圓柱踏面車(chē)輪沿環(huán)形平面軌道運(yùn)行時(shí)的切向應(yīng)力研究

張?jiān)俦?屈福政 祝德強(qiáng) 韓成軍

1大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 大連 116024 2大連華銳重工集團(tuán)股份有限公司 大連 116052

0 引言

輪軌蠕滑現(xiàn)象最早由Osborne Reynolds[1]發(fā)現(xiàn)并提出。當(dāng)圓柱體在平面上滾動(dòng)時(shí)，接觸區(qū)域的彈性變形會(huì)增加圓柱體接觸區(qū)域表面的速度，使其在平面上蠕動(dòng)，即使圓柱體在平面上并沒(méi)有產(chǎn)生整體的滑動(dòng)。輪軌蠕滑在二維和三維條件下的數(shù)學(xué)模型分別由Knothe K[2]和Johnson K L等[3]提出，并引入縱向蠕滑率，橫向蠕滑率以及自旋蠕滑率的概念。很多學(xué)者在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了完善，其中Kalker J J[4-6]提出了輪軌接觸的簡(jiǎn)化理論和精確理論，并分別發(fā)展出了Fastsim和Contact算法。Polach Y O等[7]基于Kalker J J簡(jiǎn)化理論得出了踏面輪軌蠕滑簡(jiǎn)化公式。其中Fastsim算法由于其計(jì)算效率高等優(yōu)點(diǎn)，直至今日依然被廣泛應(yīng)用在輪軌接觸蠕滑力仿真中。

盡管經(jīng)典的輪軌接觸理論經(jīng)過(guò)了不斷實(shí)踐驗(yàn)證，但是其中穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)的假設(shè)在很多實(shí)際輪軌接觸情況中仍然無(wú)法滿(mǎn)足[8]。近年來(lái)，基于有限元方法的快速發(fā)展，很多學(xué)者通過(guò)有限元的方法對(duì)復(fù)雜的輪軌接觸情況進(jìn)行研究。肖乾等[9-11]利用Abaqus軟件，分別從輪軌沖角、摩擦系數(shù)和運(yùn)行工況3個(gè)方面對(duì)輪軌接觸的蠕滑特性進(jìn)行分析。

上述發(fā)展都是基于鐵路踏面輪軌點(diǎn)接觸形式，而對(duì)于吊車(chē)和起重機(jī)等重型起重設(shè)備而言，小車(chē)車(chē)輪一般為圓柱踏面形式，與軌道接觸為線(xiàn)接觸形式。劉萍等[12]利用有限元仿真方法，分析了線(xiàn)接觸形式下起重機(jī)輪軌偏斜對(duì)起重機(jī)輪軌接觸狀態(tài)的影響。任燾等[13]對(duì)線(xiàn)接觸形式下，輪軌系統(tǒng)靜止?fàn)顟B(tài)和運(yùn)行狀態(tài)輪軌接觸情況進(jìn)行仿真分析。

現(xiàn)有重型設(shè)備輪軌接觸研究主要聚焦于直軌道，但當(dāng)圓柱踏面輪軌在環(huán)形軌道上運(yùn)行時(shí)，由于會(huì)產(chǎn)生速度差，會(huì)產(chǎn)生蠕滑現(xiàn)象，并產(chǎn)生切應(yīng)力。這與車(chē)輪直軌道接觸有較大的區(qū)別，其切向應(yīng)力對(duì)起重設(shè)備小車(chē)的轉(zhuǎn)向阻力矩以及輪軌之間的磨損有著直接的影響。目前，有關(guān)其切向應(yīng)力分析研究較少，按經(jīng)典的模型計(jì)算也非常復(fù)雜。本文將提出適用于圓柱踏面車(chē)輪與環(huán)形軌道接觸的切向應(yīng)力簡(jiǎn)化理論，并給出轉(zhuǎn)向阻力矩的計(jì)算公式。

1 圓柱踏面車(chē)輪在環(huán)軌上運(yùn)行時(shí)的蠕滑現(xiàn)象

當(dāng)車(chē)輪沿環(huán)形軌道滾動(dòng)時(shí)，除接觸中心外，車(chē)輪接觸區(qū)域滾動(dòng)速度和實(shí)際速度都存在速度差，如圖1a所示。

圖1 輪軌接觸和運(yùn)動(dòng)速度示意圖

由蠕滑率的定義[5]

參考圖1b，得車(chē)輪沿環(huán)形軌道運(yùn)行時(shí)接觸上的蠕滑率分布如圖2所示，圖中l(wèi)為輪軌接觸線(xiàn)的長(zhǎng)度。

圖2 車(chē)輪沿環(huán)軌的蠕滑率

2 切向應(yīng)力簡(jiǎn)化模型

在彈性理論中，接觸表面的某一點(diǎn)位移取決于接觸表面上所有點(diǎn)的面力，其函數(shù)關(guān)系稱(chēng)為影響函數(shù)。但是Kalker J J在1973年引入了滾動(dòng)接觸的簡(jiǎn)化理論，即一點(diǎn)處的位移，僅取決于同一點(diǎn)處的面力，并呈線(xiàn)性關(guān)系。Kalker J J在彈性薄覆層的情況下進(jìn)行了相應(yīng)的證明。

圖3 薄覆層示意圖

在彈性薄覆層下，Kalker J J利用級(jí)數(shù)的方法得到了滾動(dòng)接觸的簡(jiǎn)化理論為

式中：L為柔度參數(shù)，在彈性薄覆層條件下其與薄覆層寬度、泊松比以及彈性模量有關(guān)；ui和pi分別是薄覆層表面不同點(diǎn)在3個(gè)坐標(biāo)軸方向上的位移和內(nèi)力。

Kalker J J將其簡(jiǎn)化理論應(yīng)用到不屬于薄覆層的其他情況進(jìn)行了驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)化理論能與現(xiàn)有的精確三維接觸理論定性的一致，定量的一致性可以通過(guò)調(diào)整柔度參數(shù)來(lái)達(dá)到。通過(guò)擬合柔度系數(shù)，Kalker J J將簡(jiǎn)化理論成功應(yīng)用在鐵路輪軌點(diǎn)接觸情形上。

圓柱踏面車(chē)輪與環(huán)形軌道的接觸區(qū)域?yàn)榫€(xiàn)接觸，接觸區(qū)域?yàn)橐粭l接觸窄帶，其面積遠(yuǎn)大于點(diǎn)接觸。本文基于Kalker簡(jiǎn)化理論，根據(jù)線(xiàn)接觸的特點(diǎn)，提出了一種適用于圓柱踏面車(chē)輪與環(huán)形軌道接觸的切向應(yīng)力簡(jiǎn)化模型。

當(dāng)車(chē)輪在軌道上滾動(dòng)時(shí)，車(chē)輪材料從接觸區(qū)域的前邊滾入接觸區(qū)域，在接觸區(qū)域的后邊滾出接觸區(qū)域，其示意圖如圖4所示。

圖4 接觸區(qū)域前邊后邊示意圖

接觸區(qū)域前邊處的應(yīng)力為0，故通過(guò)積分推導(dǎo)出在材料路徑上一點(diǎn)p處的應(yīng)力為

根據(jù)Kalker簡(jiǎn)化理論可推導(dǎo)出接觸區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)蠕滑率與內(nèi)力和柔度系數(shù)之間的關(guān)系為

式中：為蠕滑率，為柔度參數(shù)。

將其帶入式(4)得

由式(6)可看出，接觸區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)處的切向應(yīng)力，隨著與前邊之間距離的增大呈線(xiàn)性增長(zhǎng)，其比例系數(shù)即為柔度系數(shù)，但是在接觸材料為薄覆層的假設(shè)基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的，而車(chē)輪與軌道接觸，由于軌道高度相比于車(chē)輪直徑差別較小，不符合薄覆層的假設(shè)。因此，借鑒Kalker J J的輪軌接觸線(xiàn)性理論，對(duì)柔度系數(shù)進(jìn)行修正，得到接觸區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)切向應(yīng)力為

式中：L（ε）為修正后的柔度系數(shù)，與蠕滑率有關(guān)。

本文將通過(guò)仿真結(jié)果擬合出不同蠕滑率下的柔度系數(shù)計(jì)算公式。柔度系數(shù)與接觸區(qū)域切向應(yīng)力分布的關(guān)系如圖5所示。

圖5 柔度系數(shù)示意圖

以上的推導(dǎo)是在接觸區(qū)域?yàn)槿ぶ鴹l件下得到的，且后邊處的切向應(yīng)力不為0，這與實(shí)際情況不符。在赫茲接觸的假設(shè)下，正應(yīng)力在后邊處逐漸消失，摩擦極限在后邊處也會(huì)逐漸降為0。因此，在接觸區(qū)域靠近后邊處較大的切向應(yīng)力值會(huì)引起局部接觸面的相對(duì)滑動(dòng)，不符合全黏著的假設(shè)條件。為此，本文對(duì)Kalker簡(jiǎn)化理論進(jìn)行修正，提出了一種適用于輪軌接觸局部蠕滑的切向應(yīng)力簡(jiǎn)化模型（見(jiàn)圖6）。

圖6 切向應(yīng)力簡(jiǎn)化理論示意圖

圖中滑動(dòng)極限為Hertz正應(yīng)力和摩擦系數(shù)的乘積，黏著區(qū)域切應(yīng)力為距離前邊距離和柔度系數(shù)的乘積，表示為

式中：f為摩擦系數(shù)，δ為接觸正應(yīng)力，L為簡(jiǎn)化模型的柔度系數(shù)，y為距離前邊的距離。

當(dāng)切向應(yīng)力超過(guò)滑動(dòng)極限時(shí)就會(huì)發(fā)生滑動(dòng)，切向應(yīng)力就等于滑動(dòng)極限，故本文提出的切應(yīng)力簡(jiǎn)化模型的分為黏著區(qū)域和滑動(dòng)區(qū)域2部分，表示為

式中：τ0為黏著區(qū)域切應(yīng)力曲線(xiàn)和滑動(dòng)極限交點(diǎn)處的切向應(yīng)力。

此簡(jiǎn)化模型既可以確定接觸區(qū)域的切應(yīng)力分布，同時(shí)還可以確定接觸區(qū)域滑動(dòng)和黏著區(qū)域的分布。在特定蠕滑率下，黏著區(qū)域和蠕滑區(qū)域的分界點(diǎn)在簡(jiǎn)化模型切向應(yīng)力曲線(xiàn)和滑動(dòng)極限應(yīng)力曲線(xiàn)的交點(diǎn)。當(dāng)車(chē)輪沿環(huán)軌運(yùn)行時(shí)，接觸區(qū)域沿接觸寬度方向（車(chē)輪軸向）存在線(xiàn)性分布的蠕滑率（見(jiàn)圖2）。在偏離車(chē)輪中心面的接觸區(qū)域，隨著蠕滑率增大，簡(jiǎn)化模型的應(yīng)力曲線(xiàn)的斜率也會(huì)逐漸增大，此時(shí)滑動(dòng)區(qū)域相比于黏著區(qū)域的占比就會(huì)逐漸增大（見(jiàn)圖7）。

圖7 黏著滑移區(qū)域分布示意圖

當(dāng)輪軌之間的滑動(dòng)在整個(gè)接觸區(qū)域中占主導(dǎo)時(shí)，即可認(rèn)為出現(xiàn)了極限蠕滑現(xiàn)象。此時(shí)的蠕滑率即為圓柱踏面車(chē)輪在環(huán)軌運(yùn)行時(shí)的極限蠕滑率。

3 圓柱踏面輪軌與環(huán)軌接觸仿真

近年來(lái)，由于有限元可較好地模擬穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)和非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)輪軌接觸，故被廣泛應(yīng)用在輪軌接觸狀態(tài)研究和應(yīng)力分析中。在此，將基于Abaqus仿真軟件對(duì)本文提出的切向應(yīng)力簡(jiǎn)化模型進(jìn)行驗(yàn)證，并擬合出車(chē)輪沿環(huán)軌運(yùn)行時(shí)轉(zhuǎn)向力矩和應(yīng)力分布的計(jì)算公式。選取的輪軌接觸幾何參數(shù)和載荷參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置

首先在SolidWorks中建立輪軌接觸的三維幾何模型，將其導(dǎo)入到Abaqus仿真軟件中進(jìn)行材料設(shè)置和網(wǎng)格劃分，其中網(wǎng)格采用六面體單元，在車(chē)輪和軌道接觸處將網(wǎng)格細(xì)化為2 mm。接觸性質(zhì)采用面面接觸，其有限元模型如圖8所示。

圖8 輪軌接觸仿真模型

設(shè)置加載和滾動(dòng)2個(gè)隱式動(dòng)力學(xué)載荷步，載荷步時(shí)間分別為0.5 s和1 s，載荷步長(zhǎng)分別采用自動(dòng)和固定2種形式。

仿真得到的正應(yīng)力和計(jì)算得到的Hertz正應(yīng)力如圖9所示，其中Hertz計(jì)算的最大正應(yīng)力為650.7 MPa，仿真計(jì)算的最大正應(yīng)力為577.9 MPa，最大應(yīng)力的相對(duì)誤差為12.6%。其應(yīng)力分布對(duì)比圖如圖9所示。

圖9 正應(yīng)力仿真理論對(duì)比圖

存在較大誤差的最主要原因是單元的網(wǎng)格尺寸，進(jìn)一步細(xì)化網(wǎng)格可以顯著減小誤差，但這會(huì)導(dǎo)致現(xiàn)有的計(jì)算機(jī)資源無(wú)法對(duì)車(chē)輪滾動(dòng)過(guò)程進(jìn)行模擬。考慮到本研究的核心內(nèi)容是接觸面的切應(yīng)力分布，故仍取現(xiàn)有的網(wǎng)格細(xì)化尺寸。

輪軌接觸區(qū)域切應(yīng)力分布如圖10所示，其中紅色剪頭指向車(chē)輪前進(jìn)方向。通過(guò)應(yīng)力云圖可以發(fā)現(xiàn)，切向應(yīng)力值從前邊到后邊是逐漸遞增且在后邊處逐漸消失，這與本文提出的切向應(yīng)力簡(jiǎn)化模型計(jì)算的應(yīng)力分布是一致的。對(duì)接觸區(qū)域的切向應(yīng)力值進(jìn)行提取得到接觸區(qū)域內(nèi)切向應(yīng)力的分布圖如圖11所示。

圖10 切向應(yīng)力云圖

圖11 仿真切向應(yīng)力分布

根據(jù)切應(yīng)力分布特點(diǎn)可以將接觸區(qū)域沿著寬度方向分成2個(gè)部分，在靠近前邊的部分，由圖11可知，應(yīng)力近似線(xiàn)性增長(zhǎng)，且隨著蠕滑率的應(yīng)力增長(zhǎng)的斜率逐漸變大。在切向應(yīng)力增長(zhǎng)到一定值之后，在靠近后邊的部分，切向應(yīng)力值逐漸下降，且下降趨勢(shì)與滑動(dòng)極限一致。這與本文提出的切向應(yīng)力簡(jiǎn)化模型相符，其對(duì)應(yīng)的區(qū)域分別為黏著區(qū)和滑動(dòng)區(qū)。

在接觸區(qū)域內(nèi)，選取距車(chē)輪中心面42 mm的直線(xiàn)，分析其切應(yīng)力分布。這條直線(xiàn)上的蠕滑率為0.002 1，仿真分析得到離散的7個(gè)切應(yīng)力值（見(jiàn)圖12）。采用最小二乘法對(duì)應(yīng)力增長(zhǎng)部分線(xiàn)性擬合得到切向應(yīng)力隨接觸寬度變化的比例系數(shù)，即為本文提出的輪軌接觸柔度系數(shù)。根據(jù)庫(kù)倫摩擦定律得到的滑動(dòng)極限曲線(xiàn)。

圖12中點(diǎn)劃線(xiàn)為仿真得到的切向應(yīng)力分布，擬合曲線(xiàn)（實(shí)線(xiàn)）以及滑動(dòng)極限曲線(xiàn)（虛線(xiàn)）為本文提出的切向應(yīng)力簡(jiǎn)化模型預(yù)測(cè)的切向應(yīng)力分布。由此可知，簡(jiǎn)化模型預(yù)測(cè)的切向應(yīng)力分布與仿真結(jié)果很接近，簡(jiǎn)化模型可以較好地預(yù)測(cè)圓柱踏面車(chē)輪和環(huán)軌接觸區(qū)域內(nèi)部的切向應(yīng)力分布。

圖12 切向應(yīng)力理論仿真對(duì)比

在接觸區(qū)域橫向方向上，即車(chē)輪的軸向，車(chē)輪與軌道之間的蠕滑率是線(xiàn)性變化的（見(jiàn)圖2），根據(jù)切向應(yīng)力簡(jiǎn)化理論，不同的蠕滑率會(huì)有不同的切應(yīng)力分布，對(duì)應(yīng)不同的柔度系數(shù)，故通過(guò)擬合得到圖13所示不同蠕滑率下的柔度系數(shù)。

圖13 不同蠕滑率下的柔度系數(shù)

顯然，隨著蠕滑率的增加，柔度系數(shù)線(xiàn)性增加。定義蠕滑率和柔度系數(shù)之間的比例系數(shù)，即圖12中擬合線(xiàn)的斜率，為橫向變化系數(shù)k0。采用最小二乘法擬合求得k0=8 197 MPa/mm。

仿真得到接觸區(qū)域滑移和黏著情況如圖14所示。由圖可以看出，輪軌接觸簡(jiǎn)化模型可以較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)接觸區(qū)域內(nèi)部的黏著和滑移情況，即隨著距離車(chē)輪中心面越遠(yuǎn)，黏著區(qū)域占比越大。

圖14 仿真黏著滑移區(qū)域分布

4 輪軌接觸的簡(jiǎn)化模型

已知黏著區(qū)域應(yīng)力變化曲線(xiàn)為

式中：ε為該點(diǎn)處的蠕滑率，x為與前邊之間的距離。

滑動(dòng)極限曲線(xiàn)根據(jù)庫(kù)倫摩擦定律可得

式中：δ0為Hertz接觸極限切向應(yīng)力，L為接觸區(qū)域?qū)挾取?/p>

可以求得2曲線(xiàn)之間的交點(diǎn)坐標(biāo)為

在滑動(dòng)區(qū)域由于變上下限橢圓函數(shù)積分非常復(fù)雜，故在計(jì)算車(chē)輪與軌道之間接觸回正力矩時(shí)進(jìn)行進(jìn)一步簡(jiǎn)化。將滑動(dòng)區(qū)域的切向應(yīng)力在后邊附近的衰減過(guò)程從橢圓函數(shù)近似為線(xiàn)性衰減過(guò)程。這樣在特定蠕滑率下切向應(yīng)力的積分就是三角形的面積，經(jīng)過(guò)此方法得到轉(zhuǎn)向力矩的積分公式為

式中：W為軌道寬度即接觸窄帶的長(zhǎng)度，D為軌道的直徑。

由式(15)可知，轉(zhuǎn)向阻力矩和輪壓成正比，并與軌道的輪徑比有關(guān)。本文對(duì)不同輪壓條件進(jìn)行仿真，得到不同輪壓條件下理論計(jì)算公式結(jié)果和仿真結(jié)果，并對(duì)其進(jìn)行對(duì)比，如表2所示。

表2 不同輪壓下理論計(jì)算和仿真計(jì)算結(jié)果對(duì)比

由表2可知，本文提出的簡(jiǎn)化理論計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果相對(duì)誤差很小都在5%以?xún)?nèi)，可有效地計(jì)算輪軌接觸的轉(zhuǎn)向力矩。

5 結(jié)論

1）基于Kalker簡(jiǎn)化理論和庫(kù)倫摩擦定律提出了圓柱踏面輪軌在環(huán)形軌道上運(yùn)行時(shí)的切向應(yīng)力簡(jiǎn)化模型，為后繼分析奠定了基礎(chǔ)；

2）采用Abaqus仿真軟件對(duì)圓柱踏面輪軌在環(huán)形軌道上運(yùn)行時(shí)的輪軌接觸情況進(jìn)行仿真，其切向應(yīng)力結(jié)果證明了輪軌接觸的簡(jiǎn)化模型是有效的；

3）通過(guò)數(shù)值擬合，得到滑移黏著分界點(diǎn)以及回正力矩計(jì)算公式。