時(shí)也保證了優(yōu)化結(jié)果相對(duì)原結(jié)果在接受的范圍內(nèi)[2]，具體如下：

式（5）為改進(jìn)后的接受新解概率函數(shù)，使用此函數(shù)可以明顯地簡(jiǎn)化代碼結(jié)構(gòu)，將是否符合約束條件和產(chǎn)生結(jié)果最優(yōu)兩種情況直接通過(guò)概率等于0 或1 映射出來(lái)，能大幅提高運(yùn)算速度。

改進(jìn)前后的運(yùn)行時(shí)間對(duì)比如表1 所示，可以看出改進(jìn)前后運(yùn)算時(shí)間有明顯差距，快了約40%。

表1 運(yùn)行時(shí)間對(duì)比（單位：s）

改進(jìn)前后優(yōu)化結(jié)果對(duì)比如圖1 所示。從圖1 可以看出，雖然優(yōu)化結(jié)果有一定犧牲，但完全在可接受范圍內(nèi)，權(quán)衡節(jié)省的時(shí)間與優(yōu)化結(jié)果后，完全可以接受本優(yōu)化策略。

圖1 改進(jìn)前后優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

面對(duì)大量參數(shù)時(shí)，僅憑模擬退火算法難找到全局最優(yōu)解，而容易陷入局部最優(yōu)。本文的做法是與Monte Carlo 算法結(jié)合，先大量隨機(jī)取解，然后比較擬合度，挑出最優(yōu)的參數(shù)組合，將其作為優(yōu)化的初始解，再用模擬退火算法尋優(yōu)。改進(jìn)后的模擬退火算法流程如圖2 所示。

圖2 改進(jìn)后模擬退火算法的流程圖

1.3 射電望遠(yuǎn)鏡饋源倉(cāng)的接收比

由于天體與臺(tái)址距離甚遠(yuǎn)，因此可將信號(hào)視為平面波討論。無(wú)線電波的電場(chǎng)強(qiáng)度E多平行于地面，可將信號(hào)源的無(wú)線電信號(hào)視為平面極化波。不妨認(rèn)為無(wú)線電波以恒定平均功率持續(xù)輻射一定時(shí)間T且入射時(shí)無(wú)相位差。

針對(duì)射電望遠(yuǎn)鏡，假設(shè)每個(gè)反射板單元均為平面三角形，且其厚度可忽略不計(jì)。由于饋源倉(cāng)相對(duì)FAST較小，因此將其視為厚度可忽略的直徑為1 m 的圓面。射電望遠(yuǎn)鏡與信號(hào)源相距甚遠(yuǎn)，可用真空形式的Maxwell 方程組表示其特性，以變換后的坐標(biāo)系為基準(zhǔn)，無(wú)線電波于變換后自坐標(biāo)平面x′Cy′入射，易得出遠(yuǎn)離場(chǎng)源電磁波的波動(dòng)方程：

式（6）中：E和H分別為電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)強(qiáng)度；E0和H0分別為振幅；ω為無(wú)線電波的傳播角頻率；u為無(wú)線電波的傳播速度（在空氣中近似于真空光速）。

無(wú)線電波傳播過(guò)程中存在著擴(kuò)散衰減、反射衰減和折射衰減等衰減方式。假設(shè)認(rèn)為無(wú)線電波在入射FAST 時(shí)，總是對(duì)瞬時(shí)拋物面垂直入射，因此可不考慮折射衰減。對(duì)于擴(kuò)散衰減，有經(jīng)驗(yàn)公式：

式（7）中：ATT為衰減損耗；f為電磁波頻率；d為其傳播距離。

設(shè)P0為無(wú)線電波初始振幅，結(jié)合式（7）利用分貝的定義得出功率P隨距離d的衰減公式P=P0/（1032.45f2d2），從而得到了功率隨距離平方變化的衰減系數(shù)k=1032.45f2。

對(duì)一塊反射板單元，其接收的無(wú)線電波與其在拋物面開(kāi)口所在平面上的投影所接收的相同。同樣對(duì)饋源倉(cāng)圓面關(guān)于該三角反射板的對(duì)稱圓面，假設(shè)入射無(wú)線電波能夠穿過(guò)反射板繼續(xù)沿z′負(fù)方向移動(dòng)，其接收信號(hào)為能到達(dá)對(duì)稱圓面在拋物面開(kāi)口所在平面上的投影穿過(guò)三角板的信號(hào)。而對(duì)于對(duì)稱圓面的方程，可以通過(guò)選取原圓面不共線的3 個(gè)向量求解方程組。設(shè)該反射單元在x′Cy′的投影區(qū)域?yàn)镚，對(duì)應(yīng)對(duì)稱圓面投影區(qū)域?yàn)镵，如圖3 所示。兩者重疊區(qū)域M=G∩K。對(duì)于確定了反射單元的對(duì)稱圓面有唯一方程確定其所在平面z=f（x，y）ij。故可對(duì)區(qū)域M進(jìn)行二重積分：

圖3 反射單元與對(duì)稱圓面投影示意圖

進(jìn)而對(duì)各個(gè)反射板單元的功率進(jìn)行求和得到接收功率：

求解二重積分時(shí)，發(fā)現(xiàn)運(yùn)算時(shí)間很長(zhǎng)，難求出最終結(jié)果，因此將化簡(jiǎn)為近似表達(dá)式。分析發(fā)現(xiàn)，對(duì)于二重積分對(duì)應(yīng)的柱體，可利用其投影前的圓心對(duì)應(yīng)的函數(shù)值近似柱體的高。對(duì)于積分區(qū)間，可通過(guò)對(duì)稱圓面的法向量對(duì)夾角進(jìn)行計(jì)算。利用對(duì)稱圓面在x′Cy′的橢圓投影為固定面積，求出橢圓中心（x0，y0，z0）的對(duì)應(yīng)函數(shù)值為整個(gè)積分區(qū)域內(nèi)的平均能流密度，該橢圓長(zhǎng)軸為1，短軸為圓面與x′Cy′夾角余弦，給出圓面法向量n，x′Cy′單位法向量e=（0，0，1），進(jìn)而推出更便于計(jì)算的近似表達(dá)式：

設(shè)每個(gè)反射單元的效率Pij為關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，其對(duì)時(shí)間的積分與入射的平均功率和時(shí)間的乘積之比即為饋源倉(cāng)的接收比r，為[5]：

2 模型評(píng)價(jià)與推廣

本文使用改進(jìn)的模擬退火算法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)大量參數(shù)的擬合，精簡(jiǎn)了計(jì)算量，更好地?cái)M合了理想拋物面。在計(jì)算饋源比時(shí)，引入Poynting 矢量，在時(shí)間的維度上對(duì)饋源艙接收信號(hào)的過(guò)程進(jìn)行刻畫，更好地體現(xiàn)接收比。

本文并未考慮各反射面單位自身曲率，因此必然對(duì)擬合理想拋物面以及饋源艙接收比的計(jì)算產(chǎn)生影響。